第七届高研班第三小组读书分享：《小学数学教材中的大道理》

明德惟馨

2022年2月4-21日，按照新世纪小学数学第七届高研班读书分享计划，第三小组成员按照组内计划，进行读书打卡活动。现将五位成员的读书分享呈现给大家。 写在前面：这是一本探讨小学数学中核心概念的文集。从2013年酝酿写原始文稿，到本书的问世，历时四年。文章对现行小学数学教材进行评论和建议，书中共28个课题，每个课题配以【原始文稿】【一线回声】【数方夜谈】三类文字，从不同侧面对小学数学的核心概念进行了深度剖析。 《小学数学教材中的大道理》课题1-5读书心得 宁夏灵武市第四小学孙小芳 用了20天左右的时间读了这本书，书的题目很吸引我，作为一线教师我们喜欢看这样和课本联系起来讲道理的书，书的形式同样吸引我，每个课题配以【原始文稿】【一线回声】【数方夜谈】三类文字，力求从不同侧面对小学数学核心概念作一点较为深度的剖析。从教十三年，差不多教了两轮学生，从农村到城镇，从第三版教材到第四版教材，从课堂到教研，我们的教学一直都是以“教材为本”，我们没有能力质疑和批判教材，教研时常听到这样的评价:教材这样安排一定有它的道理，那可是专家、教授，名师们实践编写出来的，读完这本书可能我们熟悉的教材，对我们今后的教学有新的认识和启发。我对第一部分关于“数”“文字”与“方程”进行了认真阅读，其中让我感受最深的是再次建议淡化“含有未知数的等式叫方程”这一课题。虽然听说会在小学教材里取消方程的学习，依然很想谈一谈看完后和教学相结合的一些想法。我们教学时通过用字母表示数为起始课，通过天平写含有未知数的等式后，将这些等式归类为方程，然后定义方程的概念，但是依然有很多学生不会判断哪一类的等式是方程，老师接着会剖析定义，符合两个要素，一个是含有未知数，一个是等式，用这样的方法会判断方程就行了。接着会学习解方程，解方程当成一种运算技能重复的练习，到解决问题时，有些学生不会用，有些学生不愿用，我也发现我的儿子在练习时只有题目要求才会用方程解答，不要求时坚决不用，我讲了用方程的好处，但是他认为算式直接能列为什么要这么繁琐的写那么多文字和解题过程，最终方程的概念和思想没有得到学生们认可。读了这个课题后，我想我们没有将教材的每一课联系起来，书中说到小学教材中一直沿用的“含有未知数的等式叫方程”是一个静态的描述，体现不出方程建模的动态过程，方程的模型是为了让人去解的，谈方程的概念一定要让学生感受方程的本质，而不是通过外表。所以要淡化“含有未知数的等式叫方程”这样的定义，书中的一些教学实例为我们诠释了这一点，在教学过程中情境创设后，通过运算来认识方程，感受未知数的意义，通过一些较复杂的等量关系，将算数方法的逆运算与方程的顺向思维进行对比，体会方程的核心价值。 追本溯源直指本质 ——《小学数学教材中的大道理》课题6-12读书心得福建省泉州市实验小学王明滨利用寒假时间，认真地阅读了《小学数学教材中的大道理》。其中第二部分课题6-12，隶属于数与代数的领域，主要涉及的是数的认识这部分的内容，作为一线教师，一直是教材忠实地执行者，解读教材意图，研究学生学情，再细心地组织教学，几乎是一成不变的教学模式。在阅读中，第一次跟作者站在审视教材的高度，与张奠宙教授一起思考教材和教学中存在的问题。作为一个有着一、二十年教学经历的老教师，在“原始文稿”、“一线回声”和“数方夜谈”的叙述中，找到了很多共鸣，也给我留下的很深刻的印象，现在谈一谈读完的几点体会：一、返璞归真，正本清源正本清源，从数的起源上，追溯数的意义，追寻知识的本质。例如课题8：分数是用来表示大小的，为什么要回避呢？其中提出由数扩张的数学本质来认识分数的意义。课题8同时也很好地解决了课题10假分数是怎么产生的？究竟为什么要学习分数?文中旁征博引“在数学上，这是问一个小于单位1的量怎么表示，由此引出分数（或小数）。这是分数教学的根本目标之一。例如，日本2008年颁布的《数学学习指导要领》就强调：分数是用于度量小于1的量。”