依标施教，发展学科素养，精准备考，提升关键能力—高中数学高考解题思路，应考策略与第一轮复习学法指导

唐浩德

一、2022年高考试题评析——从高中终极目标高考来看，我们应该掌握什么知识，达到什么水平 2022年高考全国乙卷数学（理科）试题，以《中国高考评价体系》为指导，以《数学课程标准》为依据，贯彻《深化新时代教育评价改革总体方案》要求，服务“双减”政策实施。发挥了“立德树人，服务选材，引导教学”核心功能，全面覆盖“核心价值，学科素养，关键能力，必备知识”考查内容，实现了“基础性，综合性，应用性，创新性”考查要求，试题难度较大，减负不降选拔标准。 1．创设现实情境，体现数学的应用价值。 如第4题，以嫦娥二号卫星在完成探月任务后继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星为情境，考查学生综合应用数列、函数、不等式等基本知识观察问题、分析问题和解决问题的能力。第10题以棋手比赛为情境，通过获胜概率的大小选择比赛方案，考查概率和不等式综合应用能力。第13题以学生参加社区服务为情境，考查概率的基础知识。第19题以生态环境建设为背景材料，考查学生应用统计的基本知识和基础方法解决实际问题的能力，对数据处理与数学运算素养也作了相应的考查。 在考查知识、素养、能力的同时，让学生感受到国家的科技发展与进步，重大建设成就和社会发展成果，增强“四个自信”，发挥教育功能和引导作用。另外，今年的现实情境试题比较自然，不牵强，减少了阅读量。 2．突出理性思维，深入考查数学学科素养。 数学高考将学科素养概括、凝练为理性思维、数学应用、数学探索和数学文化。理性思维在数学素养中起着最本质、最核心的作用。重点考查思维的批判性、灵活性、深刻性、全面性和创新性等思维品质。具体为：思路受阻时的批判、调整；多种方案的灵活、最优选择；分类讨论的划分与整合；开放试题的发散与创新等。如第4题和第10题可用取特殊值的方法，。第14题是结论开放题，四个圆写出一个即可，其中三点构成直角三角形，外接圆最容易求。第17题，即使第（1）问没证出来，第二问也可利用第（1）问的结论顺利得分。第22题，思维定势都是将直线代入二次曲线，很多同学忽略了隐含限制，没有得到正确结果，将二次曲线C的参数方程代入直线方程，隐含限制显性化，可顺利求解。 高考从“知识立意”到“能力立意”，再到“素养导向”，从“解题”到“解决问题”的理念跃升，已使单纯的知识记忆和刷题失效，必须提升理解力，提高自主学习能力，加大思维量，发展理性思维，才能适应现在的高考改革。 3．重视基础，重点考查关键能力 高中数学课程目标是：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；提高从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力，即“四基”和“四能”。 今年的试卷，过半的选择、填空试题，如1，2，3，5，6，7，8，13，14，15，解答题17题，18题，22，23题二选一，都是基础性题目，遵循了“必备知识”的考查内容和“基础性”的考查要求。 根据高考评价体系的整体框架，结合《数学课程标准》提出的学科核心素养，高考数学科提出5项关键能力：逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力。今年试题难度大，就是因为加大了对学科素养和关键能力的考查力度。 如第4题和第10题，都是含多字母参数，利用符号语言进行逻辑推理的数列与不等式，概率与不等式的综合试题，还需要一定的运算求解能力。第9题研究球内四棱锥体积的最大值问题，要求学生有较强的空间想象能力和分析问题能力，将问题转化为三次函数的最值问题，利用导数求解，或利用三元均值不等式求解。第12题是抽象函数问题，通过推理与变换，确定函数的奇偶性和周期性，运算求解。19题考查了统计思想，统计量的理解与计算，特别是考查了数据处理能力和公式的变形与计算能力。第20题重点考查了解析思想和运算能力。第21 题考查了分类讨论能力、推理论证能力和数学语言表达能力。 二，我校学生数学学情分析　　回顾中阶段的教学，我有一种沉重的感觉，学生的数学学习呈下降的趋势，学生对数学的学习在逐渐失去兴趣，问数学问题的同学在逐渐减少。是什么原因造成高中学生数学成绩下降呢?（一）高中数学教材与初中的不同 1. 初、高中教材间的跨度过大，初中教材偏重于实数集内的运算，缺少对概念的严格定义或对概念的定义不全，如函数的定义，三角函数的定义就是如此;对不少数学定理没有严格论证，或用公理形式给出而回避了证明，比如不等式的许多性质就是这样处理的;教材坡度较缓，直观性强，对每一个概念都配备了足够的例题和习题。