胡子健思维数学之相反数、倒数、绝对值、有理数运算

胡子健

胡子健经典例题：在1~100的整数中求10个数,使它们倒数和为1 2,6,12,20,30,42,56,72,90,10上述10个数的倒数和是11/2+1/6+1/12+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/10=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/9-1/10)+1/10=1-1/10+1/10=1 例题1：若a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=2，求a+b/4m+2m-3cd的值。分析：已知a、b互为相反数，则a+b=0；c、d互为倒数，则cd=1；|m|=2，则m=±2.a+b=0，则代数式第一项的值为0，m为±2，因此要分两种情况进行讨论。解：由题意得：a+b=0，cd=1，m=±2①当m=2时，原式=0+2×2-3×1=1，②当m=-2时，原式=0+2×（-2）-3×1=-7综上所述：代数式的值为1或-7. 例题2：已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于4，试求m^2-（a+b-cd）m+（a+b）^2010+（-cd）^2011的值分析：1的任何次方都等于1，-1的奇次方等于-1，-1的偶次方等于1，0的任何（除0外）次方等于0，0 的0次方没有意义。解：由题意得：a+b=0，cd=1，m=±4①当m=4时，原式=4^2-（0-1）×4+0^2010+（-1）^2011=16+4+0-1=19；②当m=-4时，原式=（-4）^2-（0-1）×（-4）+（-1）^2011=16-4-1=11综上所述：代数式的值为19或11. 绝对值的非负性，去绝对值符号(根据定义、零点分段)绝对值的几何意义是数轴上点与点的距离，所以绝对值是非负的。但是绝对值符号里面的值有可能是负数，所以去绝对值符号一般需要分类讨论。 (一)绝对值的非负性任何一个数的绝对值都是非负的(大于等于0)，这个性质相当于一个隐藏的已知条件，经常用来出题。例题1：|x-5|+|y+6|=0 求x+y的值。根据绝对值的非负性|x-5|≥0，|y+6|≥0，所以只能是|x-5|与|y+6|都等于0即x=5，y=-6，所以x+y=-1由于一个数的平方(偶数次方)也是非负的，所以它们经常混合在一起出题，例如：例题2：|x-5|+3+(y-1)²=3 求x+y的值。 (二)去绝对值符号最基本的两种方法①依据定义去绝对值符号一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。基本的去绝对值符号的法则如下:|a|=a(a>0) ；|a|=-a(a<0) ；|a|=0(a=0)如果知道a与0的大小关系，可以按照定义直接去掉绝对值例题3：已知在数轴上有两个有理数a，b，并且b在a的右边，化简|a-b|。因为数轴上b在a的右边，所以b>a，即a-b<0，根据绝对值定义直接化简|a-b|=-(a-b)=b-a如果不知道a与0的大小关系，那么就需要分类讨论。例题4：化简|x-5|分类讨论：当x≥5时化简为x-5；当x<5时化简为-(x-5)=5-x。 例题:在数轴上找一点，使这点到所有点的距离和最小。 ①先看两个点的，想要找一个点，使到1和3的距离和最短，应该选在1与3(包括点1,3)之间。这个最短距离和是2。即当1≤x≤3时，|x-1|+|x-3|有最小值2。 ②接着看三个点的，想要找一个点，使到1,2和3的距离和最短，应该选2这个点。这个最短距离和是2。即当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|有最小值2。 ③再看下四个点的，想要找一个点，使到1,2,3,4的距离和最短，应该选在2与3(包括点2,3)之间。这个最短距离和是4。即当2≤x≤3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|有最小值4。可以得出以下结论:如果有偶数个点，那么这个点取在正中间的两点之间(包括这两点)就可以。如果有奇数个点，那么这个点取在正中间的点就可以。掌握了这个最基本的方法后，我们再研究有重复的点(即x的系数不是1)例如:求|x-1|+ 2|x-2|的最小值。为了便于理解，我们可以把它写成|x-1|+ |x-2|+ |x-2|所以是三个点，这个点应该选在最中间的x=2。所以最小值是1。 题目:设x是有理数，p=|3x+6|+ |x-3|+|2x-6|+ |x-9|，试求p的最小值。先把x的系数提出来，看一看这些点都有哪些，如果这些点不是从小到大的，注意要按顺序排好！！！。p=3|x+2|+ |x-3|+2|x-3|+ |x-9|共7个点即-2,-2,-2,3,3,3,9，所以选最中间的(第4个点)x=3，最小值是21。我们知道数轴上的点包括有理数和无理数，那么对于无理数也是成立的，比如我们学过无理数之后，像下面这种题应该自然就会做了。例题:求|2x-√2|+ |x-√3|+ |3x-sin60°|的最小值。 胡子健思维数学经典例题之绝对值运算 例题1.求|x-4|+|x- 5|的最小值。解：4≤x≤5 |x-4|+|x- 5|的最小值为1 例题2.求|x+2|+Ix-2|+|x-1|的最小值解：-2≤x≤2当x=1时|x+2|+Ix-2|+|x-1|的最小值为4例题3.求|x-7|+Ix-8|+|x-9|的最小值解：7≤x≤9当x=8时|x-7|+Ix-8|+|x-9|的最小值为2 例题4.已知x在数轴上，有|x+3|+|x-3|= 8,求x的值.解：当x＜3时原式=-(x+3)-(x-3)=-2x=8x=-4 当x＞3时原式=(x+3)+(x-3)=2x=8x=4所以x=±4 例题5.求|x-1|+Ix-2|+|x-3|+|x-4|的最小值解：1≤x≤4当x=2时|x-1|+Ix-2|+|x-3|+|x-4|的最小值为4当x=3时所以当2≤x≤3|x-1|+Ix-2|+|x-3|+|x-4|的最小值为4 例题6.已知x在数轴上，有|x+2|+|x+4|= 10,求x的值.解：-2≤x≤-4当x≤-4时|x+2|+|x+4|=-（x+2)-(x+4)=-2x-6= 10,x=-8当x≥-2时|x+2|+|x+4|=（x+2)+(x+4)=2x+6= 10,x=2所以x=2或-8 例题7.设a=|x+1|，b=|x-1|， c=|x+3|， 则a+2b+c的最小值为.解：a=|x+1|=|x-（-1）|b=|x-1|c=|x+3|=|x-（-3）|-1是中间值a=|x+1|=0，b=|x-1|=2， c=|x+3|=2， a+2b+c=0+2×2+2=6 例题8.设a=|x+1|，b=|x+2|， c=|x+3|， 则a+b+c的最小值为.解：a=|x+1|=|x-（-1）|b=|x+2|=|x-（-2）|c=|x+3|=|x-（-3）|-2是中间值a=|x+1|=1，b=|x+2|=0， c=|x+3|=-1， a+b+c=1+0+1=2 例9：求 |x-1|+ |2x-1|+ |0.5x-1|的最小值 （5Ⅹ5×2）^100/（5Ⅹ5Ⅹ2Ⅹ2）^50=5^100Ⅹ5^100Ⅹ2^100Ⅹ5^（一50）Ⅹ5^（一50）Ⅹ2^（一50）Ⅹ2^（一50）=5^（100十100一50一50）Ⅹ2^（100一50一50）=5^100