潼关第二初级中学 刘双双 <p class="ql-block"> 数学是源于生活又服务于生活的；学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。</p><p class="ql-block"> “勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄。案玄图有可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实。以差实减玄实，半其余。以差为从法，开方除之，复得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之实，即成玄实。或矩于内，或方于外。形诡而量均，体殊而数齐。勾实之矩以股玄差为广，股玄并为袤。而股实方其里。减矩勾之实于玄实，开其余即股。倍股在两边为从法，开矩勾之角即股玄差。加股为玄。以差除勾实得股玄并。以并除勾实亦得股玄差。令并自乘与勾实为实。倍并为法。所得亦玄。勾实减并自乘，如法为股。股实之矩以勾玄差为广，勾玄并为袤。而勾实方其里，减矩股之实于玄实，开其余即勾。倍勾在两边为从法，开矩股之角，即勾玄差。加勾为玄。以差除股实得勾玄并。以并除股实亦得勾玄差。令并自乘与股实为实。倍并为法。所得亦玄。股实减并自乘如法为勾，两差相乘倍而开之，所得以股玄差增之为勾。以勾玄差增之为股。两差增之为玄。倍玄实列勾股差实，见并实者，以图考之，倍玄实满外大方而多黄实。黄实之多，即勾股差实。以差实减之，开其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍玄实乃减之，开其余，得中黄方。黄方之面，即勾股差。以差减并而半之为勾。加差于并而半之为股。其倍玄为广袤合。令勾股见者自乘为其实。四实以减之，开其余，所得为差。以差减合半其余为广。减广于玄即所求也。”</p><p class="ql-block"> 勾股定理有悠久历史和广泛应用，它是我国古代人民的聪明才智的结晶；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程，希望你能走进勾股定理的世界，一起用这种大自然共同的“语言”来解决实际问题吧！</p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(1, 1, 1);">教学内容</b></p><p class="ql-block"> 人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时，勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的。本节课的学习在教材中起到承上启下的作用，为下面学习勾股定理的逆定理作了铺垫，为以后学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础。勾股定理的探索和证明蕴含着丰富的数学思想和科学研究方法，是培养学生具有良好思维品质的载体，它在数学的发展过程中起着重要的作用，勾股定理是数与形结合的优美。</p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(1, 1, 1);">教学重点与难点</b></p><p class="ql-block"> 重点：了解勾股定理的文化背景，掌握勾股定理的内容,解决简单的问题；</p><p class="ql-block"> 难点：经历用面积法探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。</p> <p class="ql-block"><b>教学目标</b></p><p class="ql-block"> 知识与能力：掌握勾股定理，能够熟练地运用勾股定理由直角三角形的任意两边求得第三边．能根据一已知边和另两未知边的数量关系通过方程求未知两边。</p><p class="ql-block"> 方法与途径：在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结果。</p><p class="ql-block"> 情感与评价：通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。</p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(1, 1, 1);">现代教学手段：</b></p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(1, 1, 1);"> </b><span style="color:rgb(1, 1, 1);">一体机、PPT、方格纸、折纸</span></p> <p class="ql-block"><b>设计思路</b></p><p class="ql-block"> 在教学中要力求实现以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养学生的“思维能力，动手能力，探究能力”为重点的教学思想。情境引入——定理探索——定理证明——定理应用——课堂拓展的模式展开。尽量为学生创设“做数学、玩数学”的情境，让学生从“学会”到“会学”，使学生真正成为学习的主人。在探索勾股定理时，主要通过直观的，乐于接受的拼图法去验证勾股定理。在本节课中，要充分体现学生的主体地位，主要采用小组合作、自主探究式学习模式。通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结果。</p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block"><b>教学准备</b></p><p class="ql-block"> 为了提高课堂教学的效益，根据学情准备PPT、方格纸、折纸、剪刀。利用现代化教学设备的强大的演示实验功能，帮助学生对勾股定理进行自主、合作探索，便于知识的形成与发展。</p> <p class="ql-block">教学过程</p><p class="ql-block"> 1、情境引入——创设情境，激发学习兴趣</p><p class="ql-block">猜一猜：相传2500多年前毕达哥拉斯在朋友家里做客，从砖铺成的地面中发现了等腰直角三角形三边的数量关系</p> <p class="ql-block"> 设计意图：创设一个情境，诱发学生发挥想像，初步感受勾股定理的神秘，从而调动学生的情绪，使学生以饱满的热情进入学习探究状态。通过“一个著名的问题”初步探究，了解勾股定理的古老与神奇。问题本身具有极大的挑战性，这样无形中激发了学生的强烈的求知欲，为学生主动探究课题做好了心理准备。</p><p class="ql-block"> 2、 定理探索——自主操作、合作探究</p><p class="ql-block">算一算：</p><p class="ql-block"> 问题1：你能说出正方形A，B，C的面积及其数量关系吗？</p><p class="ql-block"> 问题2：你能说出正方形A，B，C的面积和直角三角形三边a，b，c之间的关系？</p><p class="ql-block"> 问题3：你能说出直角三角形三边之间的数量关系吗？</p> <p class="ql-block"> 设计意图：教无定法，视学定教；学生是学习的主人，教师是学生学习的合作者。学生亲自画图、演算、交流。利于对结论的理解。亲身感受知识的产生、形成，初步体会面积法；再次了解勾股定理。加深对勾股定理内容的叙述、理解，达成目标。体会数学观察---探究---整理----归纳的数学方法，体验学习的成功。