【教育教学】初中数学思想和方法学法指导

洁

数学

思想

问题

解题

转化

分类

讨论

方法

结论

探索

作者：于秋伟

　　要学好数学，学会解题是关键。在进行解题的过程中，不仅需要加强必要的训练，还要掌握一定的数学思想及解题方法与技巧。

为什么要重视数学思想方法的学习？1、生活的需要；2、学生发展的需要；3、课标要求；4、高效课堂的需要。

一、数学思想方法在解题中的作用

　　基本题要练程序和速度；典型题尝试一题多解开发数学思维；最后要及时总结反思改错，交流学习好的解法和技巧。著名的数学教育家波利亚说“如果没有反思，就错过了解题的的一次重要而有意义的方面。”

作为教师在教学设计中要让学生解好数学问题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能更好地挖掘题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技巧，提高解题能力。

二、数学思想方法 1.函数与方程的思想

　　函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。

2.数形结合思想

　　数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即利用形的直观加深对数量关系的理解或利用数的抽象性加深对图形的认识，实现了抽象思维与形象思维的结合与转换。

3.分类讨论思想

　　所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再化零为整”的策略.

简单地说，把研究的对象，按照一定的标准，划分成为几种情况或几个部分，逐一进行研究和解决的方法叫做分类讨论法。

1.什么样的题会出现分类讨论思想？

往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。

2. 分类讨论需要注意什么？

关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。

3. 分类讨论中最容易错的是什么？

总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。

分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，需要全面考虑问题。

分类的原则：分类不重不漏。

分类的步骤：①确定讨论的对象及其范围；②确定分类讨论的分类标准；③按所分类别进行讨论；④归纳小结、综合得出结论。注意动态问题一定要先画动态图。

分类讨论思想的作用：1.可化繁就简，化难为易。2.可使思维有序、有条理。3.可使思维全面、缜密。

4 ．转化与化归思想

　　转化与化归是中学数学最基本的数学思想之一，数形结合的思想体现了数与形的转化；函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。

转化的原则：

①将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题；②将抽象的问题转为具体的和直观的问题；③将复杂的转为简单的问题；④将一般的转为特殊的问题；⑤将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。

转化与化归的指导思想：①把什么问题进行转化，即化归对象。②化归到何处去，即化归目标 。③如何进行化归，即化归方法 。化归与转化思想是一切数学思想方法的核心。

常见的转化方法有：

（ 1 ）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题 .

（ 2 ）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题 .

（ 3 ）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径 .

（ 4 ）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的 .

（ 5 ）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题 .

（ 6 ）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题 .

（ 7 ）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径

5.整体思想

　　整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理的思想方法。

6.类比联想

　　类比法，是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法。

三、中学数学新题型解题方法技巧 1. 数学探索题

　　探索是数学的生命线，解探索题是一种富有创造性的思维活动，一种数学形式的探索绝不是单一的思维方式的结果，而是多种思维方式的联系和渗透，这样可使学生在学习数学的过程中敢于质疑、提问、反思、推广。通过探索去经历数学发现、数学探究、数学创造的过程，体会创造带来的快乐。

①条件探索题：解答策略之一是将题设和结论视为已知，同时推理，在演绎的过程中寻找出相应所需的条件。

②结论探索题：通常指结论不确定不唯一，或结论需通过类比、引申、推广，或给出特例需通过归纳得出一般结论。可以先猜测再去证明；也可以寻求具体情况下的结论再证明；或直接演绎推证。

③规律探索题：实际就是探索多种解决问题的途径，制定多种解题的策略。

④活动型探索题：让学生参与一定的社会实践，在课内和课外的活动中，通过探究完成问题解决。

⑤推广型探索题：将一个简单的问题，加以推广，可产生新的结论，在初中教学中常见。如平行四边形的判定，就可以产生许多新的推广，一方面是自身的推广，一方面可以延伸到菱形和正方形中。

2. 数学情境题

　　情境题是以生活实际、故事、历史、游戏为背景，蕴含数学思想和方法于情境中的数学问题。这类问题往往生动有趣，激发学生强烈的研究动机，但同时数学情景题又有信息量大，开放性强的特点，因此需要学生能从场景中提炼出数学问题，同时经历了借助数学知识研究实际问题的数学化过程。

3. 数学开放题

　　数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种新题型，其特征是题目的条件不充分，或没有确定的结论，也正因为这样，所以开放题的解题策略往往也是多种多样的。

4. 数学建模题

　　初中数学建模题也可以看作是数学应用题。

数学新课程标准指出 : 要学生会应用所学知识解决实际问题 , 能适应社会日常生活和生产劳动的基本需要。从各省市的中考数学命题来看 , 也更关注学生灵活运用数学知识解决实际问题能力的考查 , 可以说培养学生解答应用题的能力是使学生能够运用所学数学知识解决实际问题的基本途径。

四、掌握解题策略提高学习效率

（1）认真分析问题，找解题准切入点。

（2）发挥想象力，借助图形出奇制胜。

（3）巧取特殊值，以简代繁。

（4）巧妙转换，过渡求解法。

　　综上所述，初中数学解题存在很强的灵活性。有的数学题不只一种解法，而有多种解法，有的数学题用常规方法解决不了，要用特殊方法。因此，解数学题要注意它的灵活性和技巧性。解题技巧在升学考试中至关重要，不能忽视。初中教师要注意对解题技巧的钻研，并鼓励学生发散思维，寻找解题技巧，提高解题效率，增强学习数学的能力和水平。

END

撰稿 | 于秋伟

排版 | 董昱洁

审核 | 张淑红