第七届高研班第三小组读书分享：《情真意切话数学》第五、六章

明德惟馨

数学

极限

无穷小

意境

数列

人文

欣赏

情真意切

层次

诗歌

腹有诗书气自华，最是书香能致远

2022年8月，按照新世纪小学数学第七届高研班读书分享计划，第三小组成员按照组内计划，进行第二期读书打卡活动。现先将其中的一位成员的读书分享呈现给大家。

写在前面的话

本书以全新的人文视角，诠释一些重要的数学概念与数学定理，将古诗词的人文意境和数学的思想意境对接沟通，情真意切地欣赏数学，平添数学的文化氛围。书中对微积分思想体系做了详尽的人文分析，以局部与整体的对立统一为线索，解读了微积分这一人类文明的科学精髓。

具体目录如下：

宁夏灵武市第四小学 孙小芳

推荐语：数学意境和人文意境彼此是如何相通互相借鉴的，《情真意切话数学》会触动每位数学教师的“数学人文”的心弦。

《情真意切话数学》第五、六章读书体会

大家好，我们在8月份认真研读了张奠宙的《情真意切话数学》一书，这是一本别有风味的谈数学与数学教育的力作，将中国古诗词等文学艺术和数学思想加以连接，既有数学的科学内涵，又有丰富的人文素养，把数学与文艺沟通，帮助我们更好的理解和亲近数学。以下我以第五章《数学欣赏 文史寻根》和第六章《“一尺之棰”和“孤帆远影”——谈数学中的极限》为例，与大家分享我的读书心得。

第五章《数学欣赏 文史寻根》

数学欣赏有很多角度，包括数学自身存在的美感，独立的审美情趣以及特有的价值观，但是，我们也关注某些数学内涵和中国古典诗歌之间的互动，以达到人文欣赏的目的。
1.诗歌与数学的情景交融
诗歌中有数学，数学中有诗歌，把诗歌中的数学意境呈现出来，使学生产生共鸣。帮助学生感受、体验和欣赏数学冰冷形式的美丽。
“平平湖水清可鉴，水上半尺生红莲，出泥不染亭亭立，忽被吹到清水面。渔人观看忙问前，花离原位二尺远，能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”数学问题富有诗情画意，可以增加些趣味性，但是对增进数学理解没有多大助益，这种联系属于联系的低端，数学与人文意境的沟通与升华，体现在借助诗歌构建数学模型，虚实呼应。耳熟能祥的诗句和数学模型看起来毫不相干，但在本质上却千丝万缕的关联。就如直线和圆相切问题，是一个利用勾股定理来解决的数学模型，我们可以引用王之涣《登鹳雀楼》中的脍炙人口的诗句：
白日依山尽，
黄河入海流。
欲穷千里目，
更上一层楼。
我们可以请学生从数学角度来分析：欲能看到千里远，到底需登几层楼？“千里目”描写诗人一种无止境探求的愿望，还想看得更远，看到目力所能达到的地方，唯一的办法就是要站得更高些，“更上一层楼”。“一层”，是虚指，有诗人的夸张、想象成分，数学之真在于理性，数学之实在于精准。数学追求一种完全确定、完全可靠的知识，诗歌的想象和数学的真实，通过对比而互相印证。
2.数学的和谐美——读白居易“寄韬光禅师”
数学的和谐美，为大家所称道。白居易的“寄韬光禅师”描写了一副自然界的和谐图景，用以衬托“数形结合”的数学意境，可说恰到好处。论数学之美可以分为美观、美好、美妙和完美4个层次。第一层次是美观，几何图形的美观，黄金分割之美感，对称美带来的愉悦，人人皆知，无需复述。感官可以察觉的美。可以非常美观，但是却并不一定美好，因此，我们认为数学美的第二个层次是“美好”，即必须从美观层次进到美好层次进行欣赏。有些数学公式，外观并不和谐，也不美观，但是一旦掌握了，感到它的正确，真实，美好的感觉就会油然而生。第三个层次是美妙，数学中的许多结果，往往出乎“意料之外，却又在情理之中”，比如，三角形的3条高、3条中线、3条角平分线都分别交于一点，真是妙极了。美妙的第四个层次是完美，这涉及公理化、严谨性、普遍性等哲学层面。
3.“识以领之，方能中鹄”——兼谈打麻将为什么不能产生概率论
本节内容引用赌博中分配赌金先阐述了简单的概率论，又用约定好但又中途中断的赌博游戏引出了期望值，一些优秀的数学家，能够在看不见数学的地方发现和运用数学，美国的维纳建立了信息论，香农建立了控制论，冯·诺依曼建立了电子信息技术设计方案，他们三人在1948年不约而同地做出了创造性的贡献，在别人看不见的地方，发现了数学问题，解决了数学问题，这是最大的数学创新。

第六章《“一尺之棰”和“孤帆远影”——谈数学中的极限》

极限，是普通名词，又是数学名词，两者在意境上相通。古老的朦胧极限概念开启微积分时代，牛顿的无穷小量引起数学危机，以后经过的200年的风雨，在19世纪末，极限理论才获得稳固的根基。
1.极限的意境
1859年，李善兰和伟列亚力翻译《代微积拾级》，将“limit”翻译为“极限”，用以表示变量的变化趋势，于是极限成为专有的数学名词。“一尺之棰，日取其半，万世不竭”作为极限的例子，非常形象的描述了一个潜无限的变化过程的归宿为0，“孤帆远影碧空尽”描述了“孤帆”远影的大小（变量）于0的动态意境。碧空“尽”，在数量上的最后归宿也是0，他们的区别在于：前者变化过程是是离散的，后者则是连续的。书中还讲到了数列极限，数列就是离散的变量它不连续，我们把有极限的数列称为收敛数列，没有极限的数列称为发散数列。
2.数列极限严格定义的欣赏
前面运用极限直觉，借助特殊的数列极限示例，对极限做了大致描述，这一节将运用现代的数学符号，给出数列极限的严格定义，拨开神秘的“无限”面纱。
3.函数的极限与连续
微积分是用极限方法研究函数的性质，这一节研究定义在区间［a，b］上函数的极限特性。一是连续和间断，书中用三幅函数图像给读者直观的描述了间断与连续，极限思想帮助理解连续的意境。二是函数极限的ε-δ定义。三是数学的存在性定理。
4.无穷小量——早期微积分学有效但不严谨
牛顿之前，已经有许多数学家运用无穷小量进行研究，法国数学家运用无穷小量得出了令人惊奇的正确结论，可是无穷小量是什么？没人能解释的清楚。神奇的费马证明论证了周长一定的矩形以正方形围成的面积最大。他的论证逻辑上确实是不可接受的，一会说无穷小量E不是0，一会说E可以略去即等于0，前后矛盾，但是那个时代，大家不关心基础的牢固，只看结果正确。和费马同时代的数学家，都普遍地只用无穷小量分析，在牛顿正式创立微积分的许多论述中，也大量使用这种无穷小量方法。在17世纪，数学家还顾不得脚下的基础，二是大踏步前进，尽量“掠取”战利品，人们收获了大量的科学成果，名副其实地创造了“科学黄金时代”。在今天看来，无穷小量是一个变化过程它的归宿是0，即一个极限为0的变量，在变化过程中一直不是0，只是最终极限是0。