2021年惠济区中小学作业设计优秀案例推介一（初中数学）

惠济教研

学生

数学

相似

作业

能力

知识

三角形

问题

实践

设计

　　北师大版九年级上册第四章《图形的相似》作业设计惠济六中刘峡、杨艳霞、苏静、崔灵恩、赵敏、张盼盼。

一、单元作业概况

根据数学课程标准对数学学科的要求，在细化解读初中数学学科课程标准，深入理解数学学科核心素养的基础上，提炼概括单元大概念，结合学生的认知发展水平，梳理了九年级数学上册第四章《图形的相似》的知识内容，将知识进行整合归类，科学设定学习目标，通过改编、原创等命题方法，精心设计本章单元复习课后作业。题目设计以实际问题情境为载体，题型多样，灵活性较强，注重实践性和创新性。

作业共分为三个层次：基础巩固题、综合应用题和综合实践创新题。基础巩固题主要考查本章基础知识：相似三角形的判定、相似三角形的性质及位似图形的性质，注重发展学生的推理能力，关注学生分析问题、解决实际问题的能力；综合应用题主要考查相似三角形与其他学科知识的综合应用，注重数学思想方法的渗透，提高学生的应用意识并加强学生对跨学科知识间的联系的重视；综合实践创新题通过设计方案的问题提高学生的实践能力和创新能力。

二、案例正文

（一）学科核心素养细化

1.课程标准要求：

对于北师大版九年级上册第四章《图形的相似》课程标准内容给出了以下要求：

　　2.单元学习目标：

单元大概念：相似是指两个图形边角之间的一种特殊数量关系。

课标的指引下，在围绕教材内容，结合学情，以“探索、发现、确认、证明图形性质”为主线，培养学生建立空间观念，培养几何直观，发展推理能力为总目的，设置以下4条目标：

(1)在具体问题情境中探索并归纳比例的基本性质、线段的比、成比例线段的概念，逐步培养学生数学抽象能力；在方格纸中，通过测量、计算等活动了解平行线分线段成比例，能利用平行线分线段成比例求线段的长，不断加强学生逻辑推理能力和数学运算能力。

(2)通过具体实例认识图形的相似和位似图形，探索其相关概念和性质，通过说理，逐步培养学生逻辑推理能力；能利用位似的性质将一个图形放大或缩小，会利用图形的相似解决一些简单的实际问题，在研究图形变化与坐标变化的过程中，发展学生直观想象的能力。

(3)探索并归纳相似三角形的判定定理，综合运用三角形相似的判定定理和性质定理解决问题，在说理的过程中，进一步强化推理过程表述的逻辑性；通过测量旗杆的高度，将实际问题抽象成数学问题，在解决问题的过程中培养学生数学建模的能力和应用意识。

(4)通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割，能分享生活中黄金分割的例子，在应用黄金分割解决实际问题的过程中，逐步发展学生的应用意识、建模意识和逻辑推理能力。

（二）单元大概念架构：

1.知识结构体系

　　2.思维提升及学科素养培养

　　3.教学评一体化系统

　　（三）整体教学流程透视

1.课时安排：教材中本单元共设置了8节课17课时，其中第5节《相似三角形的判定定理的证明》3课时带*不作要求，去掉总复习1课时，共有13课时。本章与生活密切结合，所以将本章内容稍作调整，在省去第5节的基础上，添加“活动探究和综合实践”，并将原第6节《利用相似三角形测高》调整到综合实践部分。整合后共计8节课，15课时。

　　2.教学流程：本章的15课时按照学习内容分为概念学习、证明推理和活动探究三个主题，对于不同的主题，学习活动安排如下：

　　3.教学活动：本章活动设计以“形”为载体，通过观察、测量、计算等活动探究相似图形的性质，得出结论，构建出“数”的问题，克服了就“形”论“形”的局限，既有利于学生通过“形”的直观感知，加深对“数”的认识，通过数来刻画形的特点及平面图形之间的相似关系，又进一步渗透了数形结合的数学思想。之后应用探究所得解决生活中的问题，感受学习相似三角形知识的必要性，在这个学习的过程中，提高了学生的几何直观和推理能力，也逐步培养了学生的模型观念和创新意识，并在学习探究的过程中不断积累发现问题，提出问题，抽象出数学问题，建构数学模型，综合运用所学知识解决问题的活动经验。

