夏夜云相约，研讨正当时——HPM工作室小学教研基地第七场活动纪实

王文娟

仲夏苦夜短，开轩纳微凉。仲夏到来，赐予我们最热烈的阳光和最旺盛的生命力。2022年6月25日，仲夏之夜，我们迎来了HPM工作室小学教研基地活动的第七场，在迁安小特研修部的精心安排下，迁安市HPM教研基地五所基地校的所有老师共同参与了本场教研活动，充实自己。 　　本次活动由杭州师范大学岳增成博士主持，共分两场，第一场关于数学史视角的问题提出。第二场以“分数的认识和意义”为主题进行研讨分享。活动中两个工作室的几位老师分享了团队的成果，清晰的梳理了分数的史料。北京教育学院数学与科学教育学院潘丽云博士做了精彩点评。 成果分享，百家争鸣 　　安吉县张星星老师分享了基于HPM视角的分数的认识中的前测分析。张老师用三个问题对二年级学生进行学习前测，用两个问题对三年级学生进行问卷调查，二三年级对分数的了解不同，前测的结果不尽相同，通过前测，能够及时的了解学生的知识基础，便于更好地完成后续的教学。 　　安吉县邹敏老师对4~6年级学生进行了基于《分数的再认识》的学情分析。学生对分数表示整体和部分的关系是更多了解的，而对于表示量存在一定问题。在分数量与率的区分上错误率很高。从部分和整体的关系入手去学习分数可操作性是很强的，但是会影响分数其他意义的进阶学习，究其原因在于没有把分数当成一个具体的数来表示量。因而可以从分物的角度理解整体与部分，从中渗透几分之几，再从测量的角度感悟分数的可公度性，最后到用分数表示除法，从而实现从量到商的转变。 　　安吉县朱慧玲老师梳理了有关分数的历史，从整体/部分、测量、除法、集合论四个角度介绍了分数意义演变的历史顺序。其中整体部分与分物和比例相关；测量与可公度性相关，三分损益法中出现假分数，可以与分数的再认识结合；除法角度介绍《九章算术》中给出的分数定义以及中国古代筹算记法。之后朱老师详实的介绍了历史上的分数记法，扩充我们对这部分的了解。 　　山东刘树霞老师也从上述四个角度分享了分数的历史演变。在部分和整体的关系角度，强调分数是分出来的，并介绍了多种史料；测量角度强调分数是比出来的，在这里详细地介绍到中西方的差异；除法角度强调分数是除出来的，从《孙子算经》到《九章算术》以及西方的方程；集合论角度则介绍到分数是扩充出来的。之后，刘老师从计算的角度介绍了《九章算术》中有关分数的加减乘除的历史。 　　山东临沂王冲老师从历史上有突出贡献的国家的角度梳理了有关分数的历史。王老师详细介绍到古埃及、古巴比伦、古希腊、古中国、古印度几个国家有关分数的史料。整理过后，思考如何将其应用到课堂之上，从分数的产生、分数的书写形式演变以及分数的计算与解决问题三个方面思考数学史视角下分数的认识应该如何呈现，怎样为课堂服务，对学生有怎样的意义。 精彩点评，问题研讨 　　五位老师的精彩分享过后，岳博士和潘博士进行了精彩的点评。潘丽云博士介绍了史料研读的两个原则：一是把历史发展中人们对概念的认识和学生的认知联系起来；二是一定要关注历史上概念的应用，在应用中体会概念的含义。潘博士还介绍了HPM视角教学中的三个原则：一是通过历史让孩子经历概念的形成过程；二是根据历史发展的关键点设计问题让学生探究；三是在HPM视角下发现更多中国传统的数学文化。 　　之后，岳博士提出了三个问题在线研讨：1.中国古代有没有明确指出分数是一个数？2.关于分数的认识教学，可否在三年级从量的角度入手至五年级再研究部分和整体关系？3.比和分数有什么异同？针对三个问题，在线的教师发表自己看法，潘博士进行答疑解惑。 专心研读，认真记录 　　每一次的学习都是提升教师专业成长的大好时机，基地校全体数学教师一丝不苟，认真学习。 学思并重，不断提升 　　学而不思则罔，思而不学则殆。认真聆听，用心感悟，每一次的研讨学习，都会在老师们的心里沉淀升华。 第一实验小学吴小凤 之前听了几期关于HPM的培训，一次又一次的质疑，深入挖掘数学史，了解数学史的发展变化过程，并在课堂中利用重构式或附加式教学，从学生理解和掌握知识的层面上分析，数学史的融入有哪些重要意义呢？