【转载】正例，反例，特例

心平气和一年级

反例

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梯形

平均分

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教学

认识

例子

王俊

特级教师，南通市通州区实验小学副校长。多年来坚持“人文数学”教育思考与实践。努力用数学体察人世，用数学体察人性，用数学砥砺人生。他坚信数学学习对提升人的生命尊严，对建构人类的精神家园有着重要意义，他认为“数学给了我数学的眼睛，我要用它读懂人生”。其文风气象开阔，引人深思。

【专栏14】

14.正例·反例·特例

一

为了认真地讨论本话题，先请大家跟我做一个小实验。

首先举起你的左手食指，把一本《小学数学教师》杂志放在食指上，很显然杂志放不稳，马上会掉下来。

再伸出你的左手拇指，让拇指和食指一起撑起杂志，运气好的话，杂志可以较为平稳地放在这两根手指之上。

继续伸出你的左手中指，让拇指、食指、中指一起撑起杂志，这回如果没有特殊情况，杂志可以稳稳当当地被托起。

这个实验体现了一个很简单的数学原理：“三点确定一个平面。”这一原理在生活中应用很普遍，“三个指头捡田螺——十拿九稳”这句大家耳熟能详的歇后语说的也正是这个意思。

数学中的一个平面需要由三个点来决定，人的思想结构中认知又该如何？

二

让我们还是从概念学习说起。

众所周知，人们认识一个概念需要一定的例子做支撑。小学数学教师的一项基本功就是要善于举例子。比如数学“认识梯形”，我们一般会呈现这样一些图形，让小朋友比较概括它们的相同点，通过这些例子概括出“只有一组对边分别平行的四边形叫做梯形”。

可是这样光有这样的例子就够了吗？显然不够，我们还会呈现以下这些图形，让学生辨析它们是不是梯形？

对“认识梯形”来说，平行四边形更有对比辨析的价值。所以我们还要继续追问：平行四边形为什么不是梯形？如果不是，那么能不能算是“特殊一点的梯形”？

有了这些例子作支撑，小朋友们对“梯形”的认知就会牢固许多，一般情况下，教学能到这个层面就已经很到位了。但如果想继续深入“认识梯形”，还不能止步于此，可继续呈现这样一个例子：

这个是梯形还是平行四边形？它和我们常见的梯形有什么不同？明明和平行四边形一样，两组对边都是朝同一个方向斜的，可为什么不是平行四边形，而是梯形？

在上述教学中，我们三次呈现的例子的性质是不一样的。第一次呈现的是“正例”，它们是最常见最普遍的例子，也是本次认知的主角对象；第二次呈现的是“反例”，它们是与正例本质形似神不似的例子；第三次呈现的是“特例”，它是与正例形不似神似的例子。

正如三根手指才能稳稳地顶起一本杂志那样，“梯形”的认知也需要三根支柱作支撑——正例、反例、特例。

很多老师在教学中会有这样的困惑，我们在教学中也给学生呈现很多的例子，给学生了很多习题，但教学效果并不太好，是不是学生不够聪明？其实，教学的责任往往不在于学生，而在于老师的教学行为。如果老师呈现的始终是同样一种类型的“正例”，那么学生在学习的过程中接触的同一类型的例子个数再多，认知都是不牢固的。试想：如果把你的食指延长到100米，你能凭着一根食指顶起一本杂志吗？

所以，要让学生学得扎实，不在于例子个数的多少，而在于是否呈现了例子种类的多少。

亚里士多德说：给我一根支点，我可以支起整个地球。而我想说的的是：给我们三种例子（正例、反例、特例），老师们就可以支撑起学生的认知世界。

三

数学学习的真正价值不在于它的实际应用，而在于它提升了我们的思维方式与认知水平。梯形的认识、梯形的面积计算对于大多数人来说，出了校门之后很可能一辈子就再也用不到它。但是我们数学学习中练就的思维品质却影响着我们的一生。

从更高的提升认知水平的角度来看，数学本身其实也是一个例子，我们同样可以在数学之外的领域中找到不同的“正例、反例、特例”的例子。

金庸武侠小说是大家都非常喜爱的成人童话。《射雕英雄传》和《神雕侠侣》里有三个不太重要的支线人物：裘千仞、裘千丈、裘千尺，这三人是兄妹关系，他们在小说中虽说不是主要角色，但他们却分别代表着不同的例子，有很深的认知价值。

