【正宪班】主题研修Ⅱ建立“周长—面积—体积”整体结构 重在培育量感与推理意识——导师吴正宪专题讲座活动

素心

2022年7月19日上午，导师吴正宪结合课例给我们做了《建立“周长-面积-体积”整体结构——重在培育量感与推理意识》专题讲座。

上午的活动由正宪班班主任宋君主持。

7月17日下午吴老师和老师们聚焦的是数与运算领域的分享，今天进入第二领域“图形与几何”，原来四个主题，现在整合成两个。重点是对周长、面积、体积怎样进行结构化的整合进行分享。

课标统领 两个方面

面积、体积、周长怎样来的，都是测量出来的，都是度量。换言之，讲面积，就一定要测量，怎么通过测量理解面积，所以今天的第一个观点就是要把几何概念与度量整合在一起，用这样整体的视角来建立它们的结构。

它们在本质上是一质的，不能只用描述性的语言建立概念。

四个观点 观点一

概念与度量不可分，它们的本质都是单位的累加，我们一定要用单位测量的方法来认识它。能够让学生从度量的角度去理解周长、面积、体积，通过小单位测量大单位，走这条路径去认识。概念本质、度量本质上都具有一致性。

这一点和数的认识是一致的。认识5时用1去度量，度量了五次，这和数的概念是一致的。

刚才谈本质谈了一致性。具体的步骤也具有一致性，就是这四步。

确定测量步骤的一致性如图:

观点二

虽然把图形的认识与测量整合为一个主题，它们都是有限性，都具有可加性。但它们又各有各的重点，它们又有联系。

三个不同的单位，它们的属性不 一样，但是它们有关联，这个关联怎样让学生去感受，体验。

观点三

一个是要积累操作的经验，还要培养学生用定量的方法认识它。孔融四岁让梨，没有度量，直观感知。我们数学学习，还要引导孩子用定量的方法刻画属性，要形成习惯，用数据说话，来形成量感。

什么是直观感知？什么是度量认知？度量认知就叫培养量感。量感就是对可测物体属性的一个直觉感知，也是对可测物体属性的大小、轻重、薄厚的一个直观感知。离不开单位，离不开测量。

观点四 课例评析 周长

从三节课来看，重点放到面积这节课的片断。三个概念中，首先认识周长。因为相当于是图形与几何领域的种子课。

我们要首先打通周和面的关系，初步感知概念。

周长和面积都看不见，摸不着。周长和面积都是带着量钢的数值。

周作为一个弱势的几何要素，藏在面里边。周长是带着量纲的一个数值来刻画线段的长短。

面很强大，一眼就看出来，如何把弱势的几何要素让它触手可及？

同学们，你们看到了什么？

颜色。

还看到了什么？

正方形、长方形、三角形。

这也是面。

还看到了什么？

生：有边，还有角。

师：几条边？

从这开始，又回来了，这就叫一周，你们摸一摸一周，再摸一摸这个面，这就是一周，怎样让周跳出来呢？

让学生看一看，说一说，摸一摸，摸一摸周和面感受区别。再结合儿童化的语言帮助学生理解面和周。

师：把提前镶嵌好的一周边线取下来，拎起来，把它放到黑板上，用两个磁扣粘好，这条连线就是长方形一周的长度。周，连线，细细的。面，平平的，周长在面的外面，面长在周的里面。还来它们还有联系。

这样就打通可一周和周长的关系，凸显概念本质。

面与周这两个几何要素就在分分合合中理清了联系。

那面积呢？面是测量的对象，积是测量的结果，面积是对封闭图形大小的刻画。操作的过程就是学生不断理解面积的过程。

片段赏析:

图2这个周取不下来了怎么办？我们在一条直线上能不能把三角形的三条边取下来？运用尺规，很严谨，体现可加性，严谨性，这个操作的过程就是学生不断理解的过程。尺规作图安排了三次：

