蜂窝结构的数学原理

官渡之战

数学

蜂房

六边形

蜂窝

数学原理

蜜蜂

宇宙

结构

底部

规则

撰文/官渡之战

图片/部分来自网络

有人对蜂窝不屑一顾，认为它不过是蜜蜂的巢穴，不值得一谈。我很不以为然：别小看了蜂窝，它可是蜜蜂王国的“宫殿”，其构筑堪称鬼斧神工！

蜂窝又称蜂巢，它是由许多格子间组合而成的，这种格子间称为蜂房。本文对蜂窝结构的解析，正是从单个蜂房结构切入的。 蜂房主体结构是正六棱柱。入口在下端，是正六边形；底部在上端，由三个全等的菱形面封闭而成。 蜂房的形状怎么会是这样？有什么道理？ 早在公元前三世纪，古希腊数学家帕普斯猜想：在相同的条件下，这种形状的蜂房用材最省、容积最大。 先说主体的截面。

这里涉及多边形的组合问题。当正多边形的内角能被360°整除时，多边形可实现无间隙组合。满足这种条件的图形有等边三角形、正方形和正六边形，它们的内角分别为60°、90°和120°，都能被360°整除，即六个等边三角形、四个正方形、三个正六边形都可无间隙组合（如下图）。三种图形在周长相等的情况下，六边形面积最大。

三种多边形的无间隙组合

1999年，美国密执根大学数学家黑尔最终给出了证明：将一个平面分割成同等面积的区域，且具有最小周长的几何图形，是正六边形。 如此说来，在等量用材的情况下，正六边形可以比等边三角形和正方形具有更大的面积。蜂房采用正六棱柱结构，使用的材料最少、空间利用最大。 再说蜂房的底部。 它的底部不是平面，不是曲面（凹面或凸面），也不是锥体（圆锥或棱锥），而是由三个全等的菱形面封闭而成的。 1712年，法国天文学家马拉尔迪经测量指出，菱形面相邻的两个角分别是110°与70°，他猜想蜂房底部取这样的结构，在相同容积下用材最少。后来又提出这两个角分别是109°28'与70°32'，如图3。但他没有给出数学证明。

蜂房的底部结构

1743年，英国数学家马克劳林使用初等几何方法作出了证明：当菱形面相邻两角分别是109°28'16" 和70°31'44"时，在相同的容积下，使用材料最少。 蜂房无论是主体还底部，其结构都切合了数学原理，精巧绝伦！ 是什么力量驱使蜜蜂完成了如此绝妙的构筑呢？有人把它说成是上帝的杰作，其实这种说法是苍白无力的。 事情往往就是这样，对某事物难以解释时，常常把它归于上帝的安排，连著名物理学家牛顿也不免落于此臼。晚年的牛顿陷于神学，他把万有引力的初始动力归于上帝的第一推动，就属于这种情况。当然，瑕不掩瑜，这无损于牛顿一生的光辉。

牛顿

那么，到底如何理解蜂窝这种结构的由来呢？ 黑格尔有句名言：凡是存在的都是合理的。我以为，这里的“合理”不能从“公平正义”的角度去理解，而应理解为“规则”—— 宇宙规则。

如果说有所谓的“上帝”，那么，“上帝”就是人格化了的“宇宙规则”，正是这种“规则”为宇宙的“行为活动”作了安排。

宇宙无疑有很多规则，而终极规则是数学！ 古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“世界本质上是由数学构成的”。数学是自然界的重要组成部分，它赋予了物理世界基本的结构 ，这已成为科学界的一种共识。正如恩格斯所言：任何一门学科，如果能够用数学来描述，那么它才能说是科学的。反过来说，一门学科如果不能用数学来描述就不是科学，可见，对物理世界最有力的解读在于数学。 数学是人类的发明吗？如果把它理解为“数学原理”，那么它只能被发现，而不能被发明，数学原理的存在是先天的，它不依赖于人类意识。如果把数学理解为“知识体系”，那么可以说“数学是人类智慧的结晶”，但这也不意味着人类创造了“数学原理”，而是指思维对数学发现作了概括，形成了“数学体系”。 可以这样说，整个宇宙都是在用数学说话。1974年，位于波多黎各的阿雷西博天文台向星外文明发射的无线电信息，就是以二进制编码发送的，因为他们认为只有数学才是宇宙不同星球间的共同语言。至于星外文明是否真的存在，对方是否真的能接收到信息，另当别论。

根据石化资料，蜜蜂的存在已达亿年之久，远早于人类。且不说蜜蜂不知道数学，就连早期的人类也不知数学是何物。蜜蜂的筑巢能力是在长期的进化过程中形成的，这可称作“本能”，而这种“本能”则是在数学的制约下形成的。因为数学制约着宇宙，任何生物在其进化过程中都不可能逃脱它的制约。

蜂窝并非沉默者，它在用数学语言诉说着自身的卓越。 后记

对一定周长下正三角形、正方形及正六边形面积的比较，本文未展开说明，我的大学同学李伟君先生看了后，对此发生兴趣，与我作了交流，他给出了推算。现将其附于文末，供有兴趣的读者阅览。借此机会，向伟君先生致谢！