第七届高研班第三小组读书分享：《情真意切话数学》

明德惟馨

数学

极限

意境

情真意切

人文

欣赏

无穷小

微积分

函数

数列

腹有诗书气自华，最是书香能致远

2022年8月，按照新世纪小学数学第七届高研班读书分享计划，第三小组成员按照组内计划，进行第二期读书打卡活动。现先五位成员的读书分享呈现给大家。

写在前面的话

本书以全新的人文视角，诠释一些重要的数学概念与数学定理，将古诗词的人文意境和数学的思想意境对接沟通，情真意切地欣赏数学，平添数学的文化氛围。书中对微积分思想体系做了详尽的人文分析，以局部与整体的对立统一为线索，解读了微积分这一人类文明的科学精髓。 具体目录如下：

福建省泉州市实验小学 王明滨

推荐语：这是一本以全新的人文角度，诠释一些重要的数学概念和数学定理的数学著作。将古诗词的人文意境和数学的思想意境相对接沟通，很形象地解释一个个抽象难懂的数学概念。有一种言有尽而意无穷的韵味。

多角度观察 多元地理解 多层次地表达

——《情真意切话数学》第一、二章读书体会

这是一本以全新的人文角度，诠释一些重要的数学概念和数学定理的数学著作。将古诗词的人文意境和数学的思想意境相对接沟通，很形象地解释一个个抽象难懂的数学概念。有一种言有尽而意无穷的韵味。例如：当中第2章第3节是这样来解释“实无限”和“潜无限”的。“无边落木萧萧下”的意境是“实无限”；“不尽长江滚滚来”的意境是“潜无限”。化用古代诗词的中的意境，来解释严谨的数学概念，既简洁又给读者留下了美好的遐想空间。把两种无限，一种没完没了的“潜无限”和另一种“将无限一览无余”的“实无限”巧妙地区别开来。
像这样的例子还有，例如，用《道德经》来解释自然数为什么要包含0？“因为我国的数学教科书，一向认为自然数都是从1开始的。但是，1993年《中华人民共和国国家标准》颁布，其中规定：自然数包含0。大家对此觉得有点不习惯。其实，把0看作自然数的理由很多。”
书中用《道德经》来解释0的合理性，给我留下深刻的印象。“正当大家对自然数包括0还不大习惯的时候，发现《道德经》里已经认为在1之前，还有一个虚无的“道”，1是由虚无的“道”生成的。这个“道”不就是今天的0吗？”这样的解释可谓妙趣横生，兼具理智与情趣的美妙，把道的真空与妙有相结合来解释0作为自然数的合理性，这算不算是东方哲学与科学融汇贯通的典范呢？

书中这样的例子可谓不胜枚举，正如书中所言：许多数学思想可以在中华古典文学中寻得类似的意境。数学欣赏，是进行数学文化教育的一部分。正因为如此，我们更需要多角度观察、更多元地理解、更多层次地表达。在阅读本书的过程中，把数学的核心素养“三会”融汇其中，用数学的眼光观察，用数学的思维思考，用数学的语言表达，你会多出不一样的阅读体会，我想，这正是编写本书的重要意义所在吧。所以，赶紧翻开书本读一读吧，本书既能丰富你的数学知识，又能提升你的文学素养，何乐而不为呢？