今天通过聆听几位老师的讲座、岳博和潘博的分享，这才解开自己的疑惑。 前两位老师针对分数的相关知识对学生进行了知识前测，尤其是二年级学生分月饼，学生想法、分法多样，老师能够针对学生不同的表示方法询问其想法，这正如潘博士所说，能够把学生的认知与分数的历史相联系，帮助学生理解。这也是自己教学的缺憾，对学生的知识前测不到位，备课前应该先了解学生的学情和认知，必要时通过数学历史融入，让学生经历数学概念的形成过程。 概念的应用对学生来说是难点，所以分数的应用也是我们教学的难点。例如3/5米，学生对于分数表示一个量的理解是非常困难的，尤其是这样的类型题“把3米平均分成5段，每段长（）米，每段占总长的（）。学生分不清填量还是率。通过潘博士的建议，此时我们可以把它和相关的数学历史相联系，帮助学生突破难点，这也是我们即将解决此类问题的方向。 总之，在信息化的时代，作为一名教师，我们要深入全面的研究数学史，这样才可以选择性的融入课堂，让学生了解数学的本质、感受数学的魅力、体会数学的价值，提高学生的人文素养。 第一实验小学裴巧灵 分数的产生与发展应该在数学史的长河中应该是浓墨重彩的一页。今天晚上我们有幸聆听了来自安吉县卞航萍工作室和郑玲玲名师团队关于HPM视角下分数的认识与意义的专题研究。卞老师的团队对2——6年级学生关于分数的认识进行了学情前测并对分数的历史进行了梳理。郑老师团队对分数的发展史进行了梳理。通过报告，我们对分数的起源以及发展脉络有了一个清晰的认识！可是对于史料如何更好地融入我们的课堂，我们在教学实践中还是存在困惑的，潘丽云博士给我们指明了方向:一要在探寻历史发展中和孩子认知进行对接，这也是前测的意义所在！二是在应用中体会概念的含义！同时潘博士指出HPM课例开发的原则:一是让孩子经历概念的形成过程，二是根据历史发展的关键点设置问题，三是让学生了解中国传统文化！有了潘博士的指点，不仅有了一种“守得云开见月明”的感觉！总而言之，数学史的融入是为了更好地促进学生核心素养的养成，让我们在这条道路上探寻着，收获着，成长着！ 马兰社区小学蔡宇倩 又一次与HPM“亲密接触”，这次研讨会为我打开了教学的崭新视角，收获颇丰。让我印象深刻的有以下几个方面。1.  从具体到抽象再到具体，理解单位“1”的概念。小学生的思维正处于具体形象思维向抽象思维的过渡时期，但是学生抽象思维的发展很大程度上还需要感性材料的支撑。三年级时认识分数都是借助具体情境，将一个物体或许多物体组成的一个整体进行平均分，取其中的一份或几份，用分数表示。而五年级再学习分数就要抽象出分数的意义，进行高度的概括，对于学生来说理解起来还是有难度的，特别是单位“1”概念的理解。所以在课上先给学生提供丰富的感性材料。2.借助史料理解抽象概念，在文化渗透中突破学习难点，借助史料帮助学生理解抽象数学概念，在文化渗透中突破学习难点，进而引发学生对数学发展历史的好奇和敬畏之心。3.借助数形结合，建构分数的意义。数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事非。”由此可见数形结合在数学学习中的重要地位。而在数的学习中形是必不可少的，这也是由小学生的思维特点决定的。 马兰社区小学张常红 非常幸运的参加了我们这个数学史学习共同体，能得到专业人员的指导，学习和借鉴各位前辈的研究成果。在与数学史短暂的接触和学习的过程中，不禁感叹古人的智慧，也惊奇的发现在不同的地方，不同的人面临着相同的数学问题，他们竟然会有大同小异的研究成果，这就是数学的神奇魅力所在吧。而今天各位专家、学者、教研员针对“分数的发展史”和“分数的认识”学情分析方面进行了讲座和分享交流，让我受益良多，也给我留下了深刻的印象。 首先姚一玲老师为我们带来了《如何运用问题提出开展数学教学与研究》的专题讲座，让我们有了理论基础，其次是张星星、邹敏两位老师讲授的《分数的初步认识》和《分数的再认识》学情分析，为我们如何开展学情分析做了榜样，之后是朱慧玲、王冲和刘树霞与我们分享了有关分数的发展史，使我们对于分数的历史有了进一步的认识与了解。 