裘千仞是江湖上赫赫有名的铁掌帮帮主，他身怀绝技，轻功、掌法俱臻上乘，人称“铁掌水上漂”。当年华山首次论剑，王重阳等曾邀他参与。裘千仞因为自己的铁掌神功尚未大成，自知非王重阳敌手，所以谢绝赴会，十余年来他一直隐居在铁掌峰下，闭门苦练，有心要在二次论剑时夺取“武功天下第一”的荣号。

无疑，就“武林高手”这个概念来说，裘千仞是标标准准的“正例”，他是武林中的业务精英、是武术领域的学科带头人。而江湖中也遵循着“武而优则仕”的游戏规则，因为裘千仞武功惊人，而且极有才略，数年之间，他将原来一个小小的铁掌帮整顿得好生兴旺。

裘千丈是裘千仞的双胞胎哥哥，他和弟弟长得十分相像，但此公秉性顽劣，武功稀松，平日以招摇撞骗为乐，看到弟弟称霸武林，他便索性冒充弟弟混迹江湖。他也玩“水上漂”，却只是在水下偷偷地埋了树桩，脚踩着树桩在行走；他头顶着一口大水缸看似沉重，却是铁皮做的，根本没什么分量；他轻易一把捏碎的“砖头”，其实全是面粉做的。

不难看出，裘千丈是“武林高手”中“反例”。他正如一个平行四边形想混入梯形的队伍中那样，借着与梯形有几分相像，把那些不明真相的人糊弄得团团转。然而“反例”毕竟是“反例”，你可以一时欺骗所有的人，也可以永远欺骗一部分人，却不能永远欺骗所有的人。裘千丈在和郭靖交手之后很快就露了马脚，在众人面前出尽洋相，成为大家的笑柄。

裘千丈和裘千仞还有一个妹妹裘千尺，外号“铁掌莲花”，裘千尺从小在二哥的管教下练得一身好功夫。可是结婚之后，丈夫公孙止和婢女偷情，她实施报复之后，又被公孙止被挑断筋脉，扔下鳄鱼潭。所幸谷底有几颗枣树，她虽然四肢残废，但内功并没有丧失，生性顽强的她不仅没有被饿死，还练就了一套吐枣核的功夫，后来又重新练就了一门杀伤力非常厉害的 “枣核钉”暗器功夫。

从品德上来讲，裘千尺并不算什么好人。但是从业务进修的情况来看，她是非常了不起的励志榜样。裘千尺是“武林高手”中的“特例”，她原本也有着像一般的武林高手那样的独门绝技，但是她在遭受变故知道自己再也不可能成为“铁掌莲花”之后，清醒地认识到，对“武功”来说，“铁掌”只是“非本质属性”，而“内功”才是本质属性。于是依靠内功重新练就了新的技能，依旧成了一名无可替代的武林高手。

把金庸小说里的这三个人物和数学中的“梯形”的认识联系起来，你有没有发现裘千仞就是学生心目中常见的“梯形”，裘千丈是混进梯形队伍里的“平行四边形”，而裘千尺则是特殊的“梯形”？

顺便说一句，三兄妹的老爹（金庸先生）给他们起名蛮有数感的：千丈、千仞、千尺，这里的数列顺序跟人物的年龄大小有着近乎等比的关系，实在是高！

四

读懂金庸小说中的“正例、反例、特例”对我们的小学数学教学有帮助吗？当然有帮助！

首先，要认识一个数学概念或掌握一项数学解题技能，应该尽可能提供“正例、反例、特例”三种不同的案例。让“三兄妹”依次出场比只让一个出场更能帮助学生形成深刻的认识。“认识梯形”是如此，“认识三角形”、“认识平行四边形”也是如此。

再比如教学“认识乘法”，我们可以出现这样呈现“三兄妹”:

你认为下列哪些算式可以看成是乘法算式？

2×5   （正例）

2+5   （反例）    

2+2+2+2+2（特例）

对“认识乘法”来说，“2×5”是根正苗红的正例，但如果总是呈现这样的正例，久而久之学生会形成认知上的麻木，他们会忽略到其中最关键的内容。如果我们加进一个“2+5”这样的反例，学生就会关注到运算的符号；加进一个“2+2+2+2+2”这样的特例，学生就会深刻理解到乘法的意义。