包头市东河区牛桥街小学 刘卉

推荐语：匆匆浏览到细细品味，我深切地感受到，这是让数学走出高贵的学术殿堂，朴素而平和地流淌于学生心灵深处的一本好书。

让数学朴素而平和地流淌于学生心灵深处

——《情真意切话数学》第三、四章读书心得

提起数学，大家的第一反应可能是抽象的定理，枯燥的公式，繁琐的计算。其实，欣赏数学，你会发现、感受、体验到数学的真善美。《情真意切话数学》便是一本别有风味的谈数学与数学教育的力作，由张奠宙教授和丁传松、柴俊两位先生合作完成。该书以全新的人文视角，诠释一些重要的数学概念与数学定理，将古诗词的人文意境和数学的思想意境对接沟通，情真意切地欣赏数学，平添数学的文化氛围。书中多个实例将数学冰冷的形式赋予了火热的情感，使学术形态的数学还原为教育形态的数学，让数学明白易懂，平易近人。
妙法助理解
对于没有学过代数式的学生来说，未知数的引入是一个难点，“过河取宝”、“拴线拉宝”，形象指出算术思维和代数思维的差异。用鲜明的例题让学生产生认同感，让他们思想上感到理性精神的震撼，便会自觉的运用方程来解决问题，欣赏方程思想所带来的思想上的便捷。
抽屉原理，纯粹数学存在性定理，能意会却不好言传。诗人贾岛的《寻隐者不遇》，“只在此山中，云深不知处”是存在性定理最美丽动人的描述。老药师在哪里，不确定，但一定在山里。借用诗的意境，帮助学生理解M个苹果放在N个抽屉里，M大于N，一定有个抽屉其中有两个以上的苹果，具体哪一个抽屉，不确定，但它一定存在。
坐标系的引入，学习的重点和难点是坐标系的建立，尤其是坐标原点的设置。原点是所有坐标的参照物，是基础。用教室座位构成的座位图，以横向的一排作为X轴，纵向的一列为y轴，就构成一个具有4个象限的直角坐标系，选择不同的同学作为原点，人没有动，坐标变了，就产生了坐标变换。这样“玩坐标”，用坐标表示“数学对象”，才是坐标系的数学价值所在。轻松愉快，有趣有料。
对比促思考
初中的函数定义是朴素的、宏观的，它告诉我们，世界上万物都在运动着，而且相互关联着。高中函数的定义是静态的、微观的，这时的函数着重在一个集合的每一个元素到另一个集合中唯一确定元素之间的对应关系。初中、高中的函数定义各有其内涵，二者互为表里，相得益彰。
有二次方程，也有二次函数。当给定一个函数值的时候，二次函数就是一个方程。静态的状态适合解剖分析，动态的状态可以观察变化趋势，函数与方程动静相衬，相得益彰。
直观和理性是整个思维过程的两个方面，相辅相成。学习数学不仅要使用公理化的逻辑思维方法，也要重视自己的直观观察。如同数学课上既要做题目，也要欣赏数学思想。
联系个人多年来的数学教学，因为自己的热爱也特别想让学生们能够真正的理解数学、亲近数学。所以始终不断的学习、收集、整理“数学史话”、“数学文艺”、“生活中的数学”等，并结合相关教学内容渗透其中，让学生感受到数学的美观、美好、美妙和完美。例如，认识钟表时，介绍中国古代各种计时工具；学习年月日时，分享年月日来历的故事，讲讲为什么四年一闰，百年不闰，四百年又闰的小知识；认识人民币时，加入“钱”家族的自述以及人民币的发行；学习测量时，介绍多种古老的长度单位，讲述“米”的确定与演变；认识十进制计数法时，介绍各种各样的进位制；认识加减乘除4种运算符号时，讲讲这些符号的来历，等等。关联生活，用数学解释生活中的现象，用数学解决生活中的问题。数学不再高高在上，不再神秘，不再抽象。
其实，数学的真善美，只是被淹没在形式演绎的海洋里，如果用心体察便会发现、感受、体验和欣赏。作为数学老师，就要让孩子们从苦学、厌学、俱学的状态中解脱出来，感受数学的奇、数学的趣、数学的美，让学生能理解数学、喜欢数学、热爱数学，让数学学科核心素养得以真正的发展。

宁夏灵武市第四小学 孙小芳

推荐语：数学意境和人文意境彼此是如何相通互相借鉴的，《情真意切话数学》会触动每位数学教师的“数学人文”的心弦。

《情真意切话数学》第五、六章读书体会

大家好，我们在8月份认真研读了张奠宙的《情真意切话数学》一书，这是一本别有风味的谈数学与数学教育的力作，将中国古诗词等文学艺术和数学思想加以连接，既有数学的科学内涵，又有丰富的人文素养，把数学与文艺沟通，帮助我们更好的理解和亲近数学。以下我以第五章《数学欣赏 文史寻根》和第六章《“一尺之棰”和“孤帆远影”——谈数学中的极限》为例，与大家分享我的读书心得。