而高一教材第一章就是集合、映射等近世代数知识，紧接着就是函数的问题(在函数中，又分二次函数，指数函数，对数函数，它们具有不同的性质和图象)。函数单调性的证明又是一个难点，向量对空间想象能力的要求又很高。教材概念多、符号多、定义严格，论证要求又高，高一新生学起来相当困难。此外，内容也多，每节课容量远大于初中数学。这些都是高一数学成绩大面积下降的客观原因。 2.高中学生普遍不适应高中数学教师的教学方法，我在这学期为了解学习情况共和学生座谈了三次，同学们普遍反映数学课能听懂但作业不会做。不少学生说，平时自认为学得不错，考试成绩就是上不去。初中教师重视直观、形象教学，老师每讲完一道例题后，都要布置相应的练习，学生到黑板表演的机会相当多。为了提高合格率，不少初中教师把题型分类，让学生死记解题方法和步骤。重点题目反复做多次。而高中教师在授课时强调数学思想和方法，注重举一反三，在严格的论证和推理上下功夫。从高三教学下来的老师，可能在教学中不知不觉以高三的复习要求去教学，因此造成初、高中教师教学上的巨大差距，中间又缺乏过渡过程，至使高中新生普遍适应不了高中教师的教学方法。 　3.高中学生的学习方法不适应高中数学学习，高中学生在初中三年已形成了固定的学习方法和学习习惯。他们上课注意听讲，尽力完成老师布置的作业。但课堂上满足于听，没有做笔记的习惯，缺乏积极思维;遇到难题不是动脑子思考，而是希望老师讲解整个解题过程;不会科学地安排时间，缺乏自学、看书的能力，还有些学生考上了高中后，认为可以松口气了，放松了对自己的要求。 4、知识内容的整体数量剧增 　高中数学与初中数学一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了，可以说每节课的内容多是新的，单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多，很多学生上课听得懂，又因为辅助练习、消化的课时相应地减少了，导致学生不能真正掌握上课所讲内容。5、数学语言在抽象程度上突变 初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达.而高一数学一开学就要面对集合、子集、映射、函数、定义域、值域、单调性、奇偶性等一序列的新概念新符号，这些抽象概念及符号语言，不少学生反映，听得半懂非懂，难以理解.大部分学生数学学不好一个原因之一就是对概念不理解，因为这种概念不清晰将直接导致解题不清楚.　6、思维方法向理性层次跃迁 高中数学在知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃.数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求.数学思想与方法的理解和应用也达到更高境界，比如方程与函数思想、数与形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等等贯穿着高中数学始终，也将是解答每一份试卷的指导思想.这些思想方法不理解将直接影响到解题的速度与质量不高.当然，这些能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的事，这种能力要求的突变使很多高中新生感到不适应，从而导致高中学生数学成绩普遍不高.　(二)、学生学习态度差导致考不好 学生学习不主动不积极，造成学生成绩不理想的主观原因，体现在以下几点：　1、思想松懈行动散漫 部分学生认为自己在初中不要怎么努力学习，只是在初三临考时才发奋了几个月就轻而易举地考上了高中，而且数学也能考出高分的成绩.因而认为读高中也不过如此，开学两个多月来，大多学生不能投入紧张的高中学习中来.上课思想开小差、打瞌睡、作业不认真完成、不认真复习等不良学习习惯.还有部分学生学习依赖性强，在初中虽然学习不自觉基础不好，但有家长督促辅导，或请家教开小灶，这些学生最后也能将数学成绩逼出高分，上了高中来，家长辅导不了了，没人一对一逼着学习了.于是思想松懈，行动散漫，心存侥幸，没有掌握学习的主动权，最后结果是学过的内容不清不楚，讲过的题目似懂非懂，一到考试就全部不懂.2、学不得法效率不高 老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法.而一部分同学上课没能专心听课，或是上课根本不听，无精打采，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系.