“数位”、 “位值”、“十进制”的初体验

莫若菲

数来源于对数量本质的抽象，数量的本质是多与少，因此数字就是那些能够由小到大进行排列的符号。这个抽象过程经历了计数和符号两个阶段。能够形成十进制计数系统是人类的重大进步，其核心是10个符号，加上位数准则。为了讨论数的表示，就必须先讨论数量的本质，因为数是对数量的抽象，而抽象的核心工作是对本质的提炼和刻画 （一）数量的本质 数量的本质应该是多与少。人类对数量多少的感知可能比语言的形成还要早，但是人类能够从数量的多少中抽象出数的概念，却是非常不容易的。 （二）十进制计数系统的抽象过程分析从人类的发展历程来分析，十进制计数系统的抽象过程经，历了计数、符号两个层次的抽象。 第一步抽象：计数 大多数的文明很早就会计数了，但是数字符号的发明可能要比文字符号的发明更晚一些。 第二步：符号符号的表达必须摆脱具体内容。否则这种表达将不具有一般性，在这种表述基础上的计算和推理也将不具有普适性。因此，数字符号后面不能有名数，需要完全脱离具体的背景，否则不可能一般的建立起关于“多少”的概念……另一方面从“多少”这一基本概念出发，可以自然地推导出这样一个事实：在一些东西上再加一些东西要比原来的“多”，如果数字符号后面缀有名数，则很难表现出这一事实……因此，数字符号只能是一些表示数量多少的符号，除了多少以外没有任何具体的含义，而每一个具体的事件都是这种表示的特例。 把那些所有表示数量的符号放在一起，则得到了一个集合。我们称这个集合为“数集”。从上面的推断可以知道，这个数集中的符号之间至少要满足一种关系，那便是“多少”，或者称之为“大小”。为了做到这一点，就必须在这个数集中定义一个“序”的关系，我们可以称之为“大于”。那么，数集中的任何两个符号之间都必须满足这种序关系。 a和b是数集中的两个符号则不是a大于b就是b大于a;如果a大于b同时b也大于a，则表示同一个号，即a和b相等。显然，十进制的数字的集合满足这种序关系。这样，我们便完成了对于数字符号的抽象:数字是那些能够由小到大进行排列的符号。 关键点一：进位因为数量可以无限制得多，于是数字符号也应当是无穷无尽的，我们将遇到一个天大的难题:必须用无穷多个符号来表示所有的数字。聪明的人类发明了进位，有些符号可以重复使用了。如果计数规则是十进制，那么，除了一到九的符号外，再创造出十进位基数的符号:在中国是十、百、千;在古罗马相应的是xC、M等。请注意到，在这个符号系统中。五十并不是指50，而是指五个十;三万也不是指30000，而是指三个一万。因此，这是一个由语言符号系统向完全数字符号系统的过渡的符号系统，可以称为准数字符号系统… 关键点二:位数。现在只需要再进行一个小小的创造，但是为了这个小小的创造，人类用了几个世纪。这个创造就是位数准则:数字符号在不同的“位”表示基数不同的量。可以回想我们的祖先发明的算盘，在算盘中，同样多的珠在不同的位置表示的量是不同的:两个珠在个位表示二，在十位表示二十。多么巧妙的设计!可是，如何通过数字符号来表达这个功能呢?可以看到，这就像算中的空档一样，只需要再发明一个符号:零。 “零”是印度人发明的，用sunya表示，原意为“空”……在数字符号系统中加上0，一个有效并且简捷的十进制数字符号系统就建立起来了:10个符号加上位数准则。 后来阿拉伯人把这个数字符号系统带到了欧洲，于是这个数字符号系统在欧洲也流行起来，那已经是公元10世纪以后的事情了。现在人们仍然称这个数字符号系统为阿拉伯数字。意大利数学家斐波那契是第一个著书向欧洲人介绍印度的十进制的……马克思终生喜爱研究数学，在《数学手稿》中他称赞十进制计数法是“最妙的发明之一”…… 人类从数量的多少中抽象出数的概念，并且用10个符号来表示，这不仅是对于数学，即便是对于人类文明的发展的贡献也都是巨大。同时，这些符号的出现也是自然的，是合情合理的，于是，人们称这个符号系统为自然数集（正整数），我们用N表示自然数集。 果然，对于一年级的孩子们，11~20各数的认识，是学生认识两位数的起始阶段，也是学习十进位值制计数法的启蒙阶段。