【教研·引领】基于“量感”培养的课例研讨活动 ——新城区小学数学五、六年级线上教研活动综述

徐红岩名师工作室

体积

学生

圆锥

圆柱

老师

教学

单位

量感

课例

立方厘米

2022年4月1日至4月8日，新城区小学数学五、六年级开展了线上集体教研活动。

本期活动研究主题是《基于“量感”培养的课例研究——以<体积单位><圆锥的体积>两节课为例》。由小学数学教研员徐红岩老师策划设计教研活动，徐红岩名师工作室成员东门外小学刘艳磊、呼哈路小学马瑞华老师反复研磨、精选素材、精心录制课例，海小、八一、启新、北垣公主府、沁苑、名都、丁香路、关小、新华、呼哈、爱民街、胜利街、车小、讨思浩、光华、苏小、实验东河、北垣、成小、落凤街、团小、满小、海新、青山、保和少25所学校在内的学科分管领导、任课教师在线参与教学研讨。

此活动开展的意图有三个方面：
一是在即将颁布的新课标中，“量感”是新增的学科核心素养，而量感的培养，在新的课程改革中有两个较大的变化，目的是提前丰富老师们对量感的理解和认知。
二是在线教学以来，老师们认为操作类、体验类教学内容是教学难点，跨单元选择内容上课比较普遍，导致教学进度不一，发挥名师工作室的资源，选择有代表性的课例做好教学示范。
三是课例研讨就是课堂教学分析，通过系统规划认真组织探索一种有助于教师教学行为改进、促进教师专业成长的日常研修方式。

为了让老师们的观摩课例、交流和分析更聚焦，徐红岩老师设计并提出“活动导引”，引导老师们带着问题去观课，帮助老师们聚焦主题，带着问题细品课例。

新城区各个学校五、六年级组的全体教师通过视频会议认真观看两节云课，进行交流研讨，剖析每节课的亮点和用心之处，对比自己平时的教学过程，进行热烈的讨论，反思不足。 刘艳磊老师的这节《体积单位》课，以贴近生活实际的素材入手，让大家比较电视机，衣柜，钢笔，谁的体积大，谁的体积小？接着用一千克的棉花和一千克的铁比较体积的大小，既复习了以前的质量单位，也告诉孩子们同等质量的物体，它们的体积不一定相等。 在认识三个体积单位时，为了帮助学生建立空间观念，刘艳磊老师注重学生的感悟，让学生自己参与知识的构建过程。让学生在操作体验活动中感知体积单位的大小，建立三个体积单位的概念。且实验操作都利用了生活中孩子们熟悉的的事物，让学生充分感受体积单位的大小。

首先老师提出明确的实验操作要求：让学生想办法做一个一立方厘米的正方体，一立方分米的正方体,围出一立方米的空间。

　　学生利用土豆切出了一立方厘米的正方体。在一立方米的体积单位概念的建立中也是如此，学生用四块硬纸板围了一个一立方米的空间，并尝试用生活中的物体将一立方米的空间填满，发现一立方米的空间可以容纳4把椅子，或者也可以容纳更多的物品，比如可以放几个牛奶箱子，无数个抱枕，还有沙发靠垫等等。

让学生充分感受了一立方米体积的大小。然后老师让学生用一立方厘米的小正方体来摆一摆，让学生充分感受用若干个一立方厘米摆成的图形的大小，从而体会一立方厘米是一个非常小的体积单位。接着学生用纸板做出了一立方分米的硬纸盒。并且把硬纸盒放在手上，加强对比，并且在纸盒中放入了12枚鸡蛋，让学生充分感受一立方分米所占空间的大小。以及一立方分米所能容纳物体的大小。
六年级马瑞华老师的这节课，以“一个圆锥的体积，不能切不能捏不能倒水，也不能放在水中，怎么才能求出圆锥的体积呢？”这样的问题引出本课的主题，继而进行猜想验证，调动学生的学习热情和积极性。

