三门峡市第三中学 单晓霞 <p class="ql-block"><span style="text-align: left;"> 在初中几何学习中，常会遇到与角平分线有关的问题，不少同学遇到这类问题时，不清楚怎样思考，导致思维受阻，解决问题失败。其实这类问题的解决思路是：明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。</span></p> 一、【题目呈现】 二、【题目剖析】 剖析1 <p class="ql-block"> 结合条件∠C=90°，AB=5，BC=3，以及勾股定理不难得到AC=4，同时要看到在中考备考中，勾股定理的考查不单独设题，一般随着其它问题的解决加以考查。</p> 剖析2 <p class="ql-block"> 结合条件∠ABC的平分线BD，不难想到角平分线结构，也就是遇到角平分线如何添加辅助线的问题。</p><p class="ql-block"> 有关角平分线的辅助线添加主要有以下四个方向：①图中有角平分线，可向两边作垂线。②图中有角平分线，可作平行等腰现。③图中有角平分线，作垂中间等腰现。④图中有角平分线，截长补短轴对称。</p> 剖析3 <p class="ql-block"> 综合所有条件，可以形成以下的几种解题方法</p> 三、【题目解析】 方法一 <p class="ql-block"> 方法透视：</p><p class="ql-block"> 三次使用勾股定理，一次使用角平分线的性质定理，一次使用方程思想，将几何问题代数化加以解决。</p> 方法二 <p class="ql-block"> 方法透视：</p><p class="ql-block"> 两次使用勾股定理，一次使用双平等腰，一次平行出相似、相似成比例，一次平行线分线段成比例，组合几何知识使得问题加以解决。当然也可以通过过点D作DN∥AB交BC于点N来解决问题。</p> 方法三 <p class="ql-block"> 方法透视：</p><p class="ql-block"> 两次使用勾股定理，一次使用双平等腰，一次平行出相似、相似成比例。此种方法辅助线的添加方式也是平行，与方法二不同的是，方法二添加的是边的平行线，这里添加的是角平分线的平行线，虽然形外添加平行线对部分学生是个挑战，但方法三的解题过程相对于方法二简便。</p> 四、【反思总结】 <p class="ql-block"> 1.三角形角平分线分对边所成的两条线段与夹这个角的两条边对应成比例。你能自己加以证明吗？若是外角平分线呢？若是把这些补充知识模块纳入我们的知识体系，是否有助于我们快速求出BD的长呢？相信只有通过平时练习的深研细究，才能提高解题效率，才能在考场上实现大题小做，难题巧做。</p><p class="ql-block"> 2.学生在数学的学习中一定要深度思考，通过一道道小题目去撬开这类题型的解题方法，只有这样才能真正掌握数学学习的真谛，才能达到举一反三的能力。</p> END <p class="ql-block" style="text-align: center;">作者：单晓霞</p><p class="ql-block" style="text-align: center;">编辑：董昱洁</p><p class="ql-block" style="text-align: center;">审核：张淑红</p>