总之，通过这次学习，我将努力让数学史融入数学课堂，使我的学生真正感受到数学文化的魅力，从而有效地促进学生对知识结构的理解，也能多元地开阔学生的数学世界，还能深层次地培养学生的数学学科核心素养。这将会为我今后的教学提供一个新的方向。 旭阳小学宫小娟 今天参加了HPM视角下分数的认识专场教研活动，研讨了对分数的认识，使我对HPM有了更深刻的感悟！ 无数的数学问题源于社会生产实践。在教学中，我们需要让学生了解数学问题产生的科学背景，并感悟概念思维创生的数学模式，以分数的认识为例，从分数意义演变的历史，分数的记法等方面，阐述了分数的产生和发展。分数概念的认识是一个持续进阶的过程，数的认识在本质上具有一致的性、整体性，这就要求我们在探究时要顺应历史逻辑，尊重孩子的认知规律，科学推进教学路径。提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识，从而对数学产生浓厚的兴趣，从本质理解数学。这也是我们追求数学史的意义。 旭阳小学李杭洁 今天听了“分数的认识与意义”专场活动，让我对粉饰的认识与意义应该如何教学有了更深刻的认识。学习的同时也让我对我自己的课堂有了一定的反思，在我的教学过程中，前测这一部分一直是比较薄弱的一个环节，通过今天的学习，对学生做的前测认识，这一环节，不仅要有，还要更全面，分数概念的认识是一个持续进阶的过程，对学生的前测，我们同样也要涉及不同年级，从整体上把握学生对分数的认识水平，我们要明白，前测的目的不是为了看学生的对与错，而是了解学生对分数的理解程度，学习前的经验和认识叫做前概念，学生经过一段时间的学习，可能会形成错误的认识，直至最后会形成科学的认识，这是一个长期的过程，需要学生在概念认识的基础上学习，更需要在运用概念时去内化和完善。分数的认识具有一致性、整体性、以及数域的扩充，经历了自然数、小数和分数等等一系列扩充的过程，但是她们认识的本质是一样的我们需要通过整体性的视角去把握。我们要顺应历史逻辑，引入古人的智慧，对历史的解读有助于帮助孩子们来理解分数的表达，在教学过程中，也要打破思维定势，去设计一些更急开放、灵活的任务，大胆的尝试创新，让学生了解分数意义的演变顺序、发展历史，去尊重孩子的认知规律，科学的推进教学路径。 第五实验小学刘冬梅 我们今天接触、学习的分数，是几千年来古今中外的学者历经艰辛创造的科学成果，了解分数发展史，对我们开展分数意义的教学有重要的意义。借助史料可以帮助孩子们认识概念的产生和发展，更深刻地理解概念，认清蕴涵在知识成果中的思想、方法的意义。我们在学习过程中不断回过头来了解前人的辉煌成就，可以站在更高的起点看待问题。顺应历史逻辑，尊重孩子的认知规律，才能顺利地把学生思维推向前方。分数的产生是一个循序渐进的过程，它的产生源于生活中的需要，当一个整体，即整数不再满足需要的时候，就产生了更为细化的数。它是从整体和部分的联系里产生出来的。因而，分数存在和发展的历史记录让学生明了，数本身就是一种计量的工具，分数的计量更为细化。学生通过学习相关史料，充分了解分数的发展历程，对于数本身的了解就更为透彻，对后续其他数的学习也就更为容易。在教学中，作为教师要基于数学史去琢磨作为人的数学家们曾经走过的弯路、碰到的认识障碍，如果把这些想明白了，那就会对数学教育有新的感悟。这样现实中的儿童作为一个群体重蹈历史上数学家们曾经遭遇的障碍也就是自然的事情。今天老师们的讲座与我们分享了有关“分数”的前世今生，并通过课例中的多个环节给我们展示了分数教学的本质，让我对分数的教学有了更深刻的认识与理解。的确！只有理解历史上的古人如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对现在的孩子们应该如何获得这样的知识做出更好的判断。 第五实验小学杨海波 今天有幸聆听专家老师对《分数的认识和意义》相关数学史培训，收获颇丰。通过这一次的学习，让我重新对有关分数的数学史有了一个清新、系统的认识。 通过学习，让我更加深入的了解数学的发展历程，历经数学萌芽期初等数学时期变量，数学时期、近代数学时期。