<p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> </span><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">考场上，最幸福的心情是：能迁移类比掌握的模型深层知识，畅快解答试卷上那虽素未谋面的压轴题。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 运用模型知识答题，是极为重要而又能简捷建构解析通道的招法。本文，首先运用对角互补四边形模型的深层知识，为2022年的云南几何压轴题，做一顿美味的思维大餐。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">问题（2）</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">观察思考①</span><span style="font-size:20px;"> 辨识到探究三线PA、PC、PD碰头于点P，且三线的4个端点P、A、C、D都在⊙O上，则敏锐地意识到图中有基本模型→对角互补的四边形.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">观察思考②</span><span style="font-size:20px;">∵四边形ABCD是正方形，</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">∴探究三线的非碰头端点A、C、D，形成等腰直角△DAC，</span></p><p class="ql-block">于是，无忧的答题感出现<span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">→</span><span style="font-size:20px;">这是一个基本的模型试题.</span></p><p class="ql-block"> 即认识到是三线PA、PC、PD碰头于对角互补四边形PADC的顶点P，且此四边形有一组垂直且相等的邻边.</p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 则剥离出这个含有相等邻边的对角互补四边形PADC，舒服地运用模型的深层知识，享受美妙的模型思维.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 选择一种解析谋略，舒欣地行走在享受模型思维的解析大道上.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">最本手的谋略</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">一:“三线碰头思旋转”，构造“两等腰直角三角形共等角顶点模型”.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">出路1：因探究线DP的端点D是条件等腰三角形的顶角点，则以最特殊的探究线DP绕点D旋转90°的意境，作以DP为腰的</span><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);">同形态的等腰三角形</span><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">，构造</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">共顶角点的等腰直角三角形</span><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">注：为便于叙述，等腰三角形的顶角顶点和底角顶点，分别简称为顶角点，底角点.</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:20px;">闻香论道</span><span style="font-size:20px;">：对角互补的四边形中，相等邻边的夹角α最常见的是90°（如本题），60°（如重庆A卷题）或120°.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 作</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">顶角为α</span><span style="font-size:20px;">的</span><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);">同形态等腰三角形，创造出</span><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">“</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">两等腰直角三角形共顶角点的型态</span><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">”，是最本手的添线构型通法.</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:20px;"> </span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">谋略二:将两探究线PA、PC“合并”为一线后的</span><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);">全等三角形思路</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">.</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">反思</span>：图1与图3的型态虽然完全相同，但添线构型的视野是不一样的. 所以，解析的思路、出路，是有所变异的. 在运用其解法时，应清晰地叙述有异有同的来路和出路.</p><p class="ql-block"> 在解析此类模型问题时，<span style="color:rgb(237, 35, 8);">优先考虑最本手的谋略一·</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">谋略三</span><span style="font-size:20px;">：当对角互补的四边形中，相等邻边的</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">夹角是90°时，可</span><span style="font-size:20px;">围绕条件等腰直角三角形构造一线三直角模型. </span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(22, 126, 251);">出路5</span>：因为探究线DP的端点D是条件等腰Rt△DAC的直角顶点，则过等腰Rt△DAC的两个底角顶点A、C，分别作直线DP的垂线，构造一线三直角模型.</p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(22, 126, 251);">出路6：</span>过等腰Rt△DAC的直角顶点D，作一条平行探究线AP的直线，再过等腰Rt△DAC的两个底角顶点A、C，分别作这条直线的垂线，构造一线三直角模型，同时生成矩形和新的等腰直角三角形.</p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(22, 126, 251);">出路7：</span>同理出路6的招术招法，过等腰Rt△DAC的直角顶点D，作一条平行探究线CP的直线，再过等腰Rt△DAC的两个底角顶点A、C，分别作这条直线的垂线，构造一线三直角模型，同时生成新的等腰直角三角形和矩形.