1.画一条已知线段的线段。不用尺子，用规。

2.第二次，认识周长。如上图。体现它的可加性、严谨性。

3.作等边三角形。同时体会两边之和大于第三边。

给一条直线段，请作一个等边三角形。首先要把这条直线段画出来，最重要的是什么？三角形是三个顶点，现在两个顶点就找到了，关键是第三个顶点，其它的两条线段相交的点怎么找？如果仅用尺子，不容易找，怎样找？老师们，千万别把尺规作图当作一个知识点去教，让孩子们玩起来，同学们，我们能不能让圆规这个工具帮帮忙？两个圆会有一个交点，请问：这个交点能作为等边三角形的那个顶点吗？可以，因为，我是用底边的线作为半径来画圆的，就符合线段的长度一样长，老师，我不仅找到了一个交点，下面还有一个交点。老师们，孩子喜欢活动，喜欢画，在画的过程中，他会给我们带来及多惊喜。他会有很多收获：只要叉开的角不动，这此线段都是相等的。好，画完了靠边三角形，还可以继续发展，假如我给了三条不同线段长度的边，你能用它们组成三角形吗？他会发现当取这两条边的时候，两边之和大于第三边，能画成，两边之和小于第三边，没有交点，等于时，这个交点会落在底边上一点。

如上图，画出来后，先让学生估一估。

不要把尺规作图当知识点来教。玩起来。给一条已知线段，利用尺规做一个等边三角形。学生在涂涂画画玩玩中可以带来很多惊喜，会有很多新奇的发现。

大周是周，小周也是周，只不过起点和终点不同。

面积

接下来，进入第二块面积领域的学习。

从直观感知到度量认知的过渡。

师：你去指一指它的一周在哪？

师：这就是一周，那它的周长呢？

师：你们是当时的一周是怎样求出来的？

生：长加宽的和乘2.

师：当时借助了一个重要工具，尺子上有刻度 ，这是1厘米，2厘米，3厘米，这1厘米叫什么？这就叫测量长度的单位。

师：量一量，量几条边呢？要想知道长方形它的周长是多少，必须得进行测量，测量的时候第一件事是什么？你得知道量谁，还得找到测量的工具，有了工具还得确定测量的对象，最后才能获得测量的结果。

刚才那个小朋友指的是它的一周，一周的长度就是它的周长。周长就是被我们一点一点的测量出来的。第一件事，量什么呀？第二件事工具，单位，最后才有测量的结果。回忆一下，那么，周有多长，就叫周长。本来这一周是弱弱的，藏在它里面，那你们首先看到的，是这个图形的面？周有多长，就是周长。你想知道什么？

生：摸一摸

师：他摸的是什么？

生：面

师：周有多长是周长，面，我们怎么说？比如说我们这个地的面，得说面有多大。周有多长叫周长，面有多大叫？

生：面积。

师：你知道面积是什么吗？不急，这节课我们就一起来研究。

吴老师：刚才看到的是周长和面积的对接。

师：黑板上贴两张纸片，谁大呀？

师：哪个大？一号。

你能不能说清楚，这个面比这个面大了多少啊？或者它比它小了多少？你怎么想办法说清楚。

片断：

图1，12个格子，图18个格子，你想说什么？

师：我在每个组里都给出了卡片，大正方形有，小正方形有，还有三角形的卡片。

什么是量感，让学生感受单位的意义是量感的表现，让学生感受到统一单位的必要是量感的表现，学生单位的换算是量感的表现，学会估计物体的大小是量感的表现。为什么？这些量感的四个表现都不是老师教出来的，都要从直观感知走向度量认知。