其次，要巧妙安排三种例子的出场顺序。一般来说，教学应该先让学生认识正例，再认识反例，最后再认识特例。在《神雕英雄传》中，为了营造戏剧效果，金庸先生先安排不学无术、坑蒙拐骗的大哥裘千丈出场，被郭靖黄蓉揭穿了把戏。但同时也让郭黄二人形成一个错误的认知，以为“铁掌水上漂”就是一个江湖骗子。哪知道他们后来遇到真正的“铁掌水上漂”裘千仞，就大意轻敌，黄蓉被裘千仞的铁掌打成重伤，差点送命。

这就是反例在前造成的恶果。心理学讲究首因效应，强调人的第一印象非常重要。如果郭黄二人先见识裘千仞再接触裘千丈，那么受伤的就一定不是黄蓉，而是裘千丈。同样，教学时如果先被反例误导，受伤的就是学生；而如果先夯实正例的认识，学生就可以将那些反例一招搞定。

特例是更高层次的认识，应该把它排在最后。而且要在学生对正例和反例的判断相当熟悉的情况下才能加入，不然不仅达不到提升认识的作用，还会搅乱原有的认知。

比如教学“相遇问题”，我们可以先让学生练习类似这样的习题：

小明和小红同时从甲乙两地相向而行，小明每分钟走110米，小红每分钟走90米，10分钟后相遇，甲乙两地相距多少米？

一般来说，这样的正例要练习这么几道，学生的认知才会比较牢固。等学生对正例已经有比较清晰的认识之后，可加入类似这样的反例：

小红和小红从甲乙两地出发，小明每分钟走110米，小红每分钟走90米，10分钟后相遇，甲乙两地相距多少米？

等学生能够清晰地辨认正例反例之后，又可加入这样的特例，让学生辨析这样的题目可不可以看作“相遇问题”。

小明和小红做花，小明每小时做8朵，小红每小时做10朵，两人各做了2小时一共做了多少朵花？

我们在教学某一主题内容时中为了给学生形成扎实的认知，除了要考虑“三兄妹”出场的顺序，还要安排不同的戏份，正例是认知的主角，戏份要足一些，反例和特例是起烘托作用的，是配角，我们在呈现时要适可而止，不能喧宾夺主。

最后，金庸小说还给我们一个重要的启示：要充分发挥特例和反例的作用，营造课堂教学的戏剧效果，让数学学习充满着故事性的趣味。

反例是自带喜感的。裘千丈之所以给我们留下了深刻的印象，就是金庸先生在故事中设置了许多“包袱”，然后再一一抖开。许多数学教学高手都善于利用反例在课堂上制造幽默的效果，他们会先让反例在舞台上尽情地表演，然后再无情地奚落嘲弄它，“将人生无价值的东西撕破给人看”。

比如教学“梯形的认识”时，我们可以将反例平行四边形人格化，把他塑造成一个无理取闹、不达目的不罢休的“丑角”，让他不断地“伸冤”：

“你们给我评评理，我不也有一组对边平行吗？凭什么说我不是梯形？”

“我有两组对边平行，梯形有一组对边平行，我比梯形还多一组对边平行，难道我不是特殊的梯形吗？”

让平行四边形这个反例如此这般和学生们“胡搅蛮缠”，学生自然会觉得戏味十足，数学课由此变得生动有趣，怎么能不喜欢数学？

特例又是另一种喜剧，它是一种“踏破铁鞋无觅处，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的惊喜与感动。试想那个特殊的梯形，我们不妨假设他也有感情思想，那么他在人生旅程中经历过多少迷茫与困顿，他为了认祖归宗经历过多少思想的斗争？走过多少弯路？但是最终理性给了他一个正确的答案，他终于寻找到自己的“根”！

数学课如果能如此将学习内容人格化，带上故事的色彩，便增添了无穷的魅力。

五

如前所述，我们讨论“正例、反例、特例”不仅仅是为了解决数学教学问题，而是为了解决更广阔的人生问题。

如果我们要认识“人生幸福”这个概念，需要哪些例子？我们又该如何面对这些例子？

人生中会出现一些正例，这就是我们通常所说的顺境；也会出现一些反例，这就是所谓的逆境；人生中也会出现一些特例，这就是我们需要靠智慧去辨析的化境。

为什么我们要强调给孩子营造温馨美好的家庭，为什么我们要给孩子一个健康全面的基础教育？为什么要给孩子有一个美好的童年？因为这些是他们人生中接触到的第一个“例子”。“儿童是人类之父”，第一个例子是正例还是反例，决定着他们成人之后对整个世界的认知。

