巧寻解题突破口

汪金明

汪金明

巧寻解题突破口
——一道数论题的解答和说明
汪金明
2022年8月31日
2022年8月31日晚上，我做了华师-小学奥数教练二群（QQ群）的2022年8月31日的作业题，并提交了解答结果。这是一道数论题，看起来云里雾里，难以找出突破口，如果你能掌握好余数的一些特点的话，加上细心思考，解题的突破口就会向你迎面走来。
下面我把解题思路、方法记录如下。
一、题目
有5个整数，从这5个整数中选出3个整数计算它们的和。将它们的和按从小到大的顺序排列时成为：
35、46、47、48、49、51、60、62、63。每次选出3个整数的组合一共有10种，其中只有1个和出现了2次。
（1）出现2次的和是哪个？
（2）请求出5个整数的和。
（3）请求出全部5个整数。

二、解答
（一）理解题意
“每次选出3个整数的组合一共有10种”从这个条件可知，从这5个整数中选出3个整数计算它们的和共有10个，每个和都是有3个整数加得的结果，10个和要共用30个数，这30个数都是题目中的5个整数重复出现得来的，并且它们是等频率出现的。那么，30÷5=6 10个和的和就是“5个整数”和的6倍。显然，要求出5个整数的和，必须先求出出现2次的和是什么。
（二）解答“（1）”
要求出出现2次的和看起来一片茫然，如果我们好高骛远、冥思苦想，要找出什么高妙的解答方法，那就是自寻烦恼。我们应该舍远求近，根据“（一）”中的分析可知 10个和的和能被6整除，“出现2次的和”它们除以6的余数一定相同。于是，我决定把余数的特点作为突破口来解答“（1）”。
1、求35、46、47、48、49、51、60、62、63分别除以6得到的余 数（48、60均能被6整除，可不考虑。）。35、46、47、49、51、62、 63分别除以6得到的余数依次为5、4、5、1、3、2、3；
2、 求35、46、47、49、51、62、 63这7个和的和除以6得到的余数（48、60均能被6整除，可不考虑）。
5+4+5+1+3+2+3=23 23÷6=3…5 即，前9个和的和除以6得到的余数是5.
3、求出现2次的和。6-5=1 说明第10个和（出现2次的和）除以6得到的余数是1.那么出现2次的和一定是49.
这里运用了余数的两个特点：特点一，余数相等的特点，就是被除数和除数相同，得到的余数一定相等；特点二，余数和等于除数的特点，就是两个不同的被除数的和要能被同一个除数（a）整除，这两个不同的被除数分别除以同一个除数（a），得到的余数和要等于除数（a）。

（三）解答“（2）”
根据“（二）理解题意”中的分析得出的“10个和的和就是‘5个整数’和的6倍”，可以列式求得5个整数的和。
（35+46+47+48+49+49+51+60+62+63）÷6
=510÷6
=85
（三）解答“（3）”
1、设5个整数分别为a、b、c、d、e，且 a a+b+c=35 （1） a+b+d=46 （2）
b+d+e=62 （3） c+d+e=63 （4）
2、由（1）、（4）可以求出c的值。
c=（a+b+c）+（c+d+e）-85
=35+63-85
=13
3、由（3）、（4）可以求出b的值。
（c+d+e）-（b+d+e）
=c-b
=63-62
=1
那么，c-b=1 13-b=1 b=12
4、最后求出a、d、e的值。
a+b+c=35 a+12+13=35 a=35-25 a=10
a+b+d=46 10+12+d=46 d=46-22 d=24
c+d+e=63 13+24+e=63 e=63-37 e=26
5个整数分别是10、12、13、24、26。

三、检验
1、看看5个数的和是否是85.
10+12+13+24+26=85
2、能否得到出现2次的和49.
10+13+26=49 12+13+24=49
读者可以进一步加以验证！
四、启示
解答复杂的应用题，我们不要有畏难的心情，而要细心读题，理解题意，从相关的基本知识点入手，逐步推理下去，疑难的迷雾常常会消散无踪，那清晰的思路就会展现在你的眼前。所以，重视基础知识的学习和运用是我们不断进步的基础。