世界上最难的数学题，世界七大数学难题难倒了全世界

海 蓝Seablue

　　说到数学难题，我最先想到的是哥德巴赫猜想，其实哥德巴赫猜想并不是这七大数学难题之一，下面就让我们来一起看看当今科技如此发达的情况下，还有哪些数学难题。

世界七大数学难题：

1. P/NP问题 (P versus NP)
2. 霍奇猜想 (The Hodge Conjecture)
3. 庞加莱猜想 (The Poincaré Conjecture)，此猜想已获得证实。
4. 黎曼猜想 (The Riemann Hypothesis)
5. 杨-米尔斯存在性与质量间隙 (Yang-Mills Existence and Mass Gap)
6. 纳维-斯托克斯存在性与光滑性 (Navier-Stokes existence and smoothness)
7. 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想 The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)

　　所谓的世界七大数学难题，其实是于 2000年5月24日由由美国克雷数学研究所公布的七个数学难题。也被称为千禧年大奖难题。

根据克雷数学研究所订定的规则，所有难题的解答必须发表在数学期刊上，并经过各方验证，只要通过两年验证期，每解破一题的解答者，会颁发奖金100万美元。

这些难题是呼应 1900年德国数学家大卫 • 希尔伯特在巴黎提出的 23个历史性数学难题，经过一百年，许多难题已获得解答。而千禧年大奖难题的破解，极有可能为密码学以及航天、通讯等领域带来突破性进展。

一、P/NP 问题

　　P/NP 问题是世界上最难的数学题之一。在理论信息学中计算复杂度理论领域里至今没有解决的问题，它也是克雷数学研究所七个千禧年大奖难题之一。

　　P/NP 问题中包含了复杂度类 P 与 NP的关系。1971年史提芬 • 古克和 Leonid Levin 相对独立的提出了下面的问题，即是否两个复杂度类 P 和 NP 是恒等的 (P=NP?)。 

　　复杂度类 P 即为所有可以由一个确定型图灵机在多项式表达的时间内解决的问题；类NP 由所有可以在多项式时间内验证解是否正确的决定问题组成，或者等效的说，那些解可以在非确定型图灵机上在多项式时间内找出的问题的集合。很可能，计算理论最大的未解决问题就是关于这两类的关系的：

P 和 NP 相等吗？ 在 2002年对于 100研究者的调查，61人相信答案是否定的，9个相信答案是肯定的，22个不确定，而 8个相信该问题可能和现在所接受的公理独立，所以不可能证明或证否。

对于正确的解答，有一个 1百万美元的奖励。 NP- 完全问题 (或者叫 NPC) 的集合在这个讨论中有重大作用，它们可以大致的被描述为那些在 NP 中最不像在 P 中的 (确切定义细节请参看 NP- 完全理论)。计算机科学家现在相信 P, NP，和 NPC类之间的关系如图中所示，其中 P 和 NPC类不交。

　　假设 P ≠ NP 的复杂度类的图解。如 P = NP 则三个类相同。 简单来说，P = NP 问题问道：如果 “是／不是” 问题的正面答案可以很快验证，其答案是否也可以很快计算？这里有一个给你找点这个问题的感觉的例子。给定一个大数 Y，我们可以问 Y是否是复合数。例如：我们可能问 53308290611 是否有非平凡的因数。答案是肯定的，虽然手工找出一个因数很麻烦。从另一个方面讲，如果有人声称答案是 “对，因为 224737 可以整除 53308290611"，则我们可以很快用一个除法来验证。验证一个数是除数比找出一个明显除数来简单得多。用于验证一个正面答案所需的信息也称为证明。所以我们的结论是，给定正确的证明，问题的正面答案可以很快地 (也就是，在多项式时间内) 验证，而这就是这个问题属于 NP 的原因。虽然这个特定的问题，最近被证明为也在 P类中 (参看下面的关于 "质数在 P中 " 的参考)，这一点也不明显，而且有很多类似的问题相信不属于类 P。 像上面这样，把问题限制到 “是／不是” 问题并没有改变原问题 (即没有降低难度))；即使我们允许更复杂的答案，最后的问题 (是否 FP = FNP) 是等价的。

关于证明的难度的结果

　　虽然百万美元的奖金和投入巨大却没有实质性结果的大量研究足以显示该问题是困难的，但是还有一些形式化的结果证明为什么该问题可能很难解决。 最常被引用的结果之一是设计神谕。

