圆台表面积及体积探究

郑殿尧

首先让我们来认识一下什么是圆台吧。

我们之前已经学习了圆锥体的体积和表面积，让我们来看看，圆锥体和圆台有什么关系吧。

从上图我们可以看出，圆台体可以看做成一个大圆锥体，然后被切开成两部分，一个圆台，一个小圆锥体，从而可以得出以下结论:

圆台的体积=大圆锥体的体积-小圆锥体体积

对于圆台的表面积，我们可以看出，就是上底面面积+下底面面积+侧面面积，上下两个底面都是圆，面积我们可以求出，而侧面积就是大圆锥侧面展开的扇形面积-小圆锥侧面展开的扇形面积。

圆台的表面积公式：

假设: r－上底半径、R－下底半径、h－高、l—母线

则其侧面展开图是一个扇环，小扇形的弧长为2πr，大扇形的弧长为2πR。

设小扇形的半径为x，则大扇形的半径为x+l，则x/(x+l)=r/R，Rx=r(x+l)。

所以：

S圆台侧＝S大扇形 －S小扇形

=πR(x+l)-πrx

=πRx+πRl -πrx

=πr(x+l)+πRl -πrx

=π(R+r)l。

最后得出:

S圆台表面积=πr²+πR²+πRl+πrl

=π(r²+R²+Rl+rl)。

圆台的体积公式：

假设: r－上底半径、R－下底半径、h－高、l—母线、

设小圆锥高度为x，则大圆锥高度为x+h，

则x/(x+h)=r/R，Rx=r(x+h)。

大圆锥体积=1/3πR²(x+h)

小圆锥体积=1/3πr²x

所以：

V圆台=V大圆锥 －V小圆锥

=1/3πR²(x+h)-1/3πr²x

=1/3πR²x+1/3πR²h-1/3πr²x

=1/3πh(r²+R²+rR)