数学创新作业之正方体截面唐西初一14班李宇涵

素雅静斋

探究目的： 通过这样的数学探究活动，让我们经历操作观察、形成猜想、证明结论的数学探究活动过程，积累相关经验，有利于培养我们的直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养。 探究方法： 用一个平面截正方体，截面的形状将会是什么样的？给出截面图形的分类原则,找到截得这些形状截面的方法,画出这些截面的示意图。例如。可以按照截面图形的边数进行分类（如图） 知识要点： 生活中我们常常遇到几何体的截面问题，例如我们总知道一个球体的切面总会是一个圆面，一棵树的横切面会是一个圆面，倘若刀子下得斜了点儿，我们还可以得到椭圆面。那么作为常见的一种特殊情形，如果一块儿豆腐（当然你也可以想象成正方体形状的萝卜土豆种种），被我一刀切下去，所得的截面会是什么情形呢？要解决这个问题，首先是要对问题进行数学抽象，我们知道了物体的形状，在数学上可以认为是没有颜色、质量、密度等物理特性的几何体，也就是脑海中应该出现这样的正方体。 　　其实在往下看之前，最直观的方法还是建议我们在帮爸妈做做饭的同时自己动手切一切看看究竟有几种情形，这样更能够直观认识接下来李老师要讲的情形。探究过程：在确定并抽象出了数学模型——正方形之后，我们首要分析的就是截面的形状由什么决定，你一定能想出来一些特殊的情况， 比如…… 也能不费吹灰之力切出一个长方形。 　　当然，如果你肯动脑筋，这样的一个三角形也不在话下，轻松跃然纸上。 如果不小心切的时候没有恰好经过正方体的三个顶点呢？如果你不巧只经过一个，或者是故意只经过两个，那么哈哈，等腰三角形就一定会出现了（当然，在此第一种情况可以是一个任意的锐角三角形，不一定非得是等腰，至于为什么李老师可以这么说，请你先独立思考）其实讲到这儿，估计你已经渐渐发现了，直觉告诉我们，只要改变某一个或几个面与正方体的棱的交点的位置，我们即可切出不同类别的图形来。 接下来，我们试试看，还有没有其他情况，既然讨论了三角形，我们不妨按照边数递增的顺序，三角形的出现能够得到一般的锐角三角形、等腰三角形、等边三角形（甚至我们知道等边三角形的面积一定是我们所能得到的最大的三角形截面面积，为什么自己思考哇） 接下来我们增加边数，讨论四边形。一开始说的两种情况可以归纳为以下两张图，长方形和正方形其实说到底都是特殊的平行四边形，然而它们两兄弟未免有点儿太特殊了，我们不妨想想回归到两者还是个“宝宝”的时候，平行四边形？能不能得到更一般化的平行四边形呢？ 此四边形两点位于正方体顶点，两点位于正方体边长之中点，所以此四边形四个边都是二分之根号五的边长（现在你也许看不懂这个数，不着急慢慢来我们初二会学怎么算），而四角不相等，所以此四边形为菱形。呀，不仅仅得到了平行四边形，一下子还把另一个失散多年的小兄弟“菱形”也找到了。如果我想得到最最最平凡的平行四边形，想必你能猜到了吧，继续把两个中点向顶点方向相反交替移动相同距离即可！ 这下我们已经集齐全体四边形，可以召唤大家族啦！ 五边形的截取原理是，五边形截面是平面与正方体的五个表面产生交线，我们可以把六边形的两个角，拖得远一点儿……五边形完美解决。 六边各边取中点，连接，大功告成！还是正六边形呢！ 心得体会： 这是一个跨度很大的数学问题串，可以针对不同学生，设计不同的教学方式，通过多种方法实施探究。例如，可以通过切萝卜块观察，启发思路；也可以在透明的正方体盒子中注入有颜色的水，观察不同摆放位置、不同水量时的液体表面的形状；还可以借助信息技术直观快捷地展示各种可能的截面。但是，观察不能代替证明。探究的难点是分类找出所有可能的截面，并证明哪些形状的截面一定存在或一定不存在。可以鼓励学生通过操作观察，形成猜想，证明结论。经历这样逐渐深入的探究过程，有利于培养学生发现问题、分类讨论、作图表达、推理论证等能力，在具体情境中提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等素养，积累数学探究活动经验。