作为人类智慧的结晶，数学不仅是人类文化的重要组成部分，而且始终是推动人类文明进步的重要力量。体会一、数学教学对学生的影响。数学文化的教育给予学生一种宽广的视野，一种严密的思维，一种敏捷的作风，一种坚毅顽强的精神，一种刻苦钻研的品质，一种乐观向上的态度。例如分数的产生在历史上，分数几乎与自然数一样古老。早在人类文化发明的初期，由于进行测量和均分的需要，引入并使用了分数。　　在许多民族的古代文献中都有关于分数的记载和各种不同的分数制度。早在公元前2100多年，古代巴比伦人（现处伊拉克一带）就使用了分母是60的分数。　　公元前1850年左右的埃及算学文献中，也开始使用分数。　　我国春秋时代（公元前770年～前476年）的《左传》中，规定了诸侯的都城大小：最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三百六十五又四分之一。这说明：分数在我国很早就出现了，并且用于社会生产和生活。通过这段知识的渗透激发起学习的积极性，对今后有关分数的学习产生浓厚兴趣。体会二，学习之道在于悟。讲座中提到分数在我们中国很早就有了,最初分数的表现形式跟现在不一样。后来,印度出现了和我国相似的分数表示法。再往后,阿拉伯人发明了分数线。分数是阿拉伯人发明的。我们在教学中多渗透数学史，数学文化，让学生也体会到数学的发展并非一帆风顺。他是众多数学先贤前仆后继，辛勤耕耘奋斗的过程，也是克服困难，战胜危机的斗争过程，使学生明白数学家在研究中也是会碰到困难的，那么。我们在学习中碰到困难，又有何畏惧呢，要抱定有学好数学的恒心和信心，知道我们学习数学不仅是一种知识，一种语言，一种工具，更是一种生活态度。 明德小学王珺 在现在小学阶段数的认识中，分数对于小学生来说是一个比较抽象的概念，是数的认识中的一个难点，同学们对于分数定义的理解往往很模糊。分数的历史是一部记录，它记载了分数发展的历程，记录着数学家探究问题的历程和艰辛，饱含着人类不断探索的信念和精神。对于分数表示部分与整体的关系、一个具体的量上的教学从历史上分数的演变中给我们很好的教学思考。一是分数的产生：人们在测量、分物、计算时，往往不能正好得到整数结果，这时常用分数来表示。二是分数的意义：一个物体、一个计量单位、一些物体等都可以看做一个整体。把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。三是单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”。四是分数单位：把单位“1”评价分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。五是分数可以表示一个具体的量，可以与比除法建立联系。 　　明德小学曹海燕 分数这部分知识是分两次进行教学的。第一次是三年级的分数的初步认识，第二次是系统学习分数知识。《小学数学课程标准》中对第六册的要求是：能结合具体情境初步理解分数的意义，能认、读、写简单的分数。这一课是分数教学的起始课。它是学生已经掌握整数平均分的基础上进行教学的，也是今后进一步学习分数的大小比较、分数的加减计算等知识的基础，在整个小学数学教学体系中占有重要地位。对三年级的小学生来说，从认识整数发展到认识分数，是一次飞跃。儿童生活里没有这样的经验，而且表达方式也不相同，读数的方法也不相同。尤其是分数既表示一个量，又表示整体与部分的关系，小学生较难理解。从分数的发展史可以看出，分数概念的认识是一个持续进阶的过程，分数与数的认识具有一致性、整体性，是数域的扩充——自然数、小数和分数.…认识的本质是一致的。我们在教学时要顺应历史逻辑，尊重孩子的认知规律科学推进教学路径。教学计算时，要帮助学生找到分数运算与整数运算的相通性 结语 　　数学史是教学的指南。在漫长的历史演变中，数学沉淀了无数的宝贵财富等待我们去深入挖掘，数学史的研究可能没有想象中那么容易，但致力于学科钻研、服务于课堂教学，于师于生那一定是大有裨益的。路漫漫其修远，迁安教研基地定将HPM作为行动主题全力求索！