在教学新课时，没有像传统教学那样，直接拿出等底等高的圆柱和圆锥容器的教具，让学生观察倒沙实验，而是通过师生交流、问答、猜想等形式，调动学生的积极性，激发学生强烈的探究欲望，学生迫切希望通过实验来证实自己的猜想，观察实验时就兴趣盎然;二是在实验时，以实验要求为主线，即动手操作，又动脑思考，努力探索圆锥体积的计算方法。

最后设计问题：如果圆柱和圆锥底面积相同，圆柱的高是圆锥的高的三倍时，两个图形的体积有什么关系？当圆锥的高是圆柱的高的三倍时，它们的体积又有什么关系？通过分析提高学生解决问题的能力。

这样的学习，学生学的活，记得牢，体现了学生的主体地位。学生在学习的过程中，始终是一个探索者、研究者、发现者，并获得了富有成效的学习体验。 苏小：呼哈路小学马瑞华老师圆锥的体积：捏橡皮泥，切黄瓜的环节设计的很好。通过实际操作反复实验最终得出结论。这一课中，更多体现的是一种知识的形成过程，也就是当在遇到问题的时候，我们可以先尝试用转化的方法来解决问题，然后大胆的去猜想，最后进行实践来验证自己的猜想，并得出最终结论。在课后的习题当中有这样一道题：下图中圆锥的体积与哪个圆柱的体积相等？有两个不同的学生给出了两种不同的思考方法。马老师根据第二个学生的计算，推导出了圆柱跟圆锥的体积的另外两个公式：圆柱和圆锥的体积相等、高也相等时，圆柱的底面积是圆锥底面积的1/3；当圆柱和圆锥的体积相等、底面积也相等的时候，圆柱的高是圆锥的高的1/3。其实后两个公式对于多数学生来讲，是不太好理解的。如果老师能够进行一个具体的实际操作，再加上老师的讲解，我想孩子们对于后两个公式的理解会更加到位，印象也会更加深刻。

本次听课印象最深的地方就是授课教师在备课时所下的功夫。短短20分钟的录播课，从让学生明确本节课的教学目标开始，问题情境导入、教师有效问题引领、学生猜想、交流互动、实验操作、得出结论、巩固应用、展示孩子可能出现的几种错误情况、强调正确结论、回顾与总结，每个环节紧紧相扣，时间把控合理，内容丰富立体，完全打破了线上课堂时间短、教师一言堂无学生参与互动、无知识的形成过程的弊端。两节课的背后凝聚的是教师课下备课时大量收集学生预习思考情况、猜想验证过程、结论使用过程中会不会产生误区、如何纠正的智慧结晶。整节课的背后，还需要教师将收集好的学生的视频、图片资料剪辑、编辑和自己准备好的课件有效融合，再进行幕后录播。我能想到的还只是一小部分，实际操作过程中涉及到联系学生、借助家长的支持、电脑技术等诸多问题等着老师去协调学习，这一系列备课过程深深的打动了我，一心只为给孩子们呈现学习过程中独一无二的每一节课。谢谢两位讲课教师，对比自己功夫还是没有下到位，向两位老师学习，上好任何形式的课。

团小：（1）借助学生身边事物，建立表象，借助实践操作，建立量感。（2）注重学生的认知规律，把握知识的内在结构。发展空间观念，形成量感体系。（3）以度量为载体，提升度量能力，发展量感。 陈帆：聆听徐红岩名师工作室成员马瑞华老师《圆锥的体积》课的学习感悟：这节课给我印象最深的是在类比猜想这一环节中，教师利用长方形和直角三角形的旋转得到了圆柱和圆锥两个立体图形，为了保证圆柱和圆锥等底等高，直角三角形选取了长方形的一半，进而得到面积比是2 : 1，所以大胆猜测圆柱和圆锥的体积比也是2：1。随后，通过实验证明，2个圆锥的体积并不等于1个等底等高的圆柱的体积，从而引发认知冲突，激发学生的学习兴趣，使他们急切地想知道等底等高的圆柱和圆锥的体积之间到底有什么关系。使学生更积极、更主动的进行探究，更深层次的激发了学生的内驱力。

