盘点网课中 越讲越糊涂的数学题

metoo

余数

本题

整除

数字

相加

下图

个数

讲题

正整数

解题

因新冠疫情，近来网课盛行。

看到网上热议：“为什么孩子上了补习班，成绩越来越差?”

没机会接触补习班的老师。到网上转了一圈，看到不少“教育达人”在讲解奥数题，为教辅机构做软广，有些还要付费才能看全。他们的水平如何呢？

整体感觉不乐观。讲题中，不少讲解有问题。比如，明明是数学题，偏偏不用数学方法解题，去凑数；有简单直接的方法，却用要绕个大圈子，用最笨的方法解题。

本美篇从2024年愚人节起，改为将更新的内容提到前面发表。

题44 (更新时间：2024年4月2日)

汉字猜数字 (见下图)

此题作为全国竞赛题，本来是迷惑那些循规蹈矩的考生的，拉分题，可它把自媒体数学老师也忽悠了。看上面这位老师洋洋洒洒推导了一大篇，似乎有理，其实是误入歧途，浪费了大把宝贵的考试时间。

参赛考生正常发挥，应该在一分钟内解出答案。

本题已知条件：五羊真美×数=42380，每个汉字是一个个位数。求“五羊真好”所代表的四个数的数字和。

转换成除法：42380÷数=五羊真好

用排除法求“数”的值：

首先， 42380是五位数，若除数(“数”)为4或4以下，商还是五位数，而”五羊真好”是四位数。因此，“数”>4。

接下来继续排除。

“数”≠6，因42380的数字和是17，不能被3整除，自然不能被6整除。

同理，“数”≠9。

“数”≠8，因42380÷2=21195。

“数”≠7，因42380÷7，余数为2。

也就是说，42380这个数中不含因数6、7、8、9。

“数”=5是唯一选择。

42380÷5=8476

8+4+7+6=25

答案为D：”五”+”羊”+”真”+”好””=25

当然，考生不需要写出解答过程，所以，一分钟足以给出答案。

下面找来八道平台推送的数学题，看看网课老师的解题方法和学霸解法，对比之下，是不是觉得老师还不如学霸？

题1，一年级奥数题，填数字(见下图)

老师居然让学生在9到13的范围内凑数字，明摆着的数学方法不用。

学霸解法，第一步，求4个数的和：13+6=19

第二步，19减去下面2个数的和（10），得数9为上面两数之和。

因上面两个数相加和相减都等于9，则被减数只能是9，减数只能为0 (也可用a+b=9和a-b=9表示)。

题2：28a+30b+31c=365 （见下图）

这道题大概是“老师”拼凑出来，不是通过计算，而是用历法去解题，够奇葩的，是教常识的老师吗？

学霸解法，思路是这样的：

这类题有无穷解，这里是求非负数的解。

1)

若a=1

30b+31c=365-28=337

c=7  (使相减后个位数为零，看看30b是否能被整除)

30b=337-217=120

b=4

2)

若a=2

30b+31c=365-56=309

c=9  (使相减后个位数为零，看看30b是否能被整除))

30b=309-279=30

b=1

得出两组解：

a=1

b=4

c=7

和

a=2

b=1

c=9 

题3：一个三位数是35的倍数，各数位上的和为15，求这个三位数（见下图）。

讲题人漏掉了该数能被3整除这个条件，解题方法也太过复杂。

学霸解法：本题条件之一位数和为15，则此数还可被3整除，也就是该数是105的倍数。排除偶数倍数（105乘以偶数，积的个位数为0，十位数最大为4，位数和小于15），而105已经是三位数，则只能从3、5、7、9这四个数中选择，容易找到7的倍数，答案为735。