</p> <p class="ql-block"> 要清醒地认识到，<span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">“三线碰头”</span><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">+</span><span style="color:rgb(57, 181, 74);">“一组相等邻边的对角互补四边形”</span>模型，在相等邻边的夹角设置上，有三个不能迷茫的常见情况.即要由等邻边的夹角是60°或90°或120°，联想到底边与腰的比各自为<span style="color:rgb(22, 126, 251);">1：1；</span><span style="color:rgb(237, 35, 8);">√2：1；</span><span style="color:rgb(57, 181, 74);">√3：1.</span> 所以，要视相等邻边的夹角情景，远见到碰头三线的数量关系.</p><p class="ql-block"> 埋下上述7个解法以及后述4个解法的种子，只为融会贯通那些添线构型的基本招术，使得遇到不同类型的问题时，都具有<span style="color:rgb(237, 35, 8);">退到关联的点、线、角去观察思考如何添线构型</span><span style="color:rgb(1, 1, 1);">的思维优雅</span>，从而按照自己熟悉而又擅长的所思所想，从容选择添线构型的出路，让不迷茫的安心答题技法，自然地激情迸发.</p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:20px;">谋略四</span><span style="font-size:20px;">:将两探究线PA、PC“合并”为一线后的</span><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);">相似三角形思路</span><span style="font-size:20px;">.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">思路二：</span><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">同理思路一，建构相似三角形的边比通道.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">谋略五</span><span style="font-size:20px;">：因为探究线PA、PC的端点A、C，是条件等腰直角三角形的底角点.则以探究线PA或PC为底边，作同型态、同方位的等腰三角形，构造</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">“共底角点的相似三角形模型”</span><span style="font-size:20px;">.</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:20px;">反思：</span><span style="font-size:20px;">谋略一是以一条探究线</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">为腰，作共顶角点</span><span style="font-size:20px;">的同形态等腰三角形；谋略五是以一条探究线</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">为底边，作共底角点的</span><span style="font-size:20px;">同方位、同形态等腰三角形.</span></p> <p class="ql-block"> 还有一种应用模型的考题，是在考场上现学现卖模型知识.此类试题的编制，旨在考查认识规律，意在检测归纳提炼为一种模型的能力；意在通过建构、迁移，运用模型知识，类比解决问题.</p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1);"> 因为设置的</span><span style="color:rgb(237, 35, 8);">迁移运用问题</span>（2），依旧是探究三线AD，BC，AC的数量关系。则从<span style="color:rgb(237, 35, 8);">迁移运用的暗示</span>，意识到这是考查认识规律，建构模型，迁移运用模型思维，类比解决问题的考题. 那么，将图2的形态和对应的角度条件为一种模型，即建构一个“<span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">图2模型</span>”，在满足那样的图形型态和那些关于角的条件时，就能迁移类比“<span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">图2模型</span>”，得到三线的数量关系.</p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">同样地</span><span style="font-size:20px;">，将△ACD沿AC翻折到AC下方，得到同一平面内的△ACP，也能</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">同理得解.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);"> 辨识模型，心安；</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);"> 构造模型，无忧；</span></p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);"> 运用模型，舒畅.</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:20px;"> 下面的3个问题，是2019年威海中考压轴题中设置的3个问题. 迁移运用解答云南考题的那些添线构型技法，都能同理、同样得解.查一查是否已深入理解了那些退到点、线、角，去观察思考如何添线构型的优雅手法.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">问题（1）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC、BD. BC是⊙O的直径，AB=AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 辩识到是：</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">三线碰头</span><span style="font-size:20px;">十</span><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">对角互补四边形</span><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">的模型形态，</span><span style="font-size:20px;">则先扩展解析信息条件，由BC是⊙O的直径，AB=AC得知△ABC是等腰直角三角形，有两个直角∠BAC=∠BDC=90°，四个45°的角∠ABC=∠ACB=∠ACD=∠ADB=45°.</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:20px;">谋略一</span><span style="font-size:20px;">：:迁移输出最本手的“三线碰头思旋转”谋略，以探究线DA绕顶角点A旋转90°的意境，作辅助等腰直角三角形，获得全等三角形求解.