学习分数历史，聚焦有效课堂

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2022年6月25日，蔡辉小学数学名师工作室全体成员参加了数学史与数学教育（HPM）工作室小学教研基地活动第七场，活动主题为HPM视角下“分数”专题研修之“分数的认识与意义”，整场活动由郑玲玲齐鲁名师领航工作室和安吉县小学数学名师卞航萍工作室两个团队为大家带来有关分数的历史介绍以及结合数学史所作出的教学思考。 　　首先，安吉县小学数学名师卞航萍工作室三位成员为我们带来了他们团队的所思所想。 　　安吉县第八小学张星星老师从对二、三年级学生的前测问题出发，对前测的结果进行分析，认为二年级的学生对平均分已经有了足够的经验，但对具体分数还是比较陌生的，而从学生对分数的认识和创造中可以看出，其过程和古人有着惊人的相似之处。而三年级学生由于已经有了分数的学习经验，对于分数的表示已经没有问题，但大部分学生都把分数看成表示整体与部分、部分与部分之间关系的一个量，没有把分数看成一个单独的数。所以在教师的教学设计里，如何打破学生的这种思维定势，是一线教师需要思考的一个问题。 　　安吉县安城小学邹敏老师从4—6年级学生的学情出发，对前测和后测也做出了分析。四年级的学生对于分数量和分数率的理解和辨别上还是存在一定困难的，而五年级的学生由于刚学过这部分内容，会好一些，但到了六年级，学生很快遗忘。所以学生对于分数份数的定义比对分数商的定义要强很多。针对这一现象，邹老师提出，如果从低年级通过分物教授分数时，就开始渗透分数表示几分之几个的含义，在此基础上，从测量的角度感受分数的可公度性，使学生将分数当成和整数、小数一个独立的数系来看，逐步实际用分数表示量到用分数表示数的过渡，更有利于学生对分数的全面掌握。 　　安吉县皈山小学朱慧玲老师，从分数意义演变的历史顺序、分数的记法、小结反思三部分为我们带来了分数的历史介绍。朱老师认为J.Park关于分数的部分/整体、测量、除法、集合论四个意义与中国张奠宙份数、比、商、公理化的四重含义有着本质的相同之处。而在分数的记法上中国、古埃及和古印度也都是分子写于分母之上，只有古希腊是分子写于分母前面。邹老题对分数的历史进行了反思，她认为，分数概念的认识是一个持续进阶的过程，而学生的认知规律也是一个持续进阶的过程，我们应该尊重学生的认知规律，科学推进教学路径。 　　接着，郑玲玲齐鲁名师领航工作室从概念、计算、课例三部分为我们带来了详细的分数历史介绍。 　　刘树霞老师从史料的梳理中感悟到了历史的发展，不论是东方还是西方，从分数的意识产生到分数符号的产生再到分数计算方法的出现，都是有着相似性的。从中西方分数发展演变的过程来看，分数的发展主要分为四个阶段，分数是“分”出来的、分数是“比”出来的、分数是“除”出来的、分数是“扩充”出来的。而关于计算，在中西方的发展上有着不同，西方由于计数法以及历史的影响，对于分数的计算要滞后一些，但最最终的结果还是一样的。由于历史给我们的教学启示，我们在教学中要多形式表征知识，突破认知的碍障。在教学计算时，要帮助学生找到分数与整数的计算相通点和一致性，建立纽带和桥梁，帮助学生理解算理和算法，突破教学重点和难点。 　　临沂朴园小学王冲老师通过对古埃及、古巴比伦、古希腊、古中国、古印度分数产生和演变过程的梳理，力求将数学史落实到课堂上，让学生感受到今天看起来很简单的分数，却是经过了几千年的探究，最终形成的成果。王老师课前对学生提出有关分数问题，并对其进行收集和整理，将问题分为三类，分数的产生、分数书写形式的演变、分数的计算与解决问题。他认为，教师应该专门上一节有关分数历史的数学课，学生自主探索为主，教师梳理讲解为辅，让学生在探究中感受数学研究的是在千变万化中不变规律，让数学的种子种在学生的心里，开出对数学的热爱之花。 　　最后，专家和老师们对中国古代有没有名确指出分数是一个数、分数的量率等问题进行了讨论。潘丽云教授为一线教师们指出具有HPM视角特点的数学课应具备三个原则。第一，让学生经历历史形成的过程。第二，根据数学史中的关键点，设计教学，让学生进行探究学习。第三，让学生了解中国传统文化。她指出，许多困惑可以从历史中寻找答案，例如，量率先行问题，在古代中国天文、音乐、例法中已经出现量率同行，现在的学习应该如何融入，就应该在历史中找答案。 我们的学习和思考一直在进行，就像历史的发展从未停止。如何将数学知识的来龙去脉与学生的认知相结合，让学生在了解历史的同时，理解知识的本质，获取创造知识的价值感，产生强烈的民族自豪感，是我们一线教师最应该思考的问题，也是数学史所发挥出的育人功能。