<p class="ql-block"> 2022年5月27日，我们初三年级四位数学老师又一次齐聚教研室，参加常规教研活动，结合最近模拟考试几何证明题得分比较低的情况，我们组就《图形与变换》进行了一次集体教研交流。</p> <p class="ql-block"> 图形与变换的探究是全国中考的热点！全国各地的中考数学试题都把图形与变换的探究作为压轴题之一。
</p><p class="ql-block">1．从考点频率看，三角形和四边形的综合探索与证明是高频考点。
</p><p class="ql-block">2．从题型角度看，以解答题形式考查，分值约10—14分。</p> <p class="ql-block">一 常见模型</p> <p class="ql-block"> 二 解题思路</p><p class="ql-block"> 解答类比探究问题，一般是先确定题中不变模型，再应用不变结构去解决新的问题，如果是常见的结构，如平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构等，则用结构的模型类比解决。若不属于常见的结构类型，则需要尝试着去寻找不变结构解决问题。</p> <p class="ql-block">三 典型例题</p><p class="ql-block"> 问题背景</p><p class="ql-block"> 在一次综合实践活动课上，同学们以两个矩形为对象，研究相似矩形旋转中的问题：已知矩形ABCD ∽ 矩形 A′B′C′D′，它们各自对角线的交点重合于点O. 连接AA′，CC′. 请你帮他们解决下列问题：</p><p class="ql-block">观察发现</p><p class="ql-block">（1） 如图 1，若 A′B′∥AB，则 AA′与 CC′的数量关系是 什么？</p> <p class="ql-block">操作探究
</p><p class="ql-block">（2） 若图 1 中的矩形 ABCD 保持不动，将矩形A′B′C′D′绕点O逆时针旋转角度α（0°< α ≤ 90°），如图 2，在矩形 A′B′C′D′旋转的过程中，（1） 中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；</p> <p class="ql-block">操作计算
</p><p class="ql-block">（3） 如图3，在 （2） 的条件下，当矩形A′B′C′D′绕点 O 旋转至 AA′ ⊥ A′D′时，若 AB = 6，BC = 8， A′B′ = 3，求AA′的长.</p> <p class="ql-block"> 【解析】 此题应用旋转性质，连接矩形对角线，可顺利解决 （1）、（2） 两问. 但在第 （3） 问中，必须抓住 AA′ ⊥ A′D′这个关键条件，过点 O 作OM ⊥ A′B′于点 M，推导出应用旋转性质和勾股定理的条件，才能解决求线段长度问题.</p> <p class="ql-block">四 共识</p><p class="ql-block"> 1、图形证明包括：探究旋转前后角与角之间的数量关系 （互余、互补、若干倍数等）；旋转前后线与线之间的位置关系 （平行、垂直、平分等） 和数量关系 （若干倍数等）；旋转前后图形的全等与相似 （主要是三角形）．探究旋转至特殊位置时一些三角形、四边形形状的特殊性 （等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等） .</p><p class="ql-block"> 2、 图形计算包括：探究旋转前后一些角的度数变化及特定大小；旋转前后某些线段的长度或比值变化情况；旋转至特殊位置时一些特殊三角形、四边形的边长、内外角、周长、面积等.</p><p class="ql-block"> 3、 无论是图形证明还是图形计算问题，一方面由条件出发进行分析：首先要根据已知条件和图形得出关于边和角的特征，联想所学知识 （如平行线性质和判定、三角形全等或相似的判定和性质、三角函数、勾股定理、圆性质定理等） 进行推理、证明或计算. 另一方面由问题反向进行思考：要证明猜想的结论需要先证明什么条件，要证明这个条件需要画什么辅助线 （作高、延长某些线段、连接某线段等） .如此，综合图形自身的特征及图形旋转的性质，正反两方面结合，进行推理和计算，才能有效地解决问题.</p>