探幽一道数学题的启示

汪金明

直线

部分

阴影

相等

分成

长方形

面积

画出

无数条

题目

探幽一道数学题的启示

汪金明

2022年7月1日

一、题目
仔细看图（图1），请画出一条直线把图中阴影部分（两个长方形的组合图形）分成面积相等的两部分。一共可以画出多少条直线，能把图中阴影部分分成面积相等的两部分？

图1

二、解答
1、画出一条直线把图中阴影部分分成面积相等的两部分。

图2

如图（图2），先连接左右两个长方形的对角线，再把两个长方形对角线的交点连起来得到一条直线L，直线L把图中阴影部分分成面积相等的两部分。
2、把图中阴影部分分成面积相等的两部分，一共可以画出多少条直线？
大多数人认为只有两种画法，即只能画出两条直线把图中阴影部分分成面积相等的两部分。下图（图3）是第二种画法。

图3

第二种画法和第一种画法的原理相同，这里不多加说明。
如果认为只能画出两条直线把图中阴影部分分成面积相等的两部分是正确的，那就错得离谱了。如果我说能画出无数条直线把图中阴影部分分成面积相等的两部分，也许你感到惊讶而不敢想象。
下面就来谈为什么能画出无数条直线把图中阴影部分分成面积相等的两部分。
（1）转化，就是把两个长方形转化成一个较大的长方形，如图4，这个较大的长方形MCEN的面积等于长方形ABCD与长方形DEFG的面积和。
转化的具体方法是：延长AB、EF交于点H，延长FG交AC于点L，连接LH交BD于点K，过K点作MN平行于CE，长方形ABMK的面积等于长方形KGFN的面积。

图4

（2）用新方法作出一条符合条件的直线OF，说明能画出无数条符合条件直线的道理。
连接ME、CN交于点O。
找到O点是关键，有无数条经过O点的直线可以把图中阴影部分分成面积相等的两部分。注意，不是经过O点的所有直线都能把图中阴影部分分成面积相等的两部分的，但仍然有无数条经过O点的直线可以把图中阴影部分分成面积相等的两部分。看图5，直线OF把图中阴影部分分成了面积相等的两部分，如果OF围绕点O顺时针旋转，F点转到E点时其间所有的直线都能把图中阴影部分分成面积相等的两部分。就是说，过O点的所有直线中，不经过长方形ABMK和长方形KNGF区域的都可以把图中阴影部分分成面积相等的两部分，而过O点的所有直线中，凡是经过长方形ABMK和长方形KNGF区域的直线都不能把图中阴影部分分成面积相等的两部分。那么问题来了，不经过O点的直线中，存不存在经过长方形ABMK和长方形KNGF区域的直线能把图中阴影部分分成面积相等的两部分呢？答案是肯定的。就是说，不经过O点的直线中，一定存在经过长方形ABMK或长方形KNGF区域的直线能把图中阴影部分分成面积相等的两部分，只是我暂时没能找到画法。也就是说，我解答了问题2，明确了能画出无数条直线把图中阴影部分分成面积相等的两部分，但是，我的解答仍然是不周延的。所以这道题仍然有探赜索隐的空间。

图5

三、对上面题目产生新思考即联想的原因
上面的题目我5年前做过，在相关资料上也看过，那时的第二个问题的参考答案就是只能画出两条直线把图中阴影部分分成面积相等的两部分。我以前认为那是正确的，这次因为做下面这道题时受到启示，引起了对本题目中第二个问题的新的思考。下面是给我启发的题目。

题目：请作出一条直线把图中（图6）阴影部分分成面积相等的两部分。

图6

本题的解答方法和图5类似，我只把解答的图（图7）放在下面，不作具体说明了。要强调的是，所画的直线必须经过圆心O，本题只能画出一条直线把阴影部分分成面积相等的两部分。

图7

图7中PO就是所求的把阴影部分分成面积相等的两部分的直线。

三、启示

1、作为教师在学生眼里是有权威的，但我们自身不要有权威感，而要有深深的危机感；当然这不是社会给我们工作的压力而带来的危机感，而是我们自己时时要感到自己的不足，要感到自己知识的匮乏、思维的蹇涩，要有误人子弟的担忧。
2、联想是人的聪明智慧的要素之一，但是联想不是凭空产生的，它是在认真的学习过程中才能擦出火花，所以教师自身要不断学习，不断提升自己，不断更新自己，促进、丰富自己的联想。
3、教师要多思考、多质疑，更要鼓励学生多思考、多质疑，减少教学的不足。这里我说的是“不足”而不是“错误”，其实，所谓的“不足”是一种“失误”（像本文中所说的题目，就很容易教错），用“不足”是委婉、准确的说法。减少教学的不足，就能减少教学的遗憾，减少学生成长过程中的遗憾，因为，名师出高徒，教得好学生成长过程就会好。