第五章《数学欣赏 文史寻根》

数学欣赏有很多角度，包括数学自身存在的美感，独立的审美情趣以及特有的价值观，但是，我们也关注某些数学内涵和中国古典诗歌之间的互动，以达到人文欣赏的目的。
1.诗歌与数学的情景交融
诗歌中有数学，数学中有诗歌，把诗歌中的数学意境呈现出来，使学生产生共鸣。帮助学生感受、体验和欣赏数学冰冷形式的美丽。
“平平湖水清可鉴，水上半尺生红莲，出泥不染亭亭立，忽被吹到清水面。渔人观看忙问前，花离原位二尺远，能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”数学问题富有诗情画意，可以增加些趣味性，但是对增进数学理解没有多大助益，这种联系属于联系的低端，数学与人文意境的沟通与升华，体现在借助诗歌构建数学模型，虚实呼应。耳熟能祥的诗句和数学模型看起来毫不相干，但在本质上却千丝万缕的关联。就如直线和圆相切问题，是一个利用勾股定理来解决的数学模型，我们可以引用王之涣《登鹳雀楼》中的脍炙人口的诗句：
白日依山尽，
黄河入海流。
欲穷千里目，
更上一层楼。
我们可以请学生从数学角度来分析：欲能看到千里远，到底需登几层楼？“千里目”描写诗人一种无止境探求的愿望，还想看得更远，看到目力所能达到的地方，唯一的办法就是要站得更高些，“更上一层楼”。“一层”，是虚指，有诗人的夸张、想象成分，数学之真在于理性，数学之实在于精准。数学追求一种完全确定、完全可靠的知识，诗歌的想象和数学的真实，通过对比而互相印证。
2.数学的和谐美——读白居易“寄韬光禅师”
数学的和谐美，为大家所称道。白居易的“寄韬光禅师”描写了一副自然界的和谐图景，用以衬托“数形结合”的数学意境，可说恰到好处。论数学之美可以分为美观、美好、美妙和完美4个层次。第一层次是美观，几何图形的美观，黄金分割之美感，对称美带来的愉悦，人人皆知，无需复述。感官可以察觉的美。可以非常美观，但是却并不一定美好，因此，我们认为数学美的第二个层次是“美好”，即必须从美观层次进到美好层次进行欣赏。有些数学公式，外观并不和谐，也不美观，但是一旦掌握了，感到它的正确，真实，美好的感觉就会油然而生。第三个层次是美妙，数学中的许多结果，往往出乎“意料之外，却又在情理之中”，比如，三角形的3条高、3条中线、3条角平分线都分别交于一点，真是妙极了。美妙的第四个层次是完美，这涉及公理化、严谨性、普遍性等哲学层面。
3.“识以领之，方能中鹄”——兼谈打麻将为什么不能产生概率论
本节内容引用赌博中分配赌金先阐述了简单的概率论，又用约定好但又中途中断的赌博游戏引出了期望值，一些优秀的数学家，能够在看不见数学的地方发现和运用数学，美国的维纳建立了信息论，香农建立了控制论，冯·诺依曼建立了电子信息技术设计方案，他们三人在1948年不约而同地做出了创造性的贡献，在别人看不见的地方，发现了数学问题，解决了数学问题，这是最大的数学创新。

第六章《“一尺之棰”和“孤帆远影”——谈数学中的极限》

极限，是普通名词，又是数学名词，两者在意境上相通。古老的朦胧极限概念开启微积分时代，牛顿的无穷小量引起数学危机，以后经过的200年的风雨，在19世纪末，极限理论才获得稳固的根基。
1.极限的意境
1859年，李善兰和伟列亚力翻译《代微积拾级》，将“limit”翻译为“极限”，用以表示变量的变化趋势，于是极限成为专有的数学名词。“一尺之棰，日取其半，万世不竭”作为极限的例子，非常形象的描述了一个潜无限的变化过程的归宿为0，“孤帆远影碧空尽”描述了“孤帆”远影的大小（变量）于0的动态意境。碧空“尽”，在数量上的最后归宿也是0，他们的区别在于：前者变化过程是是离散的，后者则是连续的。书中还讲到了数列极限，数列就是离散的变量它不连续，我们把有极限的数列称为收敛数列，没有极限的数列称为发散数列。
2.数列极限严格定义的欣赏
前面运用极限直觉，借助特殊的数列极限示例，对极限做了大致描述，这一节将运用现代的数学符号，给出数列极限的严格定义，拨开神秘的“无限”面纱。
3.函数的极限与连续
微积分是用极限方法研究函数的性质，这一节研究定义在区间［a，b］上函数的极限特性。一是连续和间断，书中用三幅函数图像给读者直观的描述了间断与连续，极限思想帮助理解连续的意境。二是函数极限的ε-δ定义。三是数学的存在性定理。
4.无穷小量——早期微积分学有效但不严谨
牛顿之前，已经有许多数学家运用无穷小量进行研究，法国数学家运用无穷小量得出了令人惊奇的正确结论，可是无穷小量是什么？没人能解释的清楚。神奇的费马证明论证了周长一定的矩形以正方形围成的面积最大。他的论证逻辑上确实是不可接受的，一会说无穷小量E不是0，一会说E可以略去即等于0，前后矛盾，但是那个时代，大家不关心基础的牢固，只看结果正确。和费马同时代的数学家，都普遍地只用无穷小量分析，在牛顿正式创立微积分的许多论述中，也大量使用这种无穷小量方法。在17世纪，数学家还顾不得脚下的基础，二是大踏步前进，尽量“掠取”战利品，人们收获了大量的科学成果，名副其实地创造了“科学黄金时代”。在今天看来，无穷小量是一个变化过程它的归宿是0，即一个极限为0的变量，在变化过程中一直不是0，只是最终极限是0。

