神奇的斐波那契数列及螺线

官渡之战

撰文/官渡之战

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斐波那契数列及其螺线堪称神奇，不信？且容我道来。 该数列是意大利数学家斐波那契（1170-1240）提出的，为纪念这位数学家，故称之为斐波那契数列。 该数列第1、2项为1，从第3项起，每一项都是前两项之和，即为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…… 通项公式为：A(1)=1，A(2)=1，从第三项开始，A(n)=A(n-2)+A(n-1)。

数列有这样的特点：随着项数的无限增加，相邻两项的前项与后项之比都在0.618附近。如：

21/34=0.61764705882……；

34/55=0.61818181818……；

……

而0.618称为黄金分割数，这就是说斐波那契数列内含了黄金分割。关于黄金分割，可参阅作者此前发表的《黄金分割之趣》。 斐波那契数列有其对应的螺线，称为斐波那契螺线。螺线如下：

图1 斐波那契螺线（局部）

螺线是这样形成的：以数列各项的值1、1、2、3、5、8、13……等为半径作圆，取四分之一圆弧，拼接在一起，所得到的螺线，就是斐波那契螺线。 它与圆不同，这是一种绕中心点旋转且半径逐渐增大的开放曲线，而圆则是绕中心点旋转且半径不变的封闭曲线。 斐波那契螺线堪称自然界最完美的黄金比例螺线，这种螺线居然可以在生物进化中找到它的踪迹。试举三例。 其一，向日葵籽的排列。 向日葵籽的排列不杂乱无章的，而是有序的，不仅有序，还是按两组斐波那契螺线排列的。一组逆时针旋转，另一组顺时针旋转，两组螺线的条数恰好是斐波那契数列中相邻的两个数。

图2 向日葵花盘

如图2，该花盘逆时针螺线21条，顺时针螺线34条，21与34是斐波那契数列的两个相邻数，即第8项和第9项两数。当然，不是所花盘的两组螺线都是21和34条，这与花盘的直径有关，大的花盘两组螺线可达89和144条。 为什么花盘内籽的排列如此有序？数学家对此作了研究，揭示了其数学原理。 花盘中逆时针螺线与顺时针螺线的夹角称为发散角，当发散角成137.5º时，葵花籽的排列紧密，没有间隙。 137.5º角称为黄金角，是基于黄金分割比的角度，其导出过程恕不赘述。有兴趣的读者可参阅本文附录。 有数学家在电脑上对葵花籽的排列作了模拟，发现当发散角小于137.5º时，籽只按顺时针螺线排列，籽间有间隙；当发散角大于137.5º时，籽只按逆时针螺线排列，籽间亦有间隙。只有当发散角正好为137.5º时，籽的排列才会形成互为逆向的两组螺线，排列也才会紧密。按这种排列方式，每颗种籽都可以最大限度地获得阳光照射。 当然向日葵不知道其中的奥秘，这只能说是大自然的造化。 其二，螺线贝的曲线形体。 螺线贝是一种海洋生物。下图左侧是螺线贝，右侧则是斐波那契螺线，两者形态何其相似乃尔！

图3 螺线贝与斐波那契螺线

螺线贝的生长是从一个中心点开始的。在生长过程中，随着半径的不断扩大，曲线不断延伸但不封闭，形成开放型曲线形体。如果随着半径的扩大，形成的是封闭曲线，则形体接近圆形体，且出现如同树轮的花纹。如图4。

图4 树轮

曲线贝的生长点，始终在曲线的开口处，这里是它最年轻的部分，而中心处则最年老的。螺线贝在进化中选择了斐波那契螺线肯定有它的道理。可以这么说，内含黄金分割的斐波那契螺线最适合它的生长，因而成为其最佳选择，这是自然界的奥秘！ 其三，人的耳廓。

图5 耳廓与斐波那契螺线

噢！原来耳廓形同斐波那契螺线。 试想一下，如果我们的耳廓不是形同斐波那契螺线状，而是像 “二师兄”猪八戒的耳朵，那能接受吗？肯定不能，这太难看了！至少我们还没在数学曲线中找到与此相对应的曲线。 我们的耳朵长成这个样，要归功于祖先吗？不！祖先也无能为力，这应该感谢大自然，是自然选择的结果。斐波那契螺线内含了黄金分割，是曲线中最美的曲线，也是最适合耳廓的曲线。 那么，“二师兄”祖先的耳廓为什么没选择斐波那契曲线呢？这里自有它的道理，不属本文讨论范畴。 意大利数学家、物理学家伽利略说过这样的话：“我们生活在受精确的数学定律制约的宇宙中，而数学正是书写宇宙的文字。”何等精辟！ 数学既然存在于宇宙，它定会融于生命过程。如此，进化就不是一个简单的生物学问题，还是一个融化了数学的生物过程。数学制约着世界，制约着生物进化。 神奇的斐波那契数列，神奇的斐波那契螺线，它们隐藏着自然界的密码！ 附录
黄金角137.5º的导出：