从数产生的本源上进行追溯，同时融汇贯通分数与小数的知识，进行整体结构化的剖析，并且引用国际上其他国家的做法作为佐证，很好地解释分数与小数的产生过程，补充了教材没有明确的部分，对于课堂教学有很大的帮助。像这样的例子还有很多。课题12“比” 不能等同于除法，乍一看，有点困惑，跟自己原有的认知有点冲突。因为教材中描述：”两个数相除又叫做两人数的比。”感觉几乎把除法和比等同起来，后来读到“比，只是在求比值时才是除法。3：2可以只是一种状态，3÷2则是一种运算，二者在意义上不一样。”这才恍然大悟，同时也明白为什么平时大家在争议的一些问题的根源，例如，比值到底要不要写单位的问题。“两个同类量的比表示这两个量之间的倍数关系，两个不同类量的比可以表示一个新的量。”文中很明确地提出两种情况，并且指出什么情况下才需要写明单位。通过阅读把除法、分数、比有机地联系起来认识，找到它们的共性和各自产生的需求，一下子就豁然开朗起来。在教学中的很多困惑，就是因为对教学本质认识的不到位，不能整体地去把握教材，通过这次阅读解决了数的认识这一部分的很多疑问，把整数、分数、小数、比都统整起来，提纲挈领，有“提领顿，百毛顺”的感觉。二、与时俱进，推陈出新整本书的核心指向就是指出不足，这个不足既有教材编写的不足之处，也有教师教学和认知的不足。特别是近几年教研的热点问题，通过鞭辟入里的分析，提出建设性的建议，体现了与时俱进，推陈出新的理念。例如，假分数假在哪？这个问题在教学中一直困扰学生的一个问题，很多学生因为课堂上没有机会提出来而成为了学习的迷思。而假分数“假”在哪？是整节课研究最为核心的一个问题。张奠宙教授是怎么说的呢？“假分数是带着整数面具的真分数。把那个面具拿掉，就是一个真分数。因此，在脑子里把分数都当作真分数，也是可以的。”通过阅读后，我明白了假分数，假在哪？也就是为什么在表示大小的时候，我们更喜欢用带分数或整数来表示大小，因为带分数和整数的表示方法能更直观地看出数的大小。所以，假分数其实是整数或者带分数。理解了这一概念之后，就能更好地理解学生的学情和想法，有助于今后更好地进行这部分的课堂教学。除了对热点问题的研究，与时俱进推陈出新还体现在对数概念的理解。例如：谈分数定义的修改这部分内容，指出对分数意义和性质的定义因为是从英文fraction一词的意义翻译过来，存在全盘移植的缺陷，因此主张要突出分数是一种新的数，与数系扩张的数学本质联系一起。提出由数系扩张的数学本质学分数的初步认识。因此，只有认知到位，教学才能到位。总之，整本书，从小处入手，着眼于大的道理，是一本理论和实践相结合的，可操作性非常强的教学经典，值得一看再看。 遇见一本好书开启一段旅程——《小学数学教材中的大道理》课题13-16读书心得黑龙江省大庆市直属机关第三小学校单超近期，按照高研班及小组内制定的学习计划，我认真阅读学习了《小学数学教材中的大道理》一书，本书共有28个话题。首先，翻开目录，便被课题的观点吸引了，例如：用温度计引入负数，并不理想；“比”和“除”不可混为一谈等等。带着无比的好奇，翻开了书的第一页。书中，张奠宙教授帮助我们系统梳理了小学数学中的核心概念，指出日常教学中易混淆、易忽视之处，并且提出了合理的宝贵建议，对我们一线教师更合理的使用教材提供了很大的帮助。一、扩大知识面，扩充知识领域通过阅读学习，我对于度量衡制、除法的意义、除法与比之间的关系、面积等知识有了更为系统的认识。例如：通过课题1——度量衡制与国际接轨是历史大趋势一文中，借助大数的读法，让我明白了数学学习要与时俱进，也要与国际接轨。我们现在的读数是四位一级，而目前财务中都是三位一级，是按照国际通用方式，说明所学与所用并没有很好的接轨，张奠宙教授给出的建议是要作为阅读材料进行了解。时代在进步，所以还是需要在教育中首先引入国际概念，这是书中考虑的大的宏观的教育观念。另外，关于单位进率换算，学生总是混淆，通过本文的阅读，追本溯源，我终于明白了为什么质量单位间的进率是1000了。像这样的例子还有很多，例如除法分为平均分与包含除两种情况、用平移来定义平行并不妥当等等。通过阅读，使我们对于数学的本质有了更为深入的认识与学习。