本节课对于学生的量感培养也是很突出的。我们平时对学生的量感培养比较缺失。通过对徐红岩老师提供的《数学中的量感》一文的学习，对照本节课，在对学生的量感培养中，首先，开展了通过“比较”进行的教学活动。通过旋转可以直接比较出等底等高的圆柱和圆锥的体积的大小，很明显圆柱的体积要大于圆锥的体积。给了学生一个直观的、量化的认识，充分发展了学生对“数量”的感知。其次，重视数量的关系。开始我们大胆的猜测圆柱和圆锥的体积比是2 : 1，但是在推理过程中发现，数量关系并不是简单的1/2，通过实验得到准确的数量关系是1/3。重视引导学生找数量关系，而不是将数简单的进行拼凑组合，为发展数量的推理能力提供了良好的契机。

柴建： 在引出体积单位的教学过程中，刘老师没有直接告诉学生，而是出示两个比较相近的长方体，问：这两个长方体体积谁大，大多少呢？该怎么办呢？我们在学习面积时，是用小正方形来量的，那在体积中我们是否能用小方块呢？它是不是也可以作为一个体积单位呢？学生陷入思考：这两个长方体的体积大小不能一眼看出,该如何比较呢?从而引导学生由面积单位迁移到体积单位，引出体积单位，突破难点。充分体现了体积单位的产生源于度量,度量的产生源于生活，数学源于生活,数学又是解决生活问题的工具。刘老师在引出体积单位时的情境设计、问题设计，重在努力找到生活、知识和学生发展的连接点,在三者之间建立联系,培育学生的核心素养，培养学生用数学眼光去观察生活、提出问题、解决问题。 杨亭林：就在线课堂如何落实“动手操作，观察，经历，探究全过程”的教学目标，结合这两节课谈一点我的心得感受：《体积单位》这一课，老师通过动画与学生的对话，再结合老师的讲解，引导学生观察、猜测、发现：一立方厘米有多大，一立方分米、一立方米有多大，培养了学生的观察能力。同时也增加了很多生活中的素材，为了突破每个体积单位的实际大小这一难点，老师非常注重从学生的生活实际出发，让学生联系生活学数学。在引导学生练习时，注重知识的内在联系，帮助学生建立完整的知识体系，沟通了长度单位、面积单位、体积单位之间的关系，培养了学生运用所学知识解决问题的能力。

《圆锥的体积》整节课中，老师向同学们渗透了科学研究的基本过程，引导学生大胆猜想，发现关系，验证推导圆锥的体积公式，让学生在发现、验证、推导中探究数学知识。同时老师加强了实物的演示和学生的动手操作，发展了学生的空间观念，加深对圆锥计算公式的理解。在这一系列的探究过程中，学生通过动眼观察、动脑思考、动手操作，发散思维能力，解决问题能力和策略都得到了不同程度的提高，有效的落实了教学目标。

闫利丽：在小学阶段，量感主要是指对长度、面积、体积、时间、质量、货币等的感性认识。

1.认识标准单位，建立量感参照物。量感的建立刚开始更多的依赖于经验积累，学生的量感并不是与生俱来的，量感的培养也非一日之功，我们的教学要从一个计量单位开始。学生只有脑海里深深的刻上一个计量单位的标准，量感的形成才会有参照。课上刘老师引导学生用土豆切成一个cm³的正方体来感知1cm³的大小，用硬纸板做一个立方分米的正方体盒子来感知1dm³的大小，用纸箱搭一个1m³的空间，大约能占13名幼儿园的小朋友的、再用生活中学生们比较熟悉的比如说椅子、抱枕等物品去填充，通过这些活动来感知1m³的大小。这些体验活动都有效的帮学生利用身边的常见材料，帮助学生建立“体积单位”的直观印象，从而发展量感。
2.通过不同体验活动来帮助学生建立体积单位的直观印象。在教学中，学生认识了标准的体积单位后，刘老师给学生们提供了花生米，蒜瓣，鹌鹑蛋，水杯，冰箱等学生生活中常见的素材，供学生参考和体验，以帮助他们最终在头脑中形成这些体积单位的明确概念，从而发展学生的量感。