一开始给孩子呈现正例并不意味着不再呈现反例，每一个人在今后人生道路上都不可能一帆风顺，人生中适时出现一些逆境对成长来说是一件好事。“祸兮，福之所倚；福兮，祸之所伏”，正如“认识梯形”时不加入平行四边形这个反例学生的认识就不会深刻那样，只有经历了祸福相生相随的种种人生境遇，我们才能深入认识幸福的本质。

和数学学习不同的是，没有谁会在人生历程中刻意给自己制造一些反例（逆境）。但如果逆境既然不邀自请地来了，那么不妨就将它视为贵宾好好善待，总有一天它会成为我们成长中的一笔财富。所谓“天将降大任于斯人也，必先苦其心智，劳其筋骨，饿其体肤……”任何一个伟大的人物不是在逆境中成长起来的。

以我自身的遭遇为例，八年前，我是一名比较有活力的小学数学教师，当时每年会上一些公开课，会写一些教育教学文章，会参与观摩教育江湖上的“武林大会”，会觉得和江湖上一帮有思想有情趣的同仁切磋教艺是人生的一件快事。那时的我对于“小学数学教师”这个概念来说，是一个充满正能量的正例。可是，2011年我被查出患有先天性颈椎畸形，动了手术之后脖子不好转动，读书写作相当吃力，再加上行动不便，连进课堂上课都成了一件极为奢侈的事情。

命运就这样无情地挑断了我的筋脉，我就像裘千尺那样被扔进了绝情谷中的鳄鱼潭。有很长一段时间，我决定放弃做“小学数学教师”，但总有一些热心的朋友不断鼓励我，我发现自己对教学还有思考，对生活还很热爱，我的“内功”并没有丧失，于是便下定决心跟裘千尺大姐苦练“吐枣功”。如今我已经靠这种功夫用另外一种方式来演绎“小学数学教师”这一角色，硬生生地将自己活成小学数学教师的一个“特例”，

从理论上来看，人生根本就没有逆境。只要有足够的内功，人生中遇到的所有逆境，都可以像裘千尺那样将之转化成顺境，当然这种顺境与天然的顺境不同，是经过自身努力得来的，对于这种来之不易的顺境，我们称之为“化境”。

退一步说，即使我们无法拥有强大的内功将所有的逆境进行转化，但有许多问题如果换个角度思考，有许多逆境也会变成顺境。上文中我们所说的平行四边形之所以被称之为“反例”，那是因为它站错了队伍。事实上，在“梯形的认识”中它是个反例，但是在“平行四边形的认识”、“四边形的认识”中它却是无可争议的正例。

那个受尽众人嘲笑的“武林反例”——裘千丈从另外一个角度来看其实相当了不起，他至少有这样一些优点：

1. 热爱江湖武功，否则怎么会想到冒充弟弟，以假乱真？

2. 不会害人（因为没有能力害人），他出场只是为了刷一下存在感，比许多有意无意伤人性命的“正例”要干净许多。

3．是武术大师与吃瓜群众之间的重要桥梁，不遗余力地进行着顶级武术的“科普宣传”。

不难断定，裘千丈这个“反例”只是生不逢境，他如果到了“江湖马戏团”或“春晚魔术表演”里，那么他所有的一切就是顺风顺水的顺境，会成为众人追捧的“正例”。

垃圾只是用错地方的宝贝。要怪只怪裘千丈出现在《射雕英雄传》里，要是出现在《魔术大师传》里，他的命运将彻底被改写，倒是他武功一流的弟弟成了被人嗤之以鼻的“反例”了。

六

我们花这么大力气去讨论看似跟数学教学无关的问题究竟有什么用？这些天马行空的“无边界”思考对提升学生的数学思维究竟有什么帮助？这样的思考能给我们带来哪些课堂教学怎样的改变？

任何一个务实的的小学数学教师都会提出以上的质疑。对一个严肃的数学教育工作者来说，他们不忍心数学这个“养在深闺人未识”的美人被如此这般打扮成一个花枝招展的小姑娘。这种心情我非常能理解。可是，我想说明是，数学只是教育的一个分支，学数学本身并不是终极目的，通过数学学习提升人的思维品质去更解决更为广阔的问题（包括人生问题）才是数学教学的目标所在。

