<h1>学会探索 化难为易<br>汪金明<br>2022年8月27日<br>2022年8月18日我做了华师-小学奥数教练二群（QQ群）的2022年8月17日的作业题，乍一看题，感到毫无头绪，后来想“图难于其易”，我就从简单的图形开始寻找规律。求出了正着放置的正方形个数是1785，斜着的我就没有继续做。2022年8月22日到深圳后，我尝试着求斜着放置的正方形个数，根据题目要求“作边长是整数的正方形”个数，我就想到斜着放置的正方形的边长和它对应的两条直角边应该符合勾股数的要求，我同样从较小的勾股数入手找规律，竟然求出了斜着放置的正方形个数是276个。1785+276=2061（个）<br> 以网格的格点为顶点作边长是整数的正方形合计为2061个。<br>下面我把探索过程详细地介绍如下，以期对青少年学子的学习有所启示。<br>一、题目：由单位正方形拼成的17×17网格，以网格的格点为顶点作边长是整数的正方形有多少个？<br></h1> <h1>二、解答<br>（一）正着放置的正方形<br>我是这样探索的，先画个1×1网格图（图1），以它网格的格点为顶点作边长是整数的正方形只有1个；再画由单位正方形拼成的2×2网格图（图2），以它网格的格点为顶点作边长是整数的正方形枚举共有5个；又画个由单位正方形拼成3×3网格图（图3），以它网格的格点为顶点作边长是整数的正方形枚举共有14个。1、5、14三个数有什么内在联系呢？观察发现：</h1> <h1>1、5、14、…、n这些数要是看做一个数列</h1> <h1>举验证得到：在4×4网格图中，以网格的格点为顶点作边长是整数的正方形枚举共有30个，具体为只有一个单位格组成的正方形4×4=16（个），有四个单位格的组成的正方形3×3=9（个），有九个单位格的组成的正方形2×2=4（个），有16个单位格的组成的正方形只有1个，16+9+4+1=30（个）。……由此推出用单位正方形拼成的17×17网格，以网格的格点为顶点作边长是整数的正着放置的正方形个数为 </h1> <h1>=17×（17+1）×（2×17+1）÷ 6=1785（个）</h1><h1>结论一：以网格的格点为顶点，边长是整数的正方形中，正着放置的正方形个数为1785。</h1> 图1 图2 图3 <h1> 图4</h1><h1><br></h1><h1>在枚举计数时，不要硬数，而要运用分类计数和平移的方法。以图3的3×3网格图（图3）为例，枚举计数时，可以分成三类进行，只有1个单元格组成的正方形是3×3=9（个）；只有4个单元格组成的正方形是2×2=4（个），这里就要运用平移的方法，图3的左上角的2×2正方形可以向右平移一次，还可以向下平移一次，计2×2=4（个）；只有9个单元格组成的正方形是1个。合计：4+9+1=14（个）。<br>（二）斜着放置的正方形<br> 斜着放置的正方形的边是直角三角形的斜边，所以，这样的正方形的边必须存在一组勾股数。在用单位正方形拼成的17×17网格里，斜着放置的正方形勾股数只有三组，分别是：</h1> 图5 图6 <h1> 图7</h1><h1><br></h1><h1>求斜着放置的正方形个数同样要由画简易图开始进行探索，先根</h1> <h1>正方形拼成的14×14网格图（图6）、17×17网格图（图7）中各可以画出2个以网格的格点为顶点，边长是整数的正方形。<br>7×7网格图（图5）放在17×17网格图（图7）中的左上角可以分别向右、向下平移10次，共有斜着放置的正方形<br>（10+1）×（10+1）× 2=242（个）；14×14网格图（图6）放在17×17网格图（图7）中的左上角可以分别向右、向下平移3次共有斜着放置的正方形（3+1）×（3+1）× 2=32（个）。斜着放置的正方形个数为242+32+2=276（个）。<br>结论二：以网格的格点为顶点，边长是整数的正方形中，斜着放置的正方形个数为276。<br>1785+276=2061（个）<br>结论三：由单位正方形拼成的17×17网格，以网格的格点为顶点作边长是整数的正方形有2061个。<br>树立“图难于其易”的思想，学会探索、善于探索，常常能帮我们解决复杂繁难的问题，青年学子不可不注重探索的价值。</h1>