也可列方程直接解：

已知该数有两个因数35和3，设该数为105x。x只能是一位数，且为奇数（若x为偶数，数位和将小于15），因而105x的个位数只能是5，列方程：

15-5-x=(5x-5)÷10

100-10x=5x-5

15x=105

x=7

105x=105×7=735

题4：某数除以5余2，除以7余6，除以11余6，此数最小是多少? （见下图）

讲题老师似乎不太清楚余数的概念，解题思路混乱，讲不出道理，像是在凑数。

学霸解法：本题符合后两个条件的数为7×11+6=83，以及83加77的倍数(83+77n)；前一个条件除以5余2，显示该数的个位数为2或7，用83加两次77（符合后两个条件）后个位数为7，即83+77×2=237，为本题答案。（此数的其他解为237加385的正整数倍数之和，即237+385n）

题5：两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数（见下图）。

讲题人的方法太笨，去凑数，难怪跟帖说“这课讲得糊涂”。

学霸解法：此题要点是设甲数为15a，乙数为15b，列等式：

15a×15b÷15=90 （甲乙相乘再除以最大公约数即为最小公倍数）

15ab=90

ab=6

因a、b为正整数，得到：

a=1, b=6

或

a=2, b=3

两数15a、15b,一组解是15和90，另一组解是30和45。

题6：小明买某种画片花了2.16元。若这种画片的单价便宜1分钱，可以多得到3张画片。问小明实际购买的画片数量和单价是多少? （见下图）

讲题人通过列出216的所有因数凑出答案，如果条件改一下就不那么容易凑答案了吧？

学霸解法：设画片数量x，单价y。列方程：

xy=216   (1)

(x+3)(y-1)=216   (2)

（2）式展开：

xy-x+3y=219   (3)

(3)式-(1)式：

3y-x=3

化简：

x=3y-3=3(y-1)

将上式代入(1)式：

3(y-1)y=216

化简：

y(y-1)=72=9×8

得到：

y=9

x=24

题7：一个数除9余1，除8余3，除7余2，该数最小是几？（见下图）

讲题人对余数的概念不清楚，绕了一大圈来解题。

学霸解法：此题是先将后两个条件的余数转化为缺少数，即都缺5袋，符合后两个条件的数是8×7-5=51，以及51加56的倍数（51+56n），然后在这些数里找符合除以9余1的最小数。因51除以9余6，56除以9余2，将51、56、56这三个数分别除以9的余数加起来是10，10除以9余1，符合条件，该数最小为51+56×2=163。

题8：一自然数，用它除226余a，除411余a+1，除527余a+2，求a。（见下图）

讲题人的方法不好理解，直接列方程解不简单吗？

学霸解法：设该自然数为x，三个数的商分别为p、m、n，列方程：

px+a=226  （1）

mx+a+1=411  （2）

nx+a+2=527  （3）

(3)式减去(2)式：

nx-mx=115 

x=115/(n-m)

因x为正整数，则

n-m=5 （若n-m=23，则x=5，不符合题设条件）

x=23

a=19

（验算后证明成立）

借此提醒家长，像上面这样的网课，花不花钱都不要去学，浪费时间，误人子弟。

写于2021年4月8日

4月14日更新：

题9，旅店为团体游客安排房间。若住3人间，则多出16人，若安排5人间，则恰好安排完，这个团多少人？（见下图）

数学老师语文不及格，此题的文字叙述产生歧义。可以有两种解读，并因此出现两个不同的答案，如下：

题9a：旅店为旅游团安排房间，有若干3人间和5人间。若全部住3人间，会有16人无床位；而全部住5人间，则刚好安排完。问旅游团至少有多少人?

设3人间的数量为x，5人间的数量为y，列方程：

3x+16=5y

x=(5y-16)÷3

当y=5+3n时，x有正整数解（n=0,1,2……）。

5y=25+15n

当n=0时，旅游团人数最少，为25人。

题9b：旅店为旅游团安排房间。现有若干房间。如果每个房间放置3张床，缺16个床位。如果每个房间放置5张床，则刚好安排完。问旅游团共有多少人?

设房间数量为x，列方程：

3x+16=5x

x=8

5x=40

旅游团共有40人。

此题可改成为学校新生安排宿舍。按照现有宿舍3人一间和5人一间设定不同结果，这样就不会产生歧义了。

4月25日更新：

题10：求2461×135×6047÷11的余数（见下图）

此题老师讲解中的计算方法太笨了，他竟然不知道11整除的特性吗?