二、形式新颖，多元观点碰撞本书不仅仅是将张奠宙教授的发表文章进行集结，还组织了巩子坤、任敏龙一些专家、一线教研员及教师参与了本书的编写，由大家一起座谈，当面交流看法，再将座谈内容整理成文，这样谈话式的文本呈现，内容直奔主题，平铺直叙，大家从理论依据谈到教学实践，有时思想一致，有时“针锋相对”，使我看的十分入迷。书中的许多建议和观点，很好地为我们点亮了方向，让我们对数学思想，数学核心等，在教学上的具体应用有了明确的方向指导。三、评判性态度，提高读者心智让我收获最深的便是张奠宙教授具有批判性态度的系列评论，他大胆指出教材中仍存在的问题，打破了以往我们对于教材的认知。例如课题15中，以某版教科书小学六年级“位置”一课为例，张教授指出，按照课标的要求，其主要教学目标主要不在于用“数对”找位置，而是要为日后的平面直角坐标系提供直观的认识，但是很多教科书偏离了这一目标，都将教学设计停留在寻找第几排、第几座之类的生活常识上，对于起始点、如何标注方格纸上两个方向的刻度、规定数对的顺序、揭示其几何学的价值等几何学知识都避而不谈。张教授观点的提出，使我恍然大悟，这一节课我也曾经讲过公开课，但是竟然没有深深思考过学习数对是要为日后平面直角坐标系提供直观认识，认为只要认识了（列，行）就可以了，却忽略了原点、x轴、y轴方向的认识。再继续阅读，张教授给出了三步两问的解决策略，并在试学试教中验证了其可行性。这不禁让我反思，数学的学习如果被局限在生活，也会缺乏数学的高度。一本好书总能带给人很多思考，这本书里蕴含的教学道理，给我的收获也远不止这些，让我们享受读书的快乐，在快乐中共同成长。 《小学数学教材中的大道理》课题17-22读书心得北京怀柔区第一小学刘东红《小学数学教材中的大道理》这本书以案例、对话的形式展开，以现代数学观点与批判性视角对现行教材内容编排进行评述，指出日常教学中易混淆、易忽视之处，从理论与实践两个层面为一线教师理解教材、合理使用教材，以及改进教学提供可操作性建议。尤其是提供的可操作性建议，使教师有了方向，不再迷茫。一线教师很容易理解，对教学很有帮助。尤其是前言最后一段话给我很大的震撼。让我更加热爱数学，更加热爱我所从事的数学教育。前言中写到：中国在崛起，中国特色的数学教育也初见端倪，但是真正的数学教育学派还远未形成，任重道远。让我们以充分的教育自信，汲取国内外一切先进教育理念和实践经验，继续努力向前向前！我细读了课题17—22，这六个课题，是关于图形与几何的相关内容。从应该突出数学本质、实现直观到抽象的飞跃、数学概念之间需要融会贯通等主要观点进行阐述。有张奠宙老师对以上观点的解读，也有专家以对话形式进行分析，更有一线教师的实践研究。让读者从不清晰，到渐渐明白，从而用来指导自己的教学。课题17、18主要讲了测量的本质。长度、面积和体积是最基本的度量几何学概念。这三者除了图形的维度不同。作为一种测量过程其本质是一样的。测量，不仅仅是拿刻度尺去量测一条线段的长短（那属于物理学范畴），数学测量的本质是给每一条线段以合适的数。面积的教学，其核心是如何测量图形的大小，即如何给平面上的封闭图形一个恰当的数，能满足那三个条件。首先是有限可加性。其次是运动不变性。再次是正则性。图形测量是“图形与几何”领域的主要学习内容之一，肩负着从度量的角度来刻画图形、认识图形，发展学生空间观念的重任。度量的基础是两点间的距离，两点间的距离是由长度单位决定的。因而学生对长度的感知、对长度单位的认识是学生度量图形的基础。针对教材对比，提出三个观点：第一：情境学习要用问题驱动；第二：测量要有一定的操作规范；第三：基于学生的实际，选择合适的测量对象和测量工具，尽可能精确地表达测量结果。着重提出，精确测量和估计度量是两个不同的领域，需要严格区分。猜测的度量是建立在精确测量的基础之上的。“测量”单元的主题，必须突出精确测量。事实上，没有精度的估量，也可能是“胡量”。任何测量，放在第一位的要求是科学性，即要尽可能精确。每次测量都要对自己测量的数据负责，务求精准。这是一种基本的科学态度。我们要在教学中，培养学生认真严谨的科学态度。课题19、20重点讲了平面图形的运动。