从柏拉图说到“柏氏正多面体”

官渡之战

撰文/官渡之战

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柏拉图是古希腊著名哲学家，曾师从大名鼎鼎的苏格拉底，柏的弟子中则有名声赫赫的亚里士多德，三人被誉为“希腊三贤”。

其实，“柏柆图”不是真名，借用当下的流行语来说叫做“昵称”，他的真名叫“亚里斯多克勒斯”。“柏柆图”在希腊语中意为“强壮”，这位先哲因身体强壮而被誉为“柏拉图”，于是这一“昵称”便沿用了下来并盖过本名，以致提到“柏拉图”如雷贯耳，而“亚里斯多克勒斯”则鲜为人知。

柏拉图

柏拉图是西方客观唯心主义创始人，其哲学体系博大精深。常为后人推崇的“精神恋爱”一说，就是柏拉图基于哲学思考提出的，他认为“当心灵摒绝肉体而向往着真理的时候才是最好的”。这种恋爱观虽然并不现实，却一直为人们津津乐道。流行于20世纪90年代末的“蓝颜知己”，与“精神恋爱”有异曲同工之妙。“蓝颜知己”是一种游离于亲情、爱情、友情之外的第四类情感，它可以在柏拉图的“精神恋爱”中找到哲学诠释。

柏拉图不仅是哲学家，还是数学家。古希腊时期，哲学与数学纠缠在一起，你中有我，我中有你，其时没有什么学科比数学更能吸引哲学家的关注了。柏拉图以哲学思维对数学作了解读，他的这一学说被称为“数学哲学”或“柏拉图主义”。 本文不讨论“数学哲学”，仅说说 “柏氏正多面体”。 公元前387年，柏拉图喜欢上了几何，并展开了深入研究，他专门在柏拉图学院门口立了一块牌子，上面写道：“不懂几何者，不得入内”。柏拉图发现正多面体有五种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体及正二十面体。这五种正多面体统称为“柏氏多面体”或“柏拉图立体”。 多面体的形态可以有无数种，但正多面体只有上述五种。 柏拉图虽然发现了五种正多面体，但却无法对其原理给出证明，他说：我参透了爱情，却搞不懂正多面体为什么只有五种。 直到1750年，瑞士数学家欧拉才给出了证明：如果一个凸多面体的面数是F、顶点数是V、棱数是E，那么它们之间总存在这样的关系，即F+V-E=2。这就是著名的欧拉公式（欧拉公式共有四个，这是其中之一）。能满足这种条件的多面体只有以上五种。 研究正多面体有何意义？它的意义不仅仅在于数学理论本身的要求，还可以为某些自然现象与社会生活提供数学解读，让人们了解这些现象的出现绝非偶然，它们都有一定的数学依据。 关于正四面体。 正四面体由四个等边三角形构成。如下图：

正四面体

正四面体在晶体中不乏有对应形态的物质。 固体有晶体、非晶体和准晶体之分，晶体是其中一种。晶体最显著的特征是结构的规范性。晶体具有不受外界干扰而自然凝结成的规则外形，如甲烷、四氯化碳、白磷、金刚石等物质都呈正四面体。 为什么上述物质会以正四面体结构出现呢？这是由最小内能决定的。具体地说，特定结构下的质点有规律的排列，可以使各部分势能处于最低。在一定的温度和压力条件下，晶体与成分相同的非晶体比较，具有最小内能，从而使物质结构更为稳定。这就是晶体形成的数理原理。 关于正六面体与正十二面体。 正六面体由六个正四边形构成，正六面体又称正方体。正十二面体由十二个正五边形构成。如下图：

正六面体与正十二面体

说到这两种结构，我想到了魔方。魔方有正六面体魔方与正十二面体魔方之分，正十二体魔方又称“五魔方”。 正方体魔方中有二阶至九阶魔方。二阶魔方每个面有2✕2个色块，三阶魔方每个面有3✕3个色块。余此类推。

左图为二阶魔方，右图为三阶魔方

五魔方呈十二面体，总共有12个中心块，20个角块和30个边块。五魔方有两种，一种是六色五魔方，另一种是十二色五魔方。

左图为六色五魔方，右图为十二色五魔方

魔方的玩法是通过旋转将颜色打乱再进行复原。五魔方复原的难度系数比三阶魔方更高。魔方复原比赛是世界魔方协会承认的比赛项目，比赛常用的是三阶魔方。 另外，正十二面体形状典雅美观，常成为工艺品的优选造型。 一年有十二个月，取正十二面体造型制成的月历是种不错的选择，它既有艺术性，又具实用性，颇有收藏价值。如下图： 将十二生肖刻在十二面上，也很有趣。如下图： 关于正八面体。 正八面体由八个等边三角形构成。 谈到正八面体，不妨说说埃及金字塔。屹立在尼罗河畔的金字塔举世闻名，在埃及没有什么景点比它更具震撼力了，人们在惊叹其壮观之余，对它亦怀有某种莫名的敬畏。

金字塔

金字塔至今仍有许多未解之谜，譬如，它的结构究竟是怎样的，还是一个谜。表面上看，金字塔呈四棱锥结构，它的全貌真是这样吗？据有关资料披露，金字塔整体呈正八面体，处于地面以上的只是它的一半，另一半在地下。据说这是由遥感技术探测到的，真是“神龙见首不见尾”。当然，这只是一家之言。本文毕竟不是数学论文，对此不作考证，姑且信之。

不论金字塔的结构是四棱锥还是正八面体，从几何角度看，由三角形构成的立体，最具稳固性，难怪金字塔屹立千年而不坍塌，原来这里有几何原理作支撑。

关于正二十面体。

足球是一项风靡世界的体育运动项目，谈球是众多足球迷的爱好。笔者对此疏于了解，但在撰写本文时居然心血来潮，也想谈球，当然不是谈球赛，而是谈足球与正二十面体的关联。

足球与正二十面体似乎“风牛马不相及”，其实从几何角度说还是有些关联的，足球的结构是正二十面体的变形。 正二十面体由二十个等边三角形构成，有二十个面、十二个顶点、三十条棱。如下图：

正二十面体

如果在每条棱上找到三等分的点，给靠近各顶点的等分点画连线，沿连线切掉十二个顶角，得到的几何体既有正五边形又有正六边形，该结构即是变形了的足球结构。向它充入气体，即可得到足球。 世间的许多事物，都能用数学给予解读，其实，这些解读只是对隐藏在其后的数学原理的认知。