关于“模型思想”的理解

孙兆辉

读了与模型有关的数学思想，结合平时聆听专家解读与教学实践，对模型思想有了更全面更深入的理解。
一、对于“模型思想”的解读：
1.课标中的“模型思想”。
“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量变化和变量规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用知识。小学阶段有两个典型的模型“路程=速度x时间”、“总价=单价x数量”，有了这些模型，就可以建立方程等去阐述现实世界中的“故事”,就可以帮助我们去解决问题。
2.专家解读的“模型思想”
张丹教授的解读。“通过建模，把数学应用到客观世界中，沟通了数学与外部世界的桥梁。比如，由数量抽象到数，由数量关系抽象到方程、函数(如正反比例)等;通过推理计算可以求解方程;有了方程等模型，就可以把数学应用到客观世界中。”
张奠宙教授的解读。张奠宙教授认为，“广义地讲，数学中各种基本概念和基本算法,都可以叫做数学模型。加减乘除都有各自的现实原型，它们都是以各自相应的现实原型作为背景抽象出来的。但是，按通行的比较狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统和数学关系结构才叫做数学模型。例如，平均分派物品的数学模型是分数;元角分的计算模型是小数的运算;”鸡兔同笼”中的模型思想等。
王永春教授解读“模型思想”
数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相通之处，同样具有普遍的意义。不过，也有很多数学家对数学模型的理解似乎更注重数学的应用性,即把数学模型描述为特定的事物系统的数学关系结构。如通过数学在经济、物理、农业、生物、社会学等领域的应用，所构造的各种数学模型。
3. 数学模型结构的特点：
模型思想就是一种数学关系结构，教学过程主要通过“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开。
数学建模主要是培养学生应用数学来解决实际问题的能力，它的指导思想是从实际中来，通过数学再去指导实际应用。这就要求它本身是一个寻找、分析、建模、计算、验证的完整过程。
数学模型有两个主要特点：
其一，它是经过抽象出对象的一些非本质属性以后所形成的一种纯数学关系结构。
其二，这种结构是借助数学符号来表示，并能进行数学推演的结构。数学模型思想作为建立数学与外部世界的联系，是学生必须要掌握的基本数学思想之一。
数学建模的思维过程
二、案例“鸡兔同笼”中的方程、模型思想
1.方程思想 方程是刻画现实世界的有效模型，通过把生活语言“翻译”成代数语言，根据问题中的已知数和未知数之间的等量关系，在已知数与未知数之间建立一个等式，这就是方程思想的由来。用方程表示数量关系，不仅体现方程的应用价值，也有助于学生形成模型思想。例如：在“鸡兔同笼”的问题中，可以设鸡或兔中任意一种有x只，然后根据鸡、兔的只数与脚的总只数的关系列方程来解答。例如设兔有x只，则鸡有（7－x）只，可列方程：4x＋2(7－x)=18，解得x=2，于是鸡有：7－2＝5（只）。方程解法思路比较简单，且具有一般性，教学中突出方程解法的优越性，不断渗透方程思想。
2.建模思想 在小学阶段，就是把数学研究对象的某些特征进行抽象，用数学语言、图形或模式表达出来，建立数学模型。在解决了“鸡兔同笼”问题后，可以引导学生观察、思考，概括提炼出解题模型：兔数=（实际的脚数－鸡兔总数×2）÷（4－2），鸡数=（鸡兔总数×4－实际的脚数）÷（4－2）。之后在应用中引导学生巩固、扩展这个模型，把“鸡”与“兔”换成乌龟和仙鹤等，变式为“龟鹤问题”、“坐船问题”、“植树问题”、“答题问题”等问题，沟通这些问题与“鸡兔同笼”问题的联系，使“鸡兔同笼”成为这些问题的模型，并应用模型解决问题，不断促进模型的内化。教学中重视学生建模思想的培养，使数学建模成为学生思考问题与解决问题的一种思想和方法。 鸡兔同笼问题中还渗透化归思想、假设思想等，也就是说，一种解法中可以蕴含不同的数学思想，而不同解法中可以蕴含同一种数学思想。
正如书中所说，模型思想更加重视如何经过分析抽象建立模型，更加重视如何应用数学解决生活和科学研究中的各种问题。在教学中结合数学的应用和解决问题的教学，要注意贯彻课程标准的理念：一方面要注重渗透模型思想，另一方面要教会学生如何建立模型，并喜欢数学。