轴对称（翻折）、平移和旋转。平面图形的平移、旋转和翻折（轴对称）是最简单的几何运动，统称为刚体运动。刚体运动的重要特性是运动之后图形的形状和大小都保持不变，既不会放大或缩小、更不会变形走样。对于轴对称图形，更要明确指出这是平面图形的运动，不是立体图形的运动。所有的运动都有一个参照，平移是沿着某个方向平移，对称是沿着某条直线对称，轴对称一词指代两个概念。一是轴对称图形，指的是某个图形具有轴对称的性质，对称轴可以通过对折使对应的两边重合形成的折痕来找到；还有一个就是轴对称变换，指的是一个平面图形可以通过轴对称变换得到一个与它全等的图形。旋转是沿着某条射线旋转。在教学实践中，总结出旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。旋转运动的确需要一条射线。这条射线的意义不是要沿着它去旋转、去运动，而是在于指明旋转角度的起始线、0度线。有了它，可以分辨顺时针、逆时针，以及旋转的角度。学习平面图形的运动，主要是为平面几何中全等三角形的学习做准备，中学里定义两个三角形全等的，就是指一个三角形通过平移、旋转、翻折三种运动能够和另一个三角形重合。书中着重谈到：轴对称是平面图形运动，但照镜子不是。天安门是轴对称图形吗？轴对称图形按照定义只能是平面上的图形，因此，从正面拍摄的天安门照片才可以叫做轴对称图形。教材表述：呈现建筑物的正面照片，并说明“它们都是对称的”。后期处理，把它们画下来可以得到下面的图形，从而引出轴对称图形之后，呈现了更多古今中外对称的著名建筑。有意区分立体和平面，避免了正面拍摄的建筑照片所产生的歧义。可以学习借鉴张齐华老师和刘德武老师的轴对称图形一课。课题21、22，重点讲了理清概念之间的关系，要融会贯通。图形与几何中的一些概念的表述。关于线段与直线的关系：直线是小学数学里遇到的一个超经验的概念。教材上强调实物比喻，不如进一步说：“铁轨的长度毕竟是有限的，让我们运用想象力，想象无限延长着的直线。” “两条线段互相垂直或平行，就是指这两条线段所在的直线互相垂直或平行。”关于角与角的度量要及时推出：为什么出现线段之后就立刻介绍线段的度量，而在角的定义出现之后，不能立即出现“角的度量”内容呢？角的度量是几何学的基础，需要尽量提前。角度与方向的密切关联：将方向与角度“联结”起来，使“方向”得以数量化，是几何学的重要一环。借助“活动角”这一基本数学活动经验，可以写这样一段话：角可以看成是线段绕它的某个端点旋转所形成的图形。旋转产生的图形，其开口由小变大。开口大，就是角大。史宁中教授也认为用射线定义角不好，也是用线段定义角：“角由两条线段所夹的部分组成，这两条线段的一个端点重合。角的大小与边长无关。”P313页大小鳄鱼张嘴，不如改为超级大鳄鱼张小嘴，小鸟张大嘴，再比较谁的嘴张得更开。《几何原本》中，对于角的本质说得很清楚：两条直线相交，如果不重合的话，一条直线相对于另一条直线的倾斜程度叫角。其实，角说的是那个倾斜程度。一点引出的两条射线构成的图形叫角，没有揭示角的本质；一条直线相对于另一条直线的倾斜度，才是角的本质。小学阶段的图形与几何领域在编排上呈现出了三个主要特点：一是概念数量多，分布广。在小学图形与几何领域中，大概有五十个概念分布于图形认识、图形测量、图形运动及图形位置等各个方面，概括地说有“五线”（直线、射线、线段、平行线和垂线），“五角”（锐角、直角、钝角、平角和周角），“六形”（长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形和圆形）和“四体”（长方体、正方体、圆柱体和圆锥体）。二是螺旋上升，渐进发展。三是概念之间相互关联，具有较强的结构性。通过这部分的学习，使我对数学本质有了较深刻的理解，在教学中认真思考每个单元的核心概念是什么，怎样在教学中突出数学的本质。加深了对测量、图形运动、角的认识等相关知识理解，对其中一些概念有了更加清晰的认识，受益匪浅。 