我们当然不会放弃纯粹的数学学习，但是同样是面对纯粹的数学教学，有没有关于人生教育的思考，教学的目标会很不一样。

下面请看两个不同的“平均分”教学案例，案例1为我刚工作时的教学设计，案例2是我当前的教学设计。

例1：老师出示6个圆片，把它们分成两堆，每堆3个。告诉学生这是“平均分”，然后开始练习各种类型的“平均分”习题。

这样的教学学生看似也学会了“平均分”，但是根基很浅，因为只有一种类型的“正例”，学生的思维参与并不深，更不会生成更高层次的生命感悟。

例2：老师同样出示6个圆片，分成以下几个步骤进行探究。

1.让学生将它们分成两堆，学生分成了1和5、2和4、3和3这三种情况。

2.师提问：你觉得哪一种分法最特别？为什么？

学生：把6分成3和3最特别，因为分得同样多。

3.师介绍：像这样每份分得同样多的情况叫做“平均分”。

4.师追问：还可以怎样把6个圆片平均分？

学生经过一番尝试，想到将6个圆片分成3堆，每堆2个。也有的学生把6个圆片分成6堆，每堆1个。

师评价：小朋友们能通过改变分的份数进行不同的平均分，真棒！

5.师对比追问：为什么前面分成2堆的是“平均分”？分成3堆的也是“平均分”？分成6堆的还是“平均分”？

学生：因为它们都是每份分得同样多。

师总结：看来一种分法是否平均分，跟分成的份数无关，跟每份分得是否同样多有关。

6.老师出示9个圆片，将它们分成了一堆4个，一堆5个。问学生这样分是不是平均分。为什么？

学生：不是，因为每份分得不一样多。

7．老师设疑（故意说）：看来9个圆片是不可以平均分的。

学生迟疑了一会儿，马上质疑9个圆片虽然无法平均分成两份，但是可以平均分成3份，每堆3个；还可以平均分成9份，每堆1个。

8．师拓展：原来9个圆片也是可以平均分的。那么是不是任意个数的圆片都可以平均分呢？

学生通过研究发现：不管多少个数的圆片都可以平均分，因为都可以分成每堆1个。

老师评价：小朋友们真了不起，你们不仅知道什么是平均分，还能把不是平均分的情况变成平均分；不仅将6个9个圆片进行不同的平均分，还能把任意个数的圆片进行平均分。看来，只要开动脑筋，就一定有精彩的发现和创造！

这样的教学是在教数学吗？当然是。这样的教学仅仅是在教数学吗？当然不是！学生在这样的过程中所接触到的平均分的“正例”、“反例”、“特例”，不正代表着他们在今后人生道路上可能会遇到的“顺境”、“逆境”、“化境”吗？他们在这样的学习过程中所经历的柳暗花明的体验，对将来“认识世界”、“认识自我”、“认识人生”不是有重要的迁移作用吗？他们在这样的学习过程中所经历的各种挑战、所积蓄的个人价值与能量，不是可以帮助他们积极地面对今后人生中的各种境遇吗？

数学课同样可以“讲人生”，而且是不露痕迹但又非常有味道的“讲人生”！，数学课，可以馈赠给学生更多的更有意思的精神财富。

七

数学有着超强的概括性，也具有无限的包容性。认识到这一点，我们就会发现数学蕴含着丰富的哲理。

如果你的人生目标是 “与世界相处成一个梯形”，那么你如何跟世界互动，实现自己的目标？

如下图，你是梯形的上底，世界是梯形的下底。

现在你就站在A点的位置，你可以保持和下底平行不断地向前行进，也可以保持和下底平行不断地向后退缩。那么不同的行走方向，将会带来怎样不同的命运？

如果你一直前行，你在一定的范围里始终是一个梯形的“正例”。

总有一天，你会遇到一个坎儿， 在那一刻，你是一个“反例”。

但是只要你鼓足勇气继续前行，跨过这个坎儿，你将不会遇到任何障碍，永远都是“正例”。

不管这个“正例”有多么奇特！

而如果你一直不断地后退，你在一定范围内也会是一个梯形的“正例”。

但最终的结局是什么？是一个三角形。对你当初所制定的目标而言，它是一个万劫不复的“反例”！

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