扫盲一下定理：一个多位数如果能被11整除，则此数奇数位的数字之和与偶数位的数字之和相减后的差能被11整除或等于0。

解：利用上述定理，分别算出各余数：

与2461最接近能被11整除的数是2464(因2+6-4-4=0)，即2461加3能被11整除，转换成2461减8能被11整除，显然余数为8。

与135最接近能被11整除的数是132，显然135除以11的余数为3。

与6047最接近能被11整除的数是6050（因6+5-0-0=11），和2461一样，少3就是余8，即余数是8。

接下来将3个余数相乘：

8×3×8=192

因192加6能被11整除，少6就是余5，因此答案余数是5。

5月4日更新：

题11：已知正整数A、B之差是90，两数的最小公倍数是最大公约数的66倍，求两数中较大的数（见下图）。

讲题人用方程解本题，却不知如何设其中两个未知数，只好用两个方框代替。对于最大公约数、最小公倍数这类题，虽然题目不要求解出最大公约数，但将最大公约数设为未知数可以使解题过程简单和容易理解。

解：设最大公约数为m，A（两数中较大的数）为am，B为bm，则abm为最小公倍数，列方程：

am-bm=90

(a-b)m=90 (1)

abm/m=66

ab=66 (2)

因a>b，a中必含有因数11，设a=11c，代入（2）式

b=66/11c (3)

代入（1）式

(11c-66/11c)m=90

(11c-6/c)m=90

c等于1、2、3或6时，6/c是正整数，其中只有c=1时，11c-6/c才能被90整除，得到：

c=1

a=11

b=6

m=18

am=198

bm=108

即：

A=198

B=108

解题过程简单明了：列方程，求出正整数解。

5月22日更新

题12：37分为3个数，甲乙丙的乘积是1440，甲乙的积和丙的差为12，求甲乙丙三个数是多少（见下图）。

讲题人边讲题边改题目条件（原题中加了“3倍”两字），太随意了。此题本身有问题：第一，三数之和37这个条件是多余的；第二，改正原题错误，只须把12改成52，简单直接，不用改加“3倍”。以下为改正后题目。

题12（改）：甲乙丙三个自然数的乘积是1440，甲乙的乘积减去丙等于52，当甲乙之和最小时，甲乙丙三个数各是多少。

解：

列方程：

abc=1440 （1）

ab-52=c   （2）

ab=c+52    (3)

将(3)式ab的值代入（1）式

c(c+52)=1440

c^2+52c=1440

用配方法

c^2+52c+26^2=1440+26^2

（c+26）^2=2116

c+26=46 （本题只求正整数的值）

c=20

将c值代入（2）式

ab=20+52=72

72可以是多组两两因数的乘积，其中两因数之和最小的一组是8和9，即

a=8

b=9

5月29日更新

题13：一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是多少？（见下图）

本题讲题老师用找公因数的方法求解没问题。用方程解也是一种思路，是不是更简单?

解：

列方程，设除数为x：

ax+5=200 (1)

bx+1=300 (2)

cx+10=400 (3)

令（1）+（2）-（3）后得到：

ax+bx-cx=104

即：

(a+b-c)x=8×13

由于x是奇数（除300余1），104的因数中只有13是奇数，因此取

a+b-c=8

x=13

6月2日更新

题14：一个数可以同时表示为九个连续自然数之和，十个连续自然数之和，十一个连续自然数之和，问这个数最小是（    ）。(见下图)