亢欢： 听了马老师教学《圆锥的体积》一课，收获很多。下面我就本节课谈谈自己的收获：

1.在传统的倒水法推倒圆柱圆锥体积关系之前，她还提供了许多求体积的方法，如橡皮泥转化已知形体（或水）法，切割体积单位衡量法，排水法。这些都是我们经历过的方法。这里都稍加展示，不仅总结了之前非公式求体积的方法，也体现了方法的多样化。诸多方法却不能解决今日圆柱形粮堆的体积问题，引出了今日圆锥体积公式的学习。
2.在圆锥体积公式的探究中，让学生经历了大胆猜测——验证想法——调整再验——得出结论的过程。首先大胆猜测：圆锥的体积与什么有关。有的同学猜测与底面积，高的大小都有关系。也有的同学因旋转的图形猜测与圆柱有关，猜测2倍关系。让学生验证，调整，多次验证得出结论。

田慧：听了两位老师的课，使我受益匪浅，今后教学中我要在以下几方面多下功夫:一.有效精选，整合教学资源，更好地为课堂服务。两位老师教学中都很好的运用了小视频，既吸引了学生的注意力，又使课堂变得更加生动，动态化。二.发挥教师的引导作用，注重学生学习方法的积累。这一点尤其在圆锥体积这节课里感受更深。这节课老师引导学生自主发现问题，大胆猜想，探究验证，得出结论。使学生真正参与了进来，不仅提升了课堂效率，更是提升了学生的能力。三.加强新旧知识联系，使学生学习更加系统化。比如体积单位这节课，老师让学生感受点，线，面，体之间的联系，使学生的学习更加完整。 王梅：两节课讲的都是几何类的课，学生对于几何知识的学习，尤其是建立直观表现及对公式推演的理解，是一个难点。这两节课，不但很好地突破了难点，还为以后同类课程的教学，提供了新思路。对这两节课印象最深刻的地方有三点:

1.现代化技术手段的应用，很好地辅助了教学。学生的认知与观点，都以视频、语音、动画等多种方式从学生的角度呈现出来，例如体积单位的引入、圆锥的体积与哪些因素有关?把对学生不同的预设，例如不同的思考、方法，甚至出错方式，都以学生的视角精彩呈现，因此，备学生备得十分充分。
2.关注学生已有知识及已有方法的迁移。如体积单位与面积单位之间的某种关联?等体积转换、排水法、切割成很多近似1立方厘米的正方体，都是学生在前面已习得的知识与经验，当这些知识与经验无法解决新问题时，就得寻找新的方法，例如实验法、猜想与验证等。
3.对量感的培养既具体，又丰富。量感与数感相辅相成，我们在教学中已经知道了要渗透数感，但对量感的认识、了解甚至重视程度甚是不足，而量感在数学学习的过程中又十分重要，因此在以后的教学过程中:1.要加强量感方面的系统渗透；2.多学习现代化技术手段，让数学的学习更加丰富，让数学课堂更加精彩。

刘军:　1、在回顾和复习中从作业入手，感受体积的概念，比较体积的大小，尤其是棉花和铁的质量一样，体积不同中感受物体所占空间的大小，平时我们讲解体积时，多数是拿固体举例，他想到了气体和液体的举例，强化所有物体都是有体积的，为后续学习体积单位做了良好的铺垫。

2、、在新授课时能让学生带着问题思考，尝试由前面学过的展开联想，学面积的时候用到了面积单位，那么学体积的时候会不会有体积单位呢？通过视频学生的提问导入，然后由学生的画外音引出1立方厘米，1立方分米和1立方米，然后再探究它的大小，通过做一做说一说，让学生动手操作体会。如在切土豆时建立1立方厘米的大小。再建立几立方厘米的大小，结合生活摆出几立方厘米的物体。核桃有27立方厘米。在1立方分米里装12颗鸡蛋和体会1立方米与自己的认知不同，可以放椅子抱枕等，这些很好的操作体验活动通过数量的多少建立起空间大小的感觉，量感性很强，很精彩！