新知探究环节是一节课的重要组成部分，这部分教学活动主要围绕教师的有效组织和学生的自主学习开展，不同的课型有不同的方案设计，大致活动设计如下：

　　4.思维进阶：在学习的过程中，学生思维能力表现如下：

　　（四）作业具体内容设计

【基础巩固】

1.数学课上，老师讲解“相似三角形”之后，老师给聪聪出了这样一道题：“如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BA延长线上一点，CE与AD相交于F.与△EBC相似的三角形有( )（写出一个即可），依据是 ( ) 。

　　设计意图：本题基于实际问题情境，以贴近学生生活的问题为切入点考查相似三角形的判定方法。答案具有一定的开放性，关注学生文字语言与图形语言之间的转换能力，鼓励学生发散思维。在审题、分析题意、结合图形解决问题的过程中，培养学生的逻辑推理能力。

2.体育课时，聪聪同学跳起来把一个排球打在离地2m远的地上，然后反弹碰到墙上，他跳起击球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的距离是6m，若球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？

　　变式：若已知BD：BO=3:1，则CD的长度为 ( ) 。

设计意图：本题主要考查相似三角形的判定及性质。要求学生能从生活问题中抽象出图形相似的问题，通过分析相似三角形中的数量关系建构方程模型解决实际问题，关注学生分析问题的能力和数形结合能力，培养学生几何直观能力和应用意识，强化学生逻辑推理能力和数学运算能力。

3.晚上回家，聪聪坐在书桌前写作业，书桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成圆形（如图所示）。已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米.若灯泡离地面3米，求地面上阴影部分的面积？

　　设计意图：本题主要考查位似图形的性质。要求学生能从具体情境中抽象出位似图形，将实际问题转化为数学问题，关注学生解决实际问题的能力，培养学生应用意识和模型思想，发展学生的抽象能力和数学运算能力。

【综合应用】

4.聪聪参加的数学兴趣小组在阅读数学史时发现这样一则故事：大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验（如图1）．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课中，在学习《光的直线传播》的时候通过实验探究发现小孔成像有以下结论：结论1：当物距等于像距时，呈倒立等大实像；结论2：当物距小于像距时，呈倒立放大的实像；结论3：当物距大于像距时，呈倒立缩小的实像。数学兴趣小组发现利用数学知识可以解释以上问题。

　　（1）如图1，利用数学中所学的哪个知识点可以解释结论“影与物一样长”的正确性：( ) 。

（2）如图3，若像距是物距的2倍，则像的高度CD和蜡烛高度AB的关系：( ) 。

（3）如图3，请用数学知识证明第 （2）问结论2的正确性。

（4）如图4，当物距大于像距时，一支燃着的蜡烛高27cm，通过移动蜡烛的位置，若想让蜡烛的像高是9cm，我们需要如何操作？

设计意图：本题主要借用物理中小孔成像实验结论，考查学生对相似三角形的性质和判定的综合应用，体现跨学科之间的联系，能用相似三角形的知识建立数学模型解释现实生活问题，提高学生的应用意识，要求学生有较强的数学阅读理解能力作为支撑。数学思想方法上，注重类比思想和数形结合思想的运用，培养学生的几何直观和数学建模思想。

【综合实践】

5.数学兴趣小组还发现：在人体下半身与身高的比例上，越接0.618，越给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美。请为自己的妈妈设计一双高跟鞋，让妈妈的身材比例看起来更接近黄金分割比。