此题讲题人只讲结果，不讲结果是怎么来的，这样教出来的学生只知其然，不知其所以然。

学生通常会问：这里讲的用连续数的个数相乘的方法可以用到个数不同的其他三组连续数上吗？

先解题：

设此数为x，连续数的中位数分别为a, b, c，其中b是第二组连续数中间的两个数靠前的数，列方程：

x=9a=10b+5=11c

9a=5(2b+1)=11c

当c=45n（n=1,2,3…）时，a和b有正整数解。

n=1

c=45

b=49

a=55

x=495

从等式9a=5(2b+1)=11c可以看出，该自然数是9、5和11的倍数，即首尾两组连续数的个数以及中间一组连续数的个数的一半，这三个数的乘积就是该最小数。

下面把题的条件改一下，看上面的计算公式是否成立。

我们把上题的三组连续数的个数改为12个、13个和14个。

解：设此数为x，连续数的中位数分别为a, b, c，其中b是第二组连续数中间的两个数靠前的数，

列方程：

x=12a+6=13b=14c+7

等式中14c+7的和是奇数，而12a+6的和则是偶数，此方程无整数解。

我们再多试几组，会发现三组连续数中首尾两组连续数的个数是奇数的，有正整数解，也符合上面的推断：首尾两组连续数的个数与中间一组连续数的个数的一半，这三个数的乘积就是这个数的最小数。如下例：

将三组连续数的个数设定为11个、12个和13个。

x=11a=12b+6=13c

11a=6(2b+1)=13c

当c=66n（n=1,2,3…）时，a和b有正整数解。

n=1

c=66

a=78

b=71

x=858

858=11×6×13

通过测试可以推断，三组连续数的个数均为奇数，或两组个数为奇数，一组个数为偶数的，有解；三组连续数的个数均为偶数，或两组个数为偶数，一组个数为奇数的，大多数无解（个别组合，如12，20，28，有解）。

注：本题还可转换成同余式求解，更简单，即x=9a=10b+5=11c的方程式可看作：一个自然数能够被9和11整除，同时除以10余5。

满足被9和11整除条件的数是99n(n=1,2,3,…)。从99n中寻找除以10余5的数，当n=5时，99×5=495是符合条件的最小数。符合条件的所有数为495+990n(n=1,2,3,…)。

6月17日更新

题15：在空格里填数，使每一横行、竖行、斜行三个数相加得15（填入数字1-9）。（见下图）

讲题人是在试着填数，中间为什么必须填入“5”这个数也没有讲理由，完全没有使用数学方法。另外，本题条件中相加等于15是多余条件，只说明相加的和相等即可。

用数学方法解此题：

1. 先找出共同的和。

九宫格横竖共有6组三个数相加，1-9这9个数在6组数中每个数出现两次。

计算：1-9相加等于45，每个数出现两次即两倍是90。一共6组，计算出每组三个数的和为15（90÷6=15）。

2.求九宫格中间空格中的数。

九宫格十字行和斜行共4组12个数，其中8个数出现一次，一个数（即中间空格里的数）出现4次。每组三个数相加是15，4组数相加的和是60，设中间空格里的数为x，列方程：

45+3x=60

x=5

3. 填数

九宫格中间填5，其他按1和9、2和8、3和7、4和6分组填入各行，填数时稍需注意使九宫格外圈4行中各行的和也等于15。

8月30日更新

题16：有一个整数，用它去除70、98和143得到三个余数的和为29，则这个数是（ ）。见下图。

这是一道与余数有关的题，本题讲题老师选择了最复杂的讲解。

先解读一下截图中的符号。

本题已知三个被除数70、98和143，以及三个余数的和29。截图中的“（）”代表除数，“□1”、“□2”、“□3”分别代表三个商数，“★1”、“★2”、“★3”分别代表三个余数。需要求解的是除数。

解：

设除数为x，三个商分别为a、b、c。本题的关系是：被除数减去除数和商的乘积等于余数。

列方程：

70-ax+98-bx+143-cx=29

311-(a+b+c)x=29

(a+b+c)x=311-29=282=2×3×47

从余数和为29可知，除数必须大于9，且小于最小的被除数70(即70>x>9)。因式中的3和2以及二者的乘积6均小于9，而2或3乘47的积又大于70，因此x只能是47。由于求解的只是除数，则无须计算a、b、c三个商数的值。三个余数也无须设成未知数去求解。

答案是：三个数的共同除数为47。

9月1日更新

9月1日开学，看看今天百度推荐的数学老师讲题。

题17(见下图)