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 得到答案很简单，不简单的是要迁移类比多种解析出路求解.</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:20px;">出路2</span><span style="font-size:20px;">：同理出路1，以探究线DA绕顶角点D逆时针旋转90°的意境添线构型.</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:20px;">谋略二</span><span style="font-size:20px;">：截长补短，构造全等三角形，获得辅助等腰直角三角形求解.</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">闻香悟道：</span>虽然图1、图2分别与图3、图4完全相同，但添线构型的视野是完全不同的，所以，解析的表述是不同的.</p><p class="ql-block"> 谋略一的出路1和出路2可在不知道探究三线的数量关系时, 就作出一个与条件等腰直角三角形共顶角点的辅助等腰直角△ADE得解.而谋略二的出路3和出路4，则需要在明确探究三线的数量关系后，才知道如何截长补短才能获得辅助等腰直角△ADE.</p><p class="ql-block"> 所以,再次强调：解析此类问题时，<span style="color:rgb(237, 35, 8);">谋略一是最本手的添线构型方法. </span><span style="color:rgb(57, 181, 74);">截长补短的谋略要加以“歧视”.</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:20px;">谋略三：</span><span style="font-size:20px;">构造一线三直角模型，获得两个辅助直角三角形和相似三角形求解.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 解答数学题最愉快的是，那些弄清了来龙去脉的解析方法，正在温情呼唤，而我已满脑思维之妙，正思韵十足，温柔作答。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">谋略四意境：</span><span style="font-size:20px;">以端点是条件等腰△ABC底角点B、C的探究线BD或者CD为底边，作与条件等腰三角形同方位、同形态的辅助等腰三角形，利用相似三角形的边比数量求解.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">问题（2）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 比对问题（1），虽然等腰直角△ABC变成含30°角的隐性直角△ABC了，但认识到依然是“</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">三线碰头</span><span style="font-size:20px;">十</span><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">对角互补四边形</span><span style="font-size:20px;">”的模型形态，只不过是将相等的邻边条件</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">变为定比值的邻边条件.</span><span style="font-size:20px;">则迁移类比问题（1），略选几种添线构型的方法作答.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">最本手的谋略</span><span style="font-size:20px;">：以探究线DA为直角边，作共直角顶点A的，含30°角的同形态直角△ADE，构造共点的相似三角形求解.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">显然：要歧视、放弃截长补短的谋略.</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:20px;">基本谋略：</span><span style="font-size:20px;">构造一线三直角模型，获得两个辅助直角三角形和相似三角形求解.</span></p> <p class="ql-block">更多能迁移运用的解法，可再自行畅解.</p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 一题多解的学习活动，是培养思维的广阔性，灵活性，深刻性，提升建设模型思维的逻辑性思考、创意性思考、批判性思考，积累解题活动经验的重要渠道。 通过一题多解的学习活动，获得那些可以解决多种问题的通用谋略和通性的解析招术招法，能培养多题一解的思维品质，从而面对多变的问题，也能一招制胜。所以，一题多解是提升思维品质的过程、表现，培养多题一解的能力水平，才是一题多解活动的目的，任务.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 上述问题（2），虽将问题（1）中的条件等腰直角△ABC变式为30°锐角的隐性直角△ABC，但都能得条件直角三角形的边比数量，所以，它们</span><span style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);">（以及今重庆中考A、B卷的压轴题和近年的几何压轴题），都是具有</span><span style="font-size:20px;">同类模型的信息条件试题.那么，答题的谋略是可以迁移运用的，添线构型的手法是相通的，那些智胜的招术招法都是制胜所需的。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 认识到问题（3）将问题（1）、（2）中设置的含锐角条件的直角三角形，变式为没有锐角条件的隐性直角三角形，但增设了边比数量关系，则问题（3）依然是同类的模型试题. 于是迁移类比解决此类模型问题最本手的添线构型谋略，以探究线AD为边，作共直角顶点A的同形态辅助直角三角形求解.</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">反思</span>：</p><p class="ql-block"> <span style="color:rgb(22, 126, 251);">在问题（1）中</span>，因为条件直角△ABC是等腰直角三角形，</p><p class="ql-block">则边比为a：b：c=√2：1：1，</p><p class="ql-block">所以，c/b=1，a/b=√2，</p><p class="ql-block">∴探究三线的关系是：BD=CD+√2AD；</p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187);">在问题（2）中，</span>因为条件直角△ABC中</p><p class="ql-block">的∠ABC=30°，</p><p class="ql-block">则边比为a：b：c=2：1：√3，</p><p class="ql-block">所以，c/b=√3，a/b=2，</p><p class="ql-block">∴探究三线的关系是：BD=√3CD+2AD；</p><p class="ql-block"> 如果<span style="color:rgb(237, 35, 8);">将所设条件直角△ABC命制为滿足条件tan∠ABC=½</span>，其它条件不变，则依然能迁移所述解析方法，得知探究三线BD、CD、AD之间的数量关系是：</p><p class="ql-block"> BD=2CD+√5AD.</p>