作业也是应付了事,不会安排时间进行复习，对概念、定理一知半解，机械模仿，死记硬背，结果是事倍功半，收效甚微. 3、基础薄弱眼高手低 学生整体层次不高，一部分学生基础比较差.课堂上没有认真听讲，对于重点知识不重视;平时定时训练较少，自主训练意识缺乏.经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写;对于知识点的融合不够自然，知识的迁移能力较差;这些学生往往还“自我感觉良好”，眼高手低.到正规考试中不是演算出错就是中途“卡壳”，书写答题不规范，计算失误严重.这种基础薄弱又眼高手低的学生最终的数学成绩都是以失败告终。 　 三，高三数学第一轮复习诀窍1．关于“听话”高三学生首先要做到“听话”，这里的“听话”是全方位的。如果你认为高三学习是第一位的，而忽视了对自己的日常行为的要求，那你就错了，学校和老师在高三一年中不会因为学习任务的加重，而放松对纪律的要求，反而会强化纪律以保证学习的正常进行。学习上更要听话，教高三的老师都是经历了几次或十几次高考授课，非常有经验，复习的进度、复习的内容、复习的顺序，都是长期教学实践中总结出来的。高考的变化及新要求，都会在复习中渗透进去。而不听老师的教诲，认为自有一套很好的复习方法的学生(每年都有)最后会碰的“头破血流”的。2．关于“上课”高考是个人行为，也是集体行为，复习中最重要的环节就是“听讲”，这就要求学生上课时紧跟老师，仔细听讲，积极思考，倾听别人的想法，提出自己的见解，在讨论中完成对知识、方法、能力的提高。如果高三任课教师发生变化，大家应该尽快适应。而不应该因为不适应这个老师的教学方法，就不喜欢这个老师，进而就不喜欢这门课程，这样受损失的只有学生自己。3．关于“复习”复习每天都要进行，即使今天没有数学课，也要对知识加以复习，这就要求有一个计划，首先对时间加以计划，每天都要有数学的复习时间，四十分钟(一节课)左右，周末应有两节课的时间;其次对学科加以计划，哪个时间段看哪个学科，要做到心中有数，计划有了贵在坚持。4．关于“作业”作业应该是检验听讲和复习效果的手段，不应看成一个负担，作业要认真对待，把每一次作业看成一次考试，不能敷衍了事，不会做的题目可以与同学研讨，但不要直接抄写，每次作业都是一次练习的机会，不要错过。5．关于“考试”高三复习阶段的考试是非常多的，考试是对知识、方法、能力、经验的检验，每次考试都是一个积累，大家应该充分运用它。首先，考试要独立完成，不要看别人的，否则会掩盖你的漏洞，失去老师对你的关注，也会失去对自己的正确估价。一两次考试成绩的好坏，说明不了什么，考好了不证明你就没有问题，考不好也不是说你彻底不行了。考试成绩不真实，最后会在高考中体现出来，吃亏的还是学生自己。其次，考试要注重基础题的解答，要明确考试是靠做“对”会做的题得分，而不是去做不会做的题得分(你得不到分)，取得好成绩是依靠做“对”多少，而不是做“了”多少，因此大家要学会“放弃”，不要因为一两个题目而影响整个试卷的成绩。题目做不完没有关系，往往要为整体利益(整份试卷)，而放弃局部利益(某些题目)。6．关于“交流”学习中的交流是非常重要的。这里包括同学之间的交流，同学与老师之间的交流，尤其应该做好与老师之间的交流，在交流过程中，可以让老师了解你的学习情况，有利于帮助你解决问题。不会的题目要注重随时解决，不要积攒起来。这种交流不只是学习上的，高三的复习是很枯燥的，心理上的情况(静不下心、成绩不稳定、时间分配不好等等)出现，求助于老师应该是正确的选择，而你的这些情况在以往的学生中也许都出现过，老师知道如何解决，所以平时应注重多和老师交流。7．关于“改错本”历年来，改错本在学习中起到的作用受到了学生的一致肯定。改错本就是收集错题的本子，也要一科准备一个，本子要准备的厚一些的，以便于多积累一些错题。错题本忌讳成为难题本，有些学生错误的理解了错题本的含义，把自己不会做的一些难题写在上面，这就失去了错题本的意义。错题本应该积累自己平时做练习和考试中“会做”而做错了的题目，积累的目的是为了这些题目在以后考试中，特别是高考中避免出现类似错误。错题本应经常翻看，对一些已经掌握了的不再错的题目要加以删除，考试前复习时只要看看错题本就可以了。8．关于“身体”高三长时间紧张的复习也会消耗大量的体力，而“体能”是需要坚持不懈的锻炼来积蓄的。高三学习时间紧，锻炼时间较少，这就要求大家充分利用好体育课、课间操这两个时间段的锻炼机会。课间操在上完两节课后，起到调节作用，使疲劳的大脑得到放松，以利于后面学习。高三每一节复习课的容量都很大，如果不好好利用课间操时间，会影响后面的学习。