<h1>细心认真训练提高统筹能力<br data-filtered="filtered">——一道数论题的解答和感悟<br data-filtered="filtered">汪金明<br data-filtered="filtered">2021年12月17日<br data-filtered="filtered"><br data-filtered="filtered"><b>题目</b><br data-filtered="filtered">现在是2021年12月。请问在1~2021中，恰好有12个因数的自然数有（ ）个。<br data-filtered="filtered"><b>解答</b><br data-filtered="filtered">设a、b、c为三个质数，则组成恰好有12个因数的自然数有三种情况：只有一个质因数（这个质因数的11次方）的数，只有两个不同质因数的数，只有三个不同质因数的数。<br data-filtered="filtered">一、把200以内的质数从小到大每10个分一组：<br data-filtered="filtered">第一组：2 、3 、5 、7 ， 11 、13、 17、 19、 23 、29 ； <br data-filtered="filtered"> 第二组：31 、37、 41 、43 、47、 53、 59、 61、 67、 71 ； <br data-filtered="filtered">第三组：73、 79 、83、 89、 97、 101、 103 、107、 109 、113；<br data-filtered="filtered">第四组：127 、131 、137 、139 、149 、151、 157、 163 、167 、173 ； <br data-filtered="filtered">第五组： 179 、181 、191、 193 、197、 199。<br data-filtered="filtered">因为2021÷（2×2×3）≈168.42，所以，167后面的质数都不用考虑。<div><br data-filtered="filtered"></div><div><br data-filtered="filtered"></div></h1> <h1>（二）第二种情况，只有两个不同质因数的数。<br>1、两个不同的质因数都是一位数质数。</h1> <h1>计：9个。</h1> <h1>小计15个<br>2、两个不同的质因数一个是一位数质数，一个是两位数质数。</h1> <h1>计：2+14=16<br>15+16=31（个）<br>只有两个质因数的数有31个</h1><h1>（三）第三种情况，只有三个不同质因数的数。<div>可用代数式表示为：<br></div></h1> <h1>第三种情况共有三种形式。<div>下面分三种形式分析、解答。<br>1、第一种形式，a、b、c三个都是一位数质数。<br>第一种形式合计：4×3=12（个）<br>2、第二种形式，a、b、c中两个是一位数质数，一个是两位数或三位数质数。这种情况有两类，第一类，二次方的底数是某一个一位数质数；第二类，二次方的底数是两位数质数。<br><h1>（1）第一类，二次方的底数是一个一位数质数，共有12种基本形式。<br>2021÷（2×2×3）<169 （35个） </h1><h1>2021÷（2×3×3）<113（25个）<br> 2021÷（2×2×5）<102 （22个） </h1><h1>2021÷（2×5×5）<41（8个）<br> 2021÷（2×2×7）< 73 （16个） </h1><h1>2021÷（2×7×7）<21（4个）</h1><h1>2021÷（3×3×5）< 45 （10个） </h1><h1>2021÷（3×5×5）<27（5个）<br>2021÷（3×3×7）< 33 （7个） </h1><h1>2021÷（3×7×7）<14（2个）<br>2021÷（5×5×7）< 12 （1个） </h1><h1> 2021÷（5×7×7）<9 （无）<br>第一类小计：35+25+22+8+16+4+10+5+7+2+1=135（个）<br>（2）第二类，二次方的底数是两位数质数。<br>11×11=121 13×13=169 17×17=289 <br>19×19=361（361>337不考虑）<br>2021÷（2×3）<337 （3个）</h1><h1>2021÷（2×5）<203 （2个）<br>2021÷（2×7）<145 （1个） </h1><h1>2021÷（3×5）<135 （1个）<br>2021÷（3×7）<97 （无） </h1><h1>2021÷（5×7）<58（无）</h1><h1></h1><h1>第二类小计：3+2+1+1=7（个）<br>第二种形式合计：135+7=142（个）</h1>3、第三种形式，一个是一位数质数而且这个一位数质数是二次方的底数，两个是两位数质数。<br>因为2021÷25<81 2021÷49<42，两个两位数质数的乘积大于100.所以，这种情况只有两种形式，即，一位数质数只能是2或3，不能是5和7.<br>2021÷4<506 2021÷9<225 <br>506÷11 =46 （9个） </div><div>506÷13<39 （6个）<br>506÷17 <30 （3个） </div><div>506÷19= < 27 （1个） <br>506÷23=22 （无）<br>计：9+6+3+1=19（个）<br>（2）一位数质数是3。<br>225÷11 <21 （3个） 225÷13<18（1个）<br>计：3+1=4（个）<br>第三种形式小计：19+4=23（个）<br>第三种情况合计：12+142+23=177（个）<br>三种情况总计：31+177=208（个）<br>答：在1~2021中，恰好有12个因数的自然数有 208个。</div></h1><h1><br><br></h1><h1><br></h1> <h1><b>解答说明</b><br>一、解答本题要运用到一个重要的知识点，就是求合数因数个数的公式。我们把一个合数分解质因数，每个质因数的指数加一相乘的积就是这个合数的因数个数。一定要理解这个公式。<br>下面举例说明这个公式的意义。<br></h1> <h1>二、“一、把200以内的质数从小到大每10个分一组”的目的是为后面分类计数时更加方便快捷；<br>三、解答（二）.2中“2021÷32<64（有14个）”是指32与小于64的两位数质数分别相乘都会得到一个符合题目要求的数，小于64的两位数质数共有14个，所以就能得到14个符合题目要求的数；<br>四、解答（三）.2.（1）中<br>“2021÷（2×2×3）<169 （35个）”是指12（2×2×3=12）与小于169的所有两位数质数相乘都会分别得到一个符合题目要求的数，小于169的两位数质数共有35个，所以就能得到35个符合题目要求的数；<br>五、凡是等式后面的括号里标明“几个”的，意义和“解答说明”中的“二”、“三”类同。<br><div><b>感悟</b><br>一、做这类题目不能心急，心情要安定，认真细心去做，才能分类清楚，层次井然。这样思路清晰、有条不紊地去解答，就不会遗漏，正确率高。解答这类题，可以锻炼、提高我们认真细心的品质。<br>二、做这类题目确实是感觉有点繁琐，但并不是徒费时间而没有意义。它能训练、提高我们的统筹能力，我们细心、认真筹划安排好我们的工作、活动、任务，努力做到筹划安排得有条理、科学、合理，那么，完成起来效率就会提高。我们一定要懂得把工作、活动、任务筹划安排好的重要性。<br></div></h1> <h1></h1>