黑龙江省大庆市直属机关第三小学校 单超

推荐语：作者跳出数学看数学，以全新的视角，阐述中学数学和微积分学中蕴含的人文意境。本书观点新颖精辟，论述丝丝入扣，让我们一起真情意切地来欣赏数学。

《情真意切话数学》第七、八章读书体会

对张奠宙教授的崇拜源于《小学数学教材中的大道理》一书，《情真意切话数学》是由张景中院士主编，张奠宙、丁传松、柴俊作为编者的又一经典论著，本书让我们从人文角度来了解数学，欣赏数学，感受数学文化，原来数学竟然如此生动。
全书共有九章，读后让人变得更为智慧、通透。原来，换一个视角看数学，如此美妙！下面，我结合第七、八章中我印象最深刻的部分浅谈一下我的体会与感悟。
第七章中，作者从切线和速度两个和微积分有密切关系的概念切入，展开寻美之旅。让我印象深刻的便是书中所提到的“雨之美”。曲线的切线，是人类的直觉可以触及的，比如说旋转雨伞时，雨滴在脱离雨伞的瞬间是沿着雨伞旋转轨迹的切线方向飞出去的，虽然大家理解这句话的大体意思，但是一旦问究竟什么是“切线方向”却很难说清楚。人的强大直觉能力，使“切线”概念容易意会，但难以言传。在阅读的寻美之旅中，我们恍然大悟，原来微积分请极限“帮忙”，可以得出“曲线在一点处的切线是过该点割线的极限位置”的结论。意会的对象，终于可以言传了！
第八章中提到面积是一个相当原始的直觉概念。孩童从牙牙学语起，就知道哪张馅饼大，哪块蛋糕小。不过读到高中，我们能够求出面积的几何图形，也不过是直线构成的图形，即平行四边形、三角形、多边形等等。而曲边的图形，也只有圆而已。求一条曲线构成的图形面积很难。通过书中对于古代中国刘徽的割圆术，以及古希腊阿基米德求抛物弓形面积的解读，让我们感受到：人们一旦登上微积分的高峰，便可一览众山小。割圆术和求抛物弓形面积都是很精彩的数学计算精品，但也不过是统一方法的两个特例而已。东方和西方的两个伟大数学家走的是同一条道路，分割、作和、极限、获得结果。就数学思想方法而言，都是从“微小”的局部出发，加以累计，得出整体的结果。
作为小学数学教师，我不禁思考：在课堂上若我也能如此情真意切话数学，何愁学生不会爱上数学？我将以本次阅读书目为蓝本，深入思考，将数学意境与人文意境相沟通，同孩子们一起情真意切地来欣赏数学、爱上数学。

北京市怀柔区第一小学 刘东红

推荐语：本书情真意切地谈论着数学的真、善、美，诗情画意。不仅如此，书中还出现了，大量例子、诸多作者、相当多的书目，很多数学家。如果你恰好想读一读数学方面的书籍，看此书后，你能收获很多很多……

《情真意切话数学》第九章、附录读书体会

第9章微分搭台方程唱戏

微积分一旦形成，就会独立发展,微分方程和微分几何就是现代数学最重要的数学学科。 读《情真意切话数学》一书，感受最深的是书中出现的大量例子，诸多作者读过的书目，也让我们认识了很多数学家。如果你恰好想读一读数学方面的书籍，看此书后，你能找到很多好书。
最后，这本书让我从不同的角度重温了大量的数学知识。在谈极限时，用了“孤帆远影碧空尽”和“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的两个例子区别了连续和离散。再如让我们从古今中外的历史长河里来看微积分，书中最后用了一首很有意思的诗歌做了总结：
东方智慧中有“一尺之锤”的故事，西方典籍里记载着“穷竭法”的思想。卡迪尔创立了解析几何，终于可以用坐标系把函数画在纸上。“行到水穷处，坐看云起时”。平均变化率的极限尽头，就是导数和微商。“无穷小量”，“微分”魔杖。牛顿创立的“流数术”，攻关解难，万世流芳。遥想当年，阿基米德求出了抛物线弓形的面积，数学智慧令人神往。“割之又割，以至于不可割”，刘徽求圆面积的割圆术，一直在耳边回响。这使人们想起，效率不高但才艺超群的工匠。越过中世纪的漫漫长夜，迎来了“机械化”的隆隆轰响。微分的对立面“积分”成为“以直代曲”的流水线工厂。分割作和取极限的原理，就是产品的统一包装。当年德国的莱布尼茨把表示求和的拉丁字母S拉长，创立符号∫为积分披上了美丽的衣裳。“譬如积薪，后来居上”。李善兰在150年前，用汉字“积分”，在中国表示无限累积着的无穷小量。牛顿—莱布尼茨向众深挺近，将定积分、导数、原函数，三位一体地凝聚在一个公式上。弯曲和变化，从此不再神秘，高等数学新纪元的钟声随之敲响。微积分，源远流长，世人共享。