本单元在他们整个数学的学习过程中有着举足轻重的单位，作为老师，只觉得任重而道远…… 数数 突出计数单位“十”通过小朋友们在杂乱无章的主题图中用自己喜欢的方法，看谁把积木块等物体的个数又快又准数出来的直观操作，对比各种不同方法的优劣：2个，2个地数；5个5个地数；8个8个数；10个10个地数……一次又一次数数的体验中初步感受计数单位越大，数得越快。 结合捆小棒的过程理解：1个“十”就是10个“一”，10根捆起来变成1个“十”，解开捆绑，又变成10根小棒，也就是10个“一”。不管“打捆”或是“解绑”，小棒的个数没有多没有少，所以1个“十”和10个“一”是等价的。我们把散乱的小棒整理成整捆的和单根的：10个为一捆，“一捆”就是1个“十”。这样，通过观察，从10接着往上数就能立马得出正确结果，达到一眼就能看出小棒个数的效果。在数的过程中知道：1个十和1个一合起来是十一，十几就是1个十和几个一组成。在数小棒图的情境中，让学生经历从11数到20的过程，在数的过程中观察到每一个数字都是由一捆（1个十）和几根（几个一）组成的。重点演绎对20根小棒的处理：19根小棒由一捆和9根组成，再添上一根就是10根，为了方便计数，遇到满10根的，就捆成一捆，变成1个十，多了1个十，变成2个十，渗透“满十进一”的思想。把“捆”换成计数单位“十”，把“根”换成“一”，有几捆就是几个十，有几根就是几个一。引出数位 数位计数器右起第一个档叫个位，右起第二档叫十位，十位上一颗珠子表示有一个十，个位上有几个珠就表示有几个一，合起来就是十几。整捆小棒对应“十位”，单根小棒对应“个位”，渗透位值制的含义：十位上的数表示几个十，个位上的数表示几个一。小棒与计数器演示对比中抽象出“数位”：从右边起第一位是个位，第二位是十位。有1个十在十位写1,有2个十在十位写2。有几个一在个位写几。对比“11”两个“1”表示是否相同，强化位值理解。 十进制 计数器播珠演示从1拨到9，观察再添一个就是满十个，有“10个一”，把它们捆成一捆变成“1个十”，个位清零，挪十位上，十位加一颗珠子表示1个十，即10；从11拨到19，再添一颗珠子个位又“满十个”，捆成一捆变成1个十，个位清零，挪到十位上，十位上多拨一颗珠子，变成两个十，即20。 10加几及20以内不退位减法口算数出10,再数出几，就是十几的数数经验抽象为"十加几就是十几"10以内的口算遇到困难学生还能掰手指头算，可是到了20以内的，就有一定困难了：诸如15＋4= ，18-4= 这样的题目，猛地数字一大，部分孩子有点摸不着头脑；其实此类题目的出现重点在于通过运算深化学生对11~20各数的认识：认识加减法算式中每一部分的名称，感悟十几就是十加几，理解十几里面有1个十和几个“一”；而非运算方法的教学：在操作中以数的组成为基础进行口算。不好理解的过程就用小棒摆或动笔画，既然超过了10，就先摆上一捆小棒，单根的一根根摆出来，或添加，或拿走……摆得多了，画得多了，终究会悟出来一个道理：有一捆小棒总是静静地躺在那里不动声色，进行运算的就是单根小棒的添加或去掉。摆得多了，画得多了，小棒和图形也就扎根于脑海深处，直观表象一旦建立，接下来就只是速度的比拼了…… 作为整个数学的学习基础，20以内数的认识教学以“看得见”的多种直观呈现方式，在学习数学的起步阶段对接一年级学生已有经验，把学生对数学懵懂朦胧的感性认识巩固升华:孩子们能够“理得顺”知识的来龙去脉，能够用语言（图解、符号、文字、演示）将学习和思考“说得清”，慢慢“悟得透”数学是怎么回事，数学学习是怎么回事…… 漫长的铺垫……课堂上布置了一项梳理反馈作业：1.任选两个数字，看到数字你能想到哪些与它想关的知识呢？写一写，画一画2.在数位表里随意写一个数字，能把它的组成表达出来吗？试试看3.出一个题考考老师吧？学习过后孩子们心中留下了哪些印记呢？又能带给老师什么样的启示？一起看一看吧？ 教育，除了增进人的知识与技能，发展人的智力与体力以外，更深层次则是影响人的思想观念。如德国哲学家雅斯贝尔斯所说：“教育的本质意味着：一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂。”非常优美，非常诗意。他告诉我们的是一个重要的概念：教育真正的价值是一种启蒙，一种唤醒，一种打开，一种点燃，一种开悟，一种得道…… 一起加油吧！