设计意图：本题以“为妈妈设计高跟鞋”问题为载体，考查黄金分割和黄金比的概念，感受数学文化与数学美；锻炼学生的动手实践能力，提高学生的审美意识，渗透人文教育。

6.周一升旗时，数学兴趣小组的同学突然产生了一种想法，想要知道学校旗杆的高度，于是他们来到旗杆前面，聪聪问：“这个旗杆有多高呢？”请你利用数学知识，设计一种方案测量学校旗杆的高度 (画出示意图)，并说明理由。

　　设计意图：本题通过实际测量旗杆的高度，综合运用三角形相似的判定定理和相似三角形的定义解决问题，加深对相似三角形的理解和认识；在小组合作活动过程中，积累数学活动经验，锻炼学生的语言表达能力、动手实践能力、团队协作能力及创新能力和应用意识；在解决问题的过程中发展学生的数学抽象能力、数据分析观念、数学建模思想。

（五）作业质量效果评估

作业题目属性统计表：

　　作业题目具体数据分析：

　　1.作业实施效果及存在的问题

基础题目整体效果较好，考查本章知识的基础性问题，95%的学生能够独立完成。学生能够读懂题意，从具体情境中抽象出数量关系，分析提取有效信息，能够证明三角形相似、利用相似三角形的性质解决问题。但是个别学生的知识迁移能力较弱，部分学生不能灵活运用所学相似三角形的知识解决变式问题。

　　综合应用问题，难度中等，具有一定的深度，80%的学生能够完成，10%的学生需要借助小组合作完成，完成时间为8分钟。重点是让学生体会学科之间的联系，利用数学中相似三角形的知识解释物理实验结论。本题大部分学生能够发现图像中所隐含的数学信息，提炼题目中的数量关系；将实验结论与三角形全等、相似的知识联系起来，进行知识之间的迁移，利用数学知识解释实验结论。但由于题目信息量较大，部分学生难以从中获取有效信息，进而转化为数学问题。

【学生案例】

　　综合实践类题目，第5题为妈妈设计一双高跟鞋，与生活联系紧密，学生能够独立完成，计算出符合要求的高跟鞋的高度，75%的学生能够完成。但由于考虑到实际高跟鞋的高度不能过高，需要对比值进行调整，部分学生在此过程中出现了困难。第6题设计了测量学校旗杆的高度设计方案问题，需要学生对本章知识进行整合建构，具有一定的深度和难度，操作过程需要通过小组合作完成，整体效果次之。

2.作业设计的质量和实施效果的反思

(1)注重知识的形成过程。在日常教学中，要让学生经历知识的形成过程，注重提高学生知识的迁移能力。在作业设计方面，要以数学课程标准为依据，对教材再创造，根据班级学生实际情况，选择贴近学生实际生活的教学素材，适时调整作业设计预案，让作业设计收到更好的效果。

(2)贴近生活，鼓励探究。对于综合实践性问题的设置要具体可操作，能够让学生真正参与进去，在日常教学中，设置相应的综合实践活动，将数学课堂延伸到课外，通过综合实践性作业，积累学生的活动经验，展示思考过程，交流收获体会，激发学生的创造潜能。

(3)提高学生数学阅读能力。加强数学课程内容与其他学科知识间的联系，减少机械性的作业。培养学生收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流、合作的能力。

三、作业案例特色说明

1.作业内容知识涵盖全面，重点关注综合实践

题目设计基于问题解决，作业内容涉及到九年级上册数学第四章图形的相似的全部知识，按照学生的认知水平和能力指向，以实际生活中聪聪同学一天的行程轨迹为载体，设置相应的问题情境，问题难度具体一定的梯度，关注知识间的前后联系及数学思想方法的运用，综合解决实际问题的能力。

2.作业形式多样，难度适宜，突出学生的主体地位

结合九年级学生的认知发展特点，设计分层作业，主要包括基础性问题、应用性问题及实践活动问题。学生需要从具体问题情境中获取有效信息，经历阅读、计算、识图、画图、测量、建模等过程尝试解决问题，在此过程中鼓励学生主动思考和相互合作，培养学生分析解决问题能力和自主学习能力。