体育课更是在高三复习阶段起到非常大的作用，紧张复习阶段的体能基本上要靠体育课上来积蓄，更何况大家还要通过体育会考。总之，高三第一轮复习大家要重视对内容的“梳理”，用积极的心态进入到高三复习。老师、家长也会全身心的配合你，但复习的主力是你自己，所以每位考生要做好一切准备，迎接这一艰巨的挑战，去实现自己的理想。 四，数学答题技巧与应考策略 1.调理大脑思绪，提前进入数学情境 考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。 2.通览试卷，树立自信 刚拿到试卷，一般心情比较紧张，此时不易匆忙作答，应从头到尾、通览全卷，哪些是一定会做的题要心中有数，先易后难，稳定情绪。答题时，见到简单题，要细心，莫忘乎所以。面对偏难的题，要耐心，不能急。 提高解选择题的速度、填空题的准确度 数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。由于选择题的特殊性，由此提出解选择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。填空题也是只要结果、不要过程，因此要力求“完整、严密”。 3.审题要慢，做题要快，下手要准 题目本身就是破解这道题的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息。 找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不拖泥带水，牢记高考评分标准是按步给分，关键步骤不能丢，但允许合理省略非关键步骤。答题时，尽量使用数学语言、符号，这比文字叙述要节省而严谨。 4.保质保量拿下中下等题目 中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要部分，是考生得分的主要来源。谁能保质保量地拿下这些题目，就已算是打了个胜仗，有了胜利在握的心理，对攻克高难题会更放得开。 5.确保运算准确，立足一次成功 数学高考题的容量在120分钟时间内完成大小26个题，时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算(关键步骤，力求准确，宁慢勿快)，立足一次成功。解题速度是建立在解题准确度基础上，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答。所以，在以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤，假如速度与准确不可兼得的说，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也无意义。 五，高考数学答题思路 1、函数与方程思想 函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题；方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程或不等式模型去解决问题。同学们在解题时可利用转化思想进行函数与方程间的相互转化。 2、数形结合思想 中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此建议同学们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。 3、特殊与一般的思想 用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，同学们可以直接确定选择题中的正确选项。不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样有用。 4、极限思想解题步骤 极限思想解决问题的一般步骤为：一、对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量；二、确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；三、构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。 5、分类讨论思想 同学们在解题时常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。建议同学们在分类讨论解题时，要做到标准统一，不重不漏。 陇南市武都实验中学高三数学备课组 2022年6月10日 审