对教学严谨对学生负责——《小学数学教材中的大道理》课题23-28读书心得内蒙古包头市东河区牛桥街小学刘卉一本探讨小学数学核心概念的文集，一本深入浅出适宜我们教学一线老师的案头书。直面教学中的两个基本问题——“教什么”和“怎么教”，以现代数学观点与批判性视角对现行教材内容编排进行评述，系统梳理了小学数学中的核心概念，指出日常教学中易混淆、易忽视之处，为一线教师理解核心概念和数学本质、合理使用教材、改进教学提供了宝贵建议。一、简要概述第四部分课题23～28的主要内容课题23，结合“找规律”，提示不要习惯性的将答案聚焦唯一，而更多地让其呈现开放，做到“混而不错”，为后续学习留下发展空间。课题24，结合“分类”，明析科学分类方法有两个序列，纵向的按等级排列，套筒式的一级包含一级，称之为等级分类（分层），如数系分类；横向的则是同一等级里的不同类别，依照不重不漏的原则分类，称之为并列分类（分类），如三角形按角分类。课题25，结合“维度”，提示应与时俱进，不与时代脱节，天天扫条形码、二维码，看3D电影，使用3D打印……生活在三维空间中，使用着好多二维、一维的东西，应指出不同维度的区别。因为我们生活的空间有上下、左右、前后三个维度，所以称为三维空间。人人都有上下左右前后的方位感，一个图形，如果只有一个方向，就是一维的，如直线；如果只有两个方向，就是二维的，如长方形，有三个方向就是三维的，如长方体。课题26，结合“抽屉原理”，说明数学中有存在性定理和构造性定理，抽屉原理属于存在性定理，鸡兔同笼属于构造性定理。中国古典诗词，贾岛的诗作《寻隐者不遇》，“松下问童子，言师采药去，只在此山中，云深不知处”，就是关于存在性数学命题的人文意境，可有助于理解抽屉原理。抽屉原理，用逻辑推理方法理解比穷举法有效，但两种方法都要出现，穷举法展示过程比较清晰，可辅助理解“总有”、“至少”两个词语的意义，逻辑推理可体现简洁有效。抽屉原理也可以用反证法论证，总有某个抽屉里至少有2个苹果的反面是每个抽屉里都少于2个苹果。课题27，结合“数学文化”，说明与单元整体教学设计一样，数学文化内容也要整体设计，需要扩大文化视野，关注人类文明的全景及其相应的数学文明特征；中国古代数学文明出现比较晚，但是独立发展，有自己的特点，是世界上唯一能够传承到今天的数学文明，应该全面、准确的进行介绍。要从中国的视角看世界，也要从世界的视角看中国。课题28，结合“概率”，力求理论概率和经验概率相结合，理论概率是由等可能性分析得出的唯一的概率，是计算出来的概率；经验概率是活动得出的频率，频率是概率的近似值，不唯一，经常会变化。等可能性分析是人类与生俱来的理性思维能力。小学生的概率学习应该在直觉的概率意识之上。没有办法给出理论概率，就用经验概率，如射击运动员击中靶心的概率。在理论概率和经验概率都解决不了问题的时候，主观概率是一种不可或缺的方法，如降水概率。理论概率和经验概率在小学里都要出现，但是具体的做法有所不同。二、我的感受关键词1：对教学严谨严谨，这是我阅读后的最大感受。数学是最严谨的一门科学。教材的编写要严谨，教师学的要严谨、教的更要严谨。作为教师需不断提升学科素养，对于数学本身的理解如果缺乏足够的深度，就会导致我们的数学教学走向“浅表化”。小学不“小”，背后学问很“大”，发展空间很“大”。小学数学教材里的数学知识不可能是严密的，但是教师应当知道它们的逻辑结构，领会现代数学的思想，比较准确的把握数学本质。要真正读懂教材中的数学背景、内涵、意图，力求自然地将教材的内涵转化为教学活动，表达严谨，不思维定势，鼓励多角度思考，助力学生可持续发展，从而获得更好的数学素养。关键词2：对学生负责教学在当下，着眼要长远。让学生知道“原来我们今天学习的数学只是未来数学学习的一部分”。要有与时俱进的发展眼光，要讲好小学教材当中的大道理。当教师把握了数学本质，教学中才能做到“精中求简”。唯有做好精中求简的研究才能真正提高教学质量与效果，才能使得基础数学易学、好懂、能懂、会用，从而减轻学生的负担。关键词3：实践中成长作为一名普通教师，我们阅读先生的文章后最重要的就是要将先生的指点融入我们的教学实践中去。行动起来，实践中师生共成长。