假想你有一个魔法机器可以解决单个问题，例如判定一个给定的数是否为质数，可以瞬间解决这个问题。我们的新问题是，若我们被允许任意利用这个机器，是否存在我们可以在多项式时间内验证但无法在多项式时间内解决的问题？结果是：依赖于机器能解决的问题，P = NP 和 P ≠ NP 二者都可以证明。

这个结论带来的后果是，任何可以通过修改神谕来证明该机器的存在性的结果不能解决问题。不幸的是，几乎所有经典的方法和大部分已知的方法可以这样修改 (我们称它们在相对化)。

如果这还不算太糟的话，1993年 Razborov 和 Rudich 证明的一个结果表明，给定一个特定的可信的假设，在某种意义下 “自然” 的证明不能解决 P = NP 问题。这表明一些现在似乎最有希望的方法不太可能成功。

随着更多这类定理得到证明，该定理的可能证明方法有越来越多的陷阱要规避。 这实际上也是为什么 NP 完全问题有用的原因：若对于 NP 完全问题存在有一个多项式时间算法，或者没有一个这样的算法，这将能用一种相信不被上述结果排除在外的方法来解决 P = NP 问题。

二、霍奇猜想

　　霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。它在霍奇的著述的一个结果中出现，他在 1930 至 1940 年间通过包含额外的结构丰富了德拉姆上同调的表述，这种结构出现于代数簇的情况 (但不仅限于这种情况)。

三、庞加莱猜想

　　庞加莱猜想最早是由法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里 • 佩雷尔曼完成最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但并未现身领奖。

基本描述

　　在 1900 年，庞加莱曾声称，用他基于恩里科·贝蒂的工作而发展出的同调论，可以判定一个三维流形是否三维球面。

不过，他在 1904 年发表的一篇论文中，举出了一个反例，现在称为庞加莱同调球面，与三维球面有相同的同调群。他引进了一个新的拓扑不变量，称为基本群，并且证明他的反例与三维球面的基本群不同。三维球面有平凡基本群，也就是说是单连通的。

他提出以下猜想： 任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。 上述简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻即为：如果我们伸缩围绕一个柳橙表面的橡皮筋，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮筋以适当的方向被伸缩在一个甜甜圈表面上，那么不扯断橡皮筋或者甜甜圈，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。我们说，柳橙表面是“单连通的”，而甜甜圈表面则不是。 该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响，对于一维与二维的情形，此猜想是对的，现在已经知道，它对于任何维数都是对的。

证明历史

　　20 世纪这个问题曾经被搁置了很长时间，直到 1930 年怀特海首先宣布已经证明然而又收回，才再次引起了人们的兴趣。

怀特海提出了一些有趣的三流形实例，其原型现在称为怀特海流形。1950 和 1960年代，又有许多著名的数学家包括 R • H • 宾、沃夫冈 • 哈肯、爱德华 • 摩斯声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。

1961年，美国数学家史提芬 • 斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。

这段时间对于低维拓扑的发展非常重要。这个猜想逐渐以证明极难而知名，但是证明此猜想的工作增进了对三流形的理解。

1981年美国数学家麦克 • 傅利曼证明了四维猜想，至此广义庞加莱猜想得到了证明。

1982年，理查德 • 哈密顿引入了 “里奇流” 的概念，并以此证明了几种特殊情况下的庞加莱猜想。在此后的几年中，他进一步地发展了此方法，后来被佩雷尔曼的证明所使用。 

21世纪俄罗斯数学家格里戈里 • 佩雷尔曼在 2002年11月和 2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里 • 佩雷尔曼发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。在佩雷尔曼之后，先后有 3组 研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密歇根大学的布鲁斯 • 克莱纳和约翰 • 洛特；哥伦比亚大学的约翰 • 摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。

2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖，但佩雷尔曼拒绝接受该奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。 

四、黎曼猜想

　　黎曼猜想由德国数学家波恩哈德 • 黎曼于 1859年提出。它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题 (猜想界皇冠)。

多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。1901年 Helge von Koch 指出，黎曼猜想与强条件的素数定理等价。

现在已经验证了最初的 1500000000 个素数对这个定理都成立。但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。

黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。大部分数学家也相信黎曼猜想是正确的 (约翰 • 恩瑟 • 李特尔伍德与塞尔伯格曾提出怀疑。塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。在 1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。) 克雷数学研究所设立了 $1000000美元的奖金，给予第一个得出正确证明的人。

历史研究

　　黎曼 1859年在他的论文中提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。黎曼知道 ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线 s = ½ + it 上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域 0 ≤ Re(s) ≤ 1中。

1896年，雅克·阿达马和 Charles Jean de la Vallée-Poussin 分别独立地证明了在直线 Re(s) = 1 上没有零点。连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域 0 < Re(s) < 1 上。这是素数定理第一个完整证明中很关键的一步。

1900年，大卫 • 希尔伯特将黎曼猜想包括在他著名的 23条问题中，与哥德巴赫猜想一起组成了希尔伯特名单上的第 8号问题。同时黎曼猜想也是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖数学难题的。

希尔伯特曾说，如果他在沉睡 1000年后醒来，他将问的第一个问题便是：黎曼猜想得到证明了吗？[1] 1914年，高德菲 • 哈罗德 • 哈代证明了有无限个零点在直线 Re(s) = ½ 上。

然而仍然有可能有无限个不平凡零点位于其它地方 (而且有可能是最主要的零点)。后来哈代与约翰·恩瑟·李特尔伍德在 1921年及塞尔伯格在 1942年的工作 (临界线定理) 也就是计算零点在临界线 Re(s) = ½ 上的平均密度。

近年来的工作主要集中于清楚的计算大量零点的位置 (希望借此能找到一个反例) 以及对处于临界线以外零点数目的比例置一上界 (希望能把上界降至零)。

五、杨－米尔斯存在性与质量间隙

　　“杨－米尔斯规范场论与质量间隙” 是理论物理中规范场论的一道基础问题，必须在数学上严格证明杨 - 米尔斯场论存在 (即需符合构造性量子场论的标准)，亦要证明它们有质量间隙，即模型所预测的最轻单粒子态为正质量。

2000年，克雷数学研究所悬赏各一百万元的数学七大千禧年难题，其中一道题为 “杨－米尔斯规范场论同质量间隙”。

　　背景 我们所知多数非凡 (nontrivial) ——即有相互作用——的四维量子场论皆有 cutoff scale 的有效场论。因多数模型的 beta- 函数是正的，似乎大多数这类模型皆有一支 Landau pole，因我们完全不清楚它们有没有非凡紫外定点。

故此，若每一 scale上皆定义有这样的量子场论 [注 1]，它只可能为单纯的自由场论。 然而，有不可交换结构群的杨-米尔斯理论 (无夸克) 例外。它有一种性质称为渐近自由，指它有一单纯的紫外定点。因此，我们可以寄望它成为非凡的构造性 (constructive) 四维量子场模型。 不交换群 Yang-Mills 理论的色禁闭性已有符合理论物理严谨性的证明，但未有符合数理物理严谨性的证明 [注 3]。基本上，换言之，过了 QCD 尺度 (或者这里应称为禁闭尺度，因为无夸克)，那些色荷粒子被色动力学的 “流管” 连着，所以粒子间有线性势 (“弦” 张力 x 长度)。所以胶子之类自由贺粒子不可能存在。若没有这些禁闭效应，我们应见到零质量的胶子；但因它们被禁闭，我们只见到不带色荷的胶子束绑态——胶波。凡胶波皆质量，所以我们期望质量间隙。 格点规范场论的结果令不少工作者相信，这个模型真的有禁闭现象 (由 Wilson 圈的真空期望值的下降的 “面积规律” (area law) 看出)，但这项结果还没有符合数学的严慬性。

六、纳维-斯托克斯存在性与光滑性

　　纳维－斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维－斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在 2000年提出的 7个千禧年大奖难题中的一个问题。

纳维－斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体 (液体或气体) 的运动。纳维－斯托克斯方程的解可以用到许多实务应用的领域中。不过对于纳维－斯托克斯方程解的理论研究仍然不足，尤其纳维－斯托克斯方程的解常会包括紊流。虽然紊流在科学及工程中非常的重要，不过紊流仍是未解决的物理学问题之一。 许多纳维－斯托克斯方程解的基本性质都尚未被证明。