师：这些12个格子，18个格子，谁大呀？

生：不能这样测量，因为这个是大格子，这个是小格子，这样子是比不出来的。

师：你听懂他的意见了吗？

师：那你用数格子谁的格子多？但是它们俩谁的面大呢？那你这样能说的清楚吗？

生：不能。

师：能比出谁我谁少吗？有什么好建议没有？先不急，他们选的格子有大，有小，现在比不出来，怎么办？

生：用一样大小的格子才好测量。

师：测量周长时这一周有多长，是不是用一样的单位测量的，那你们能改正吗？

师：现在我们把同样的大格子给你们，看看这样能不能把这件事说清楚。

师：现在能说清楚了吗？哪个面比较大？

师：你们为什么选择同样大小的格子？

生：同样大小，数一数才能比出来。

师：要是不一样大小，你们觉得？

生：不公平。

师：这样用了同样大小的格子一比，这事说清楚没有，但是我要问，这类里还有圆的，还有这样子的，你们为什么不选圆的呢？

生：会有缝隙。

师：有缝隙怎么了？

生：说不清楚了。

师：要用数格子的方法，就要把这张要测量的纸片全部得铺什么？

生：铺满。

师：对，就像测量周长时，一个一个要首尾接上，测量面积时，一个一个要铺满。

总结：

要想知道面的大小，必须用单位测量，以单位为核心 进行测量，测量时要铺满，要选择合适的单位，不然，依然说不清谁大谁小，要统一单位，还有，为什么要选择正方形的？他们异口同声是因为必须得这样。下面看，如何进行统一单位。

比二号和三号。

生：2号18个，3号是12个，所以2号比3号多了6个。他们发现用大的去摆的时候有空隙了，他们就把大的换成小的。

师：当你们摆不满的时候，我们可以看看横排摆几个，竖排摆几个。再想象一个。

师：上课以来，我们发现在砒的时候要用同样的格子，当我们再经的时候，发现大的格子铺不满的时候，大家想到把大的格子换成小的。

同学们，如果再来一个图形，用小的也铺不满了，怎么办？

生：再换成大的。

师：就剩一点点了，他还铺不满，怎么办？

师：我们找到了一个能够说清谁大谁小的方格，今天换一个，明天换一个

生：很麻烦。

大多少？借助摆方块进行比较，过渡到度量认知。

这里面有推理，也就是等式的传递性。

单位的概念建立很重要，因此要举例，他要找到1平方厘米就和指甲盖那样大。在这里，要给学生更多的感悟的时间，尤其是要找到合适的大小的单位，必须让学生说出来，这个原始概念的建立是非常重要的事。如果我们不重视原始概念的建立，后面的估算、量感的培养都是一句空话。

这整个的过程就是培养学生量感的过程。在这里他们感悟单位的意义，感悟为什么要建立单位，为什么要统一单位，为什么要换算单位，我反复地在说这段话，因为这段话已经写在课标里。

十一个素养的核心词十个都是11版，唯有量感是22版。这就是我想说的量感的培养。三个概念认识是一致的，以量感这样的学习为主线，从铺满这样的策略助力学生经验的迁移。

其实在讲面积时，学生已经推出了面积的计算公式。一排4个，3排4乘3。虽然在这里没有说那个公式怎样求，但是已经为公式的学习奠定了重要的基础。

体积

接下来，进入第三块体积领域的学习。

学生在这是有卡点的，三条边的长度都是厘米，等到我们后面再学习公式的推导，长度乘长度怎么就变成面了，再乘长度怎么就变成体了，长是5厘米，5厘米的边上我们已经摆了5个1平方厘米的小方块，2厘米的边上也摆了2 排。同理，4厘米的边上已对摆了4个1立方厘米的块，这个3厘米已经是3排了，三四一十二已经是十二个体积体位了，2层，一层12个单位，两层24个单位。