邓雪莉：马老师通过问题导入，把求圆锥体的体积转化成学过的长方体或正方体。（捏橡皮泥的方法）。或用切的方法把圆锥体切成1立方厘米的小正方体。中空的圆锥体就可以用倒水的方法将圆锥的体积转化成圆柱的体积，如果是铅坠就可以利用排水法来解决。但如果这个圆锥既不能捏，也不能切，还不能倒水，还不能排水法解决，那么这时候又会怎样求这个圆锥体的体积。学生猜测，由圆柱和圆锥的旋转过程想到了圆柱是由长方形旋转而来，而圆锥是由长方体的一半儿，三角形旋转而来，他们平面的时候是一半儿的关系。体积会不会也是一半的关系呢？然后通过操作去验证。验证一次觉得不保险又验证多次的方法得出圆锥体的体积公式。强调一定是等底等高的圆柱和圆锥。教学中通过动画视频操作推导出圆锥的体积公式。学生在这个过程中，进行了引出问题，大胆猜想，实验验证，解决问题。较好的完成了教学重难点的，课堂节奏紧凑，趣味性探索性强，学生主体感受强，是一节线上好课。 杨薇：《体积单位》这节课，给物品填上恰当的体积单位。“铅笔盒 75 ＿＿ ”这道题，建构三名学生对话：学生1认为，铅笔盒很大，比牛奶盒大，应该用立方分米；学生2指出，铅笔盒虽然接近1立方分米，但比1立方分米小，可看作由很多1立方厘米的小方块组成，应该用立方厘米；学生3解释得更加到位，认为题中给出的数量是75，75个小方块与铅笔盒的体积差不多，若是75立方分米，相当于75个水杯盒子，那太大了。用学生的话指明，填写单位，不能只是把实物与计量单位比较大小，接近哪个就填哪个，还要根据题目给出的数据特点选择合适的单位。 通过创设学生互动情境，呈现出易错点的预设，通过两位学生的解释说明，探明错误的原因和正确的思考方法，增强了学生对体积单位的灵活应用能力。 孙红：本节课以“一个圆锥的体积，不能不能捏不能倒水，也不能放在水中，怎么才能求出圆锥的体积呢？”这样的问题引出本课的主题，继而进行情想验证，调动学生的学习热情和积极性。在教学新课时，没有像传统教学那样，直接拿出等底等高的圆柱和圆推容器的教具，让学生观察倒沙实验，而是通过师生交流、问答、清想等形式，调动学生的积极性，激发学生强烈的探究欲望，学生迫切希望通过实验来证实白己的清想，观察实验时就兴趣盎然：二是在实验时，以实验要求为主线，即动手操作，又动脑思考，努力探索圆锥体积的计算方法。这样的学习，学生学的活，记得牢，体现了学生的主体地位。学生在学习的过程中，始终是一个探索老、研究者、发现者，并获得了富有成效的学习体验。最后设计问题：0果圆柱和圆锥底面积相同，圆柱的高是圆锥的高的三倍时，两个图的体积有什么关系？当圆锥的高是圆柱的高的三倍时，它们的体积又有什么关系？通过分祈提高学生解决问题的能力。 赵慧：马瑞华老师讲授的六年级下册《圆锥的体积》一课，我印象最深的是一开始的引入。动画演示：冬天到了，粮食大丰收，小动物要把一大堆（圆锥形）谷堆装入粮囤中，他们想知道这个圆锥形的谷堆体积有多大？粮囤里能不能装得下？动画接着演示，如果圆锥是橡皮泥做的，我们可以捏捏捏，捏成一个长方体或者学过的立体图形.这里其实是带领大家回顾了我们以前学过的解决问题的思想方法一转化的思想。把没学过的知识转化为学过的知识，把圆锥转化为正方体或长方体来计算.接着动画又说，如果圆锥是一个黄瓜，我可以切切切，把它切成一个个小的1立方厘米，也能大概求出圆锥的体积.这里用到了体积单位的知识.一个立体图形就是若干个体积单位组成的，有多少个这样的体积单位，体积就是多少。然后又说到如果圆锥是中空的，我就可以往圆锥中倒水，量出水的体积就可以知道圆锥的体积了。这里也是用到了转化的思想，把圆锥的体积转化成水的体积来测量.如果圆锥是一个铅坠，可以把它放入水中，用排水法来测量。现在谷堆不能捏、不能切、不能放水里，那怎么测量它的体积呢？然后引入猜想验证，小小的一个动画带我们回顾了之前求体积的一些方法，非常有趣，引起同学们的兴趣，同时引发大家的思考 (其他研讨内容请关注区年级钉钉群) 研讨课例、活动简报及老师们的发言都值得反复品读，分享与研讨能进一步促进我们的理解和思考。关注量感、关注环节设计、关注目标达成、关注素材选择，关注思维品质、关注课堂语言，关注核心问题设计……… 徐红岩老师就本次基于“量感”培养的课例研讨活动做了总结。