例如：数学家就尚未证明在三维坐标，特定的初始条件下，纳维－斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未证明若这様的解存在时，其动能有其上下界，这就是 “纳维－斯托克斯存在性与光滑性” 问题。

由于了解纳维－斯托克斯方程被视为是了解难以捉摸的紊流现象的第一步，克雷数学研究所在 2000年5月提供了美金一百万的奖金给第一个提供紊流现象相关信息的人，而不是给第一个创建紊流理论的人。基于上述的想法，克雷数学研究所设定了以下具体的数学问题。

部分结果

　　二维空间下的纳维－斯托克斯问题已在 1960年代得证：存在光滑及全局定义解的解。

在初速 05[4] 相当小时此问题也已得证：存在光滑及全局定义解的解。

若给定一初速 06[6]，且存在一有限、依 06[7] 而变动的时间 T，使得在 07[4] 的范围内，纳维－斯托克斯方程有平滑的解，还无法确定在时间超过 T 后，是否仍存在平滑的解。 数学家让 • 勒雷在 1934年时证明了所谓纳维-斯托克斯问题弱解的存在，此解在平均值上满足纳维－斯托克斯问题，但无法在每一点上满足。

七、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想

　　贝赫和斯维讷通-戴尔猜想，简称为 BSD 猜想。那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。

事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数 z(s) 在点 s=1 附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果 z(1) 等于 0，那么存在无限多个有理点 (解)。

　　相反，如果 z(1) 不等于 0。那么只存在着有限多个这样的点。

我确实看不懂这世界七大数学难题是什么东西，我想大多数人也和我一样，根本不知道这讲的是什么，还是期待那些个神人去解答这些问题吧。

数学脑筋急转弯 1:

有 3個人去吃麵條，三碗30元， 三個人每人掏了 10元湊夠 30元交給了老闆。 後來老闆說今天優惠滿 30元減 10元，拿出 10元讓服務生退還給他們，服務生偷偷藏起了 4元，然後，把剩下的 6元錢分給了那三個人，每人 分到 2元。 這樣，一開始每人掏了10元，現在又退回 2元，也就是：

10-2=8，每人只花了 8元錢，

3個人每人 8元，

3x8=24元+服務生藏起的4元=28元,

還有 2元錢去了哪裡??? 此題在全世界曾引起巨大反響。 求解答！

解 答：

难题说不上，防止老年痴呆是有益的。24元已经包括服务员提取的 4元了，不能 24元再加 4元了！4元也是 30元里的一部分。

30=20+4+6

数学脑筋急转弯 2

小明向爸爸借了 ¥500块钱。向妈妈借了 ¥ 500块钱，这就1000块钱了，然后他去买了一双鞋，花了 ¥970块钱，还剩下 ¥30块钱，他还了 ¥10块钱给爸爸。还了 ¥10块钱给妈妈，自己留下了 ¥10块钱，这么算来，他现在欠爸爸 ¥490块钱，欠妈妈的¥490块钱，那 ¥490 加上 ¥490 再加自己手里丽 ¥10 块钱，等于 ¥990 块钱，

¥490 + ¥490 + ¥10 = ¥990

但小明当时借了 ¥1000块钱，还有 ¥0 块钱哪去了？



解 答：

这题目岀的弱智，实际借了 ¥980，减买鞋 ¥970，剩 ¥10块。

¥980 - ¥970 = ¥10

¥980 是欠款，¥10元是 ¥980 - ¥970 借出来的钱花剩下的，与债务 ¥980 不是同一概念。

¥1000 = ¥970 + ¥10 + ¥10 + ¥10

各借500共 ¥1000，花了 ¥970，

¥970÷2＝¥485，

也就是说一双鞋爸妈各自出¥485，还各自还回 ¥10，就是爸妈各自 495，两个人共 ¥990，加上小明手里的 ¥10块不就是刚好 ¥1000。

(¥970 ÷ 2 + ¥10) x 2 + ¥10

= ¥495 x 2 + ¥10

= ¥1000

这个题目其实的表面数字忽悠了，换一种算法不就对了吗！

最简单的方法：

抓住文字重点：

借了 ¥1000，买鞋 ¥970，

还了 ¥20，余下 ¥10 (自己)。

入：¥1000

出：1. ¥970买鞋 2. ¥20 归还

余：¥10

¥1000 = ¥970 + ¥20 + ¥10