</p><p class="ql-block"> 3、 推理论证——折纸实验、证明结论</p><p class="ql-block">证一证：</p><p class="ql-block"> 1、教师引导学生沿红色虚线剪开，试着拼成一个新图形。</p> <p class="ql-block"> 2、小组合作，教师观察指导，表扬做的好的学生。</p><p class="ql-block"> 3、出示下图，利用面积法证明得出的结论。</p> <p class="ql-block"> 设计意图：上一环节是从数字上的验证，本环节上升到理论层面，以加强数学学习的严谨性。让学生学懂面积法，再次加深对勾股定理的理解。感受我国数学知识的悠久历史，唤起爱国精神，启发学习数学的兴趣。学生自主探究，再次理解勾股定理，学会面积法论证勾股定理。培养学生的动手探究能力，养成严谨的学习习惯；学会交流，达到知识、方法共享，体验合作的乐趣、合作的成功。</p><p class="ql-block"> 4、得出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²．</p><p class="ql-block"> 设计意图：教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对直角三角形有一个整体全面认识，同时感受数形结合的数学思想。</p><p class="ql-block"> 4、 新知应用</p><p class="ql-block">教师板书勾股定理的应用书写格式。</p><p class="ql-block">设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.</p><p class="ql-block">（1）已知 a=6， c=10，求b；</p><p class="ql-block">（2）已知 a=5， b=12，求c；</p><p class="ql-block">（3）已知 c=25， b=15，求a.</p><p class="ql-block">设计意图：让学生学会应用勾股定理，明确书写格式，理解在直角三角形中知道任意两边，可以利用勾股定理求出第三边（知二求一）。培养学生的分类讨论思想，数形结合思想，</p><p class="ql-block"> 5、 课堂小结</p><p class="ql-block"> 问题：通过本节课的学习，你有哪些收获？</p><p class="ql-block">学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法及评价学生在课堂上的表现对学生进行思想教育。</p> <p class="ql-block"> 设计意图： 学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法及评价学生在课堂上的表现对学生进行思想教育。</p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(1, 1, 1);">教学反思：</b></p><p class="ql-block"> 本节课以“情境引入——大胆猜想——定理探索——推理论证——新知应用——总结升华”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程，努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变。根据教材的特点，本节课把学生的探索和验证活动放在首位，一方面要求学生在老师的引导下自主探索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，达到培养能力的目的。 教学中以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养能力为重点。为学生创设“做数学、玩数学”的教学情境，让学生从“学会”到“会学”，从“会学”到“乐学”。 这一课的学习通过让学生自主地探索知识，真正做到了先激发兴趣，再合作交流，最后展示成果的自主学习。这堂课将信息技术融入利于创设教学环境，教学模式将从以教师讲授为主转为以学生动脑动手自主研究、小组学习讨论交流为主，学生通过自己的活动得出结论、使创新精神与实践能力得到了发展。 </p> <p class="ql-block"><b>作业设计</b>：</p><p class="ql-block"> 根据学情，将学生分为A组（学习好的学生），B组（学习中等的学生），C组（学习暂时落后的学生）3组，在自己学习的基础上快乐学习，能够轻松而自信的完成学习任务，调动学生的积极性，更好的完成教学目标，真正做到因材施教。</p><p class="ql-block">A组作业：</p><p class="ql-block">1、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（ ） </p><p class="ql-block">A、4个 B、5个 C、6个 D、8个 </p><p class="ql-block">2、若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为（）A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定 6、已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ）</p><p class="ql-block">A、40 B、80 C、40或360 D、80或360 </p><p class="ql-block">3.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？</p> <p class="ql-block">B组作业：</p><p class="ql-block">1. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。</p><p class="ql-block">2．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？</p> <p class="ql-block">C组作业：</p><p class="ql-block">1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2</p><p class="ql-block">；这一定理在我国被称为______．</p><p class="ql-block">2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．</p><p class="ql-block">(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；</p><p class="ql-block">(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；</p><p class="ql-block">(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；</p><p class="ql-block">(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．</p><p class="ql-block">3.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．</p>