学生：怎么两个长度一乘就是面积？三个长度一乘就是体积呢？

因此，要帮学生形成转化。再看，体积的教学：

如：5比3大多少？你是用谁在比？是用1这个单位在比。1这个单位量了5，5次，3，3次，5比3大，大了2个1。

同理，一号盒子比二号大了多少，也是以单位为基础。那么，如何从感知到度量认知，操作，选什么样的单位？通过他的选择，这就是量感。

这是透明的容器。

上课时，用的是纸盒子，把盒子剪开，剩3个面，往里面填单位的时候，一目了然。

师：先提一个傻傻的问题？哪个大？五年级要研究什么？

师：要研究到底大多少？怎么办？

生：量。

总结：这就是培养学生的度量自觉。不要下指令，今天，我们能不能把这个空间给学生。

师：你比他重，重多少，得量，你比他重，重多少，得量，这个黑板面比那个大多少，得量。这个盒子比那个大多少，得量。

那，我们得找到量的工具，量长度时用了线段，量面积时，用了小正方形，量体积时，用什么工具？

生：用我这个小盒子去量。

片断：

让学生体会量的单位累加的过程。

体积课例片段欣赏。

生：1排3个，摆了3排，就是9个1立方厘米，就是9立方厘米。又摆一层，一共是18立方厘米。师：如果上面再摆一层。那就是3乘3乘3，那就是正方体。总结：他体会的体的大小，就是单位的测量，它具有可加性，此时，摆着摆着，他们已经发现了长乘宽乘高。这是体积概念的建立课，但是由于是在自己的操作中发现的，我们不是讲公式推导，孩子们已经完成了。像这样的课，我们不要去猎奇，也不要去追求什么亮点，一步一步把基础知识，基本能力和应该含有的核心素养 ，细水长流地让他们去体验。师：同学们，回头看，要给体积下定义了，今天孩子们完全是测量，摆，充满。师：面有多大，叫面积，体有多大，就是体大，就是体积。那今天我们认识了体积，什么是体积呀？师：教材是怎么说的？只不过任何物体都体积。师：老师体积大还是小朋友体积大？总结：今天最大的变化不是单纯地去描述 ，而是测量，我们要从文字的叙述走进单位的测量，它有多大，大多少，量，度量的自觉格外重要。就是这样一节体积概念的建立课，让学生在周长、面积经验的基础上，不断地自主学习、探究，增强了用量化的方法刻画事物的能力与习惯。如果我们把它扎实地落实在课堂的每一个环节中，核心素养才能落实。片断：师：听过孔融让梨的故事吗？四岁的小孩子那个年代就能看出谁大谁小，你想问什么？过去，我们让学生体会石子上去了，它占有空间。下课了，我给出了孔融让梨的故事，你想问什么？生：它们差了多少？生：体积是多少？生：重多少？300克，200克，是以谁为单位的？1克师：那体积差多少？这事好办，盒子方方正正的，世界上的物体都长成这样多好，但偏偏有这样的，它们的体积相差多少？总结：学生说，可以放在水里，也可以切成1立方厘米的小正方体。下课的铃声响了，孩子们的思维却又一次被冲击开，为后续的学习，培养创造性的思维，应用意识也打下了基础。这节课不是讲单位，但是我今天讲体积，如果不请出一个单位来，真的不好表达。数值带着量纲刻画了它有多大。因为它们想刻画物体的大小，就需要单位的帮忙。

度量的意义就在这丰富的体验中。建立量感有助于养成用定量的方法认识和解决问题的习惯。

千条江河归大海，图形与几何这个领域为什么把认识与测量变成了一个主题，今天用这样的三个概念，结合课堂教学的实例，作了一点点的分享，最终，我们要知道，图形与几何教学是非常重要的，不是让学生只会说我会求，关键要有核心知识，核心要素，更要关注到要培养的核心素养的落实，长久的孩子在这样有营养的数学学习中会不断地获得思维的成长。

最后，班主任宋君对今天上午的讲座做了精彩的总结。

1.专业。吴老师的讲座让我们体会到专业的力量，什么叫专业的解读教材？什么叫专业的做学问做研究？如何将新课标的理念落实到课堂当中？我们要学习吴老师这种专业的态度，把教学做的更好。

2.尊重。吴老师的课堂，是充满尊重的课堂，而且让核心素养的培育也落实在课堂中，同时，深切地感受到吴老师有一种大胸怀和格局，平等的和老师们进行交流，充分尊重每一位老师。

3.信任。在课堂上充分的信任学生，给学生充分发表意见的机会，给他们探索的空间，更好地提升了学生的学习力，让不同的学生得到不同程度的发展。

同时，宋老师还指出，吴老师是一本无字的书，只有接近她，才能把它读懂；吴老师是一本无言的诗，只有了解她，才能体会那段情；吴老师就是一股泉，只有认真的品尝才能感受到甜美。

充实、忙碌的上午结束了，对于周长、面积，体积这些易混的基本概念，吴老师的讲座无疑给老师们明晰了今后的教学思路，指明了培养学生量感的教学模式。期待下午的精彩继续！

图片：正宪班学员

文字: 李艳利

编辑：谢 丹

审核：吴亚博

监制：宋 君