3.作业体现创新性，注重学生数学思想方法的迁移能力

通过精心设计问题链，实现学生数学能力的逐层提升，比如：由基础题基本知识的考察到综合应用题中数学模型的建立，再到综合实践中通过小组合作完成实践活动。关注解题方法的基础上，注重学生对三种几何语言的转化及从特殊到一般、数形结合、数学建模等数学思想方法的应用，进而提高学生的应用意识和创新意识。

本单元的特色作业是第三部分综合实践活动题，主要包括两个综合实践活动，分别为“为妈妈设计高跟鞋”和“利用影子测量校园旗杆的高度”，学生通过动手测量、记录数据、分析数据、实践反思的过程感受数学知识的应用性，在参与活动的过程中感受到数学知识的妙用，从而培养学生学习数学的兴趣。

(1)综合实践一具体活动过程

理论依据:依据黄金分割及相似三角形的相关知识，设计一双高跟鞋让妈妈的身材比例看起来更接近黄金分割比。

实施过程:测量妈妈的整体身高及肚脐以下部分的高度，记录相应数据；通过黄金分割比计算高跟鞋的高度；分析数据，结合生活实际，探究其合理性。

　　实践反思:在实际操作过程中，我们发现通过黄金分割比计算出的高跟鞋的高度与实际生活中常见的高跟鞋高度存在偏差，为了体现高跟鞋的舒适度，在接近黄金分割比的情况下，不断修正比值，计算出更合适的高度。

(2)综合实践二具体活动过程：

理论学习:小组内相互讨论，利用相似三角形的知识测量旗杆的高度的原理及计算方法，深入学习相似的相关知识。

制定方案:为了研究影子在测量高度时的妙用，结合数学知识相似，选择可以进行操作实施的方案，画出相应的模型进行分析。

实施方案:根据选定模型，小组讨论实施过程中的具体测量数据，以及测量方法。提前准备好测量工具。

　　六人一组，按照制定的实施方案进行实际测量，测量同时记录数据，注意思考与总结实践过程中的具体实施过程与理论知识的不同之处。

记录数据:小组合作，在测量完成的同时，及时记录测量的数据。

　　分析数据:利用数学中的公式和测量所得的数据，计算出物体的高度，并对几次测量的结果进行求平均值，对测量的数据和结论进行简单的分析。

　　实践活动反思:实践才会更加理解知识的本质，也更能体会应该尽量多的将自己所学知识应用到生活中，学习的课本知识和生活中的影子结合，能够帮我们取得意想不到的成果。实践能让我们发现自己的不足，更能让我们在问题中不断的成长。在以后的学习中我们会认真的学习，多用所学知识解决生活中的问题，在实践中不断的提升自己。

在双减政策下通过设置有效的分层作业，满足不同层次学生的需要，作业的设计注重对学生数学思想方法的渗透及数学核心素养的培养，让学生能够更多地经历知识的形成过程，真正体验数学的乐趣，让作业效果发挥到最大化。

教研员点评（兑继华）：

此项作业设计整体来说比较优秀，具有一定的借鉴价值。

首先，在单元整体分析方面，能够基于课标对整个单元的目标进行规划设计。从目标中可以看到对学生知识、能力及素养的培养与提升；能够根据本章节学习内容的特点，进行单元整合，挖掘教学内容的共性与区别，分类进行教学流程规划。

其次，在作业设计方面，案例中题目背景以聪聪同学的视角观察生活中的问题，生活情景中既承载了对本章知识的考查，也关注了学生阅读能力、分析问题能力的考查，既检测了学生所学知识，也向学生渗透要注意观察生活的意识，体现了情境性与应用性。

第三，在作业形式方面，既有书面作业，也有方案设计与综合实践类作业，强调了学以致用的实践能力，关注了学生的应用意识，提升了学生应用所学知识解决问题的能力。具有较强的应用性和创新性。