一、关于两节课例

1、 这是两节在线教学条件下积极引领孩子从不同维度探索新知的课，两位老师精心设计了每一个环节。学生不仅学会了思考，而且经历了探索过程，把握了原理和特点，还感受到数学魅力，于冲突中点拨，于活动中感悟本质， 理解了新知的意义，为孩子们建立了初步的量感。
2、 从固体、液体、到气体，从薄的纸张到棉花、铁，从一维的长度到二维的面积再到三维的体积，以及面对圆锥体积探究时设计的的多种不同方法的转化，既有体积单位累计的本质体会，也有等积变形思想的感悟，将迁移的观念深植在孩子们心中。

3、这两节课使用了网上的一些资料和素材，但是当老师们更重视教教学内容，能从不同版本教材的视角不断地去琢磨，那么目标、活动甚至评价，便会水到渠成。

二、关于量感

1、重视度量单位的再创造；重视操作，更重视思维；重视联系生活与估测；
2、“基本量感重感知”，“衍生量感重推理”。
3、量感和数感同样重要，数感主要是数学抽象的结果，量的度量单位主要是实践的结果。大的度量单位，都需要借助具体事物用推算的方式间接建立，这里就有两个问题：一是起媒介作用的事物是否是学生熟悉的，特别是对其自身的单位（例如：自己占的空间、自己用的东西）是否有深刻感知？二是推算中关于数感的感知（推算中学生要运用数感，如：6块橡皮、10个学生的体积等）。简单说：一是媒介学生是否真有感，真熟悉？二是推算是否准确？所以，教学时，所举例子一定要具体可感，清晰描述，有助于学生准确建立表象。
4、 在即将颁布的新课标中，“量感”是新增的学科核心素养，而量感的培养，在新的课程改革中有较大的变化，是当下热点问题，也是老师们急需学习的问题。需要进行大量的文献阅读，深入学习，在此基础上再开展课例研磨。推荐史宁中教授的两篇文章《为什么要强调量感》，《小学数学中的度量》。

三、关于日常教学和课例研讨活动的开展

1、 日常的研修活动需要系统规划、精心设计，要形成研修范式。
2、 开展教研活动要聚焦主题，聚焦活动导引中的问题进行分析和思考。
3、 课例研讨就是课堂教学分析，理清课例的基本结构，记录学生在各环节中的表现，分析学生表现的相同和不同以及执教老师的教学处理。重点思考：在相同的任务下，学生不同的表现，背后的原因是什么？对我们的日常教学有怎样的启示？
4、 课例研讨要剖析执教者课堂行为及表象背后的理论支撑，更进一步的目的是达到观课者的内省——“以课思课”，即在深度观课中反思自己的课堂教学，从而触发教学行为的改进。

本次课例研讨活动圆满结束，以课例为载体进行主题研究还在进行中，虽然我们关于“量感”的研究刚刚开始，但以此为起点，渺小启程，也能花开万里。如徐老师所说“在教学实践中学、从教学实践中学、为教学实践而学”，让我们期待下一期的研修活动…… 编辑：杨刚 张丹

审核：徐红岩