本题解题第一步就可以得到c与d的和，再与已知c与d的差组成方程组就可得到c与d的数值，如此简单明了的题，讲课老师却要绕着弯去求c-d的值。

解：本题已知a与c的和、b与d的和，以及a与b的和，前两数相加减去后者，就是c与d的和，如下。

已知：

a+b=8 (1)

a+c=13 (2)

b+d=8 (3)

c-d=6 (4)

用(2)+(3)-(1)得到

13+8-8=13，即

c+d=13 (5)

(5)式与(4)式组成以下方程组：

c+d=13

c-d=6

得到

c=9.5

d=3.5

代入(2)式，得到：

a=3.5

代入(3)式，得到：

b=4.5

如果是教培机构的老师，机构应该主动退学费了。

9月19日更新

下图据讲课老师说，是美国小学生竞赛中的一道题，美国学生算不出来，中国小学生秒算。

不认同网课老师的解题方法：能坐车为何偏要徒步?

解：

设前三位数为a，后三位数为c，中间一位数为b。列方程：

10a+b+c=9102 (1)

a+1000b+c=10335 (2)

(2)式-(1)式：

999b-9a=1233

111b=137+a (3)

a和c均为三位数，b为千位上的数字，由(2)式可知，一个四位数与两个三位数相加，和为五位数，即三个数相加后进位到万位数，则千位数上的b必为9。

取b=9，

a=999-137=862

代入(2)式：

c=10335-9862=473

该七位数为8629473。

10月7日更新

题19

三个质数的积是它们和的5倍，求这三个数的和(见下图)。

　　

讲课老师的第一步没问题：三个数中一定有一个质数5，即

5bc=5(5+b+c)

bc=5+b+c

到了这一步，可以直接解此方程，求出b和c的正整数值。比老师的解法简单。

b(c-1)=5+c

b=(5+c)/(c-1) =6/c-1+1

c的取值范围：7>=c>1

用质数试未知数c的值，当c=2和7时，b=7和2，两组数均为质数，符合题意。

如此，得出a=5, b=7, c=2，它们的和是14。

11月7日更新

题20

已知：

a+2b+3c=0 (1)

a-2b+4c=20 (2)

求a+10b+c的值（见下图）。

　　

解题老师提供了两种解法--法一、法二，以下的法三是不是简单又不烧脑：

解：

设已知两式为(1)、(2)，(2)-(1)得到：

c=20+4b (3)

(3)式代入(1)：

a+14b+60=0 (4)

(3)式代入下式：

a+10b+c=a+14b+20

(4)式变形为：

a+14b+20=-40

即a+10b+c=-40

11月5日更新

题21

已知xy+xy=120, xy+x+y=23, 求x+y（见下图）。

　　

这道题，出题者不知所谓。

解题很容易，直观：xy=60，x+y=23-60=-37

但是，解出的这个值无法还原回去。

下面继续求出x和y。

(x+y)^2=1369

x^2+2xy+y^2=1369

x^2+y^2=1249

由于x+y=-37，xy=60，接近的组合只有

-2，-35，但二者的积为70。明显题出错了。

改为：已知xy+xy=140, xy+x+y=33, 求x+y。

x+y=33-70=-37

(x+y)^2=1369

x^2+y^2=1369-140=1229

(-2)^2+(-35)^2=4+1225

x=-2, y=-35

11月19日更新

题22

甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都是2。甲乙两数之和是478，那么甲乙丙三数之和是多少？（见下图）

此题标题为“小升初考试题（余数问题）”，看讲课人解题过程，实为故弄玄虚，为赋新词强说愁：由于选择了商为1，此题就是一道简单求和差的题，无须设商为未知数。原题可改写为：

甲数与乙数，乙数与丙数，均相差2。甲乙两数之和为478，求甲乙丙三数之和。

设三数为x、y、z，则有：

x-y=2

x+y=478

y-z=2

x+y+z=478+236=714

余数题是通过已知的一组除数和余数，求出该被除数的值。由于符合条件的数不可穷尽，通常取最小的正整数为特解，俗称“韩信点兵法”。本题与数学中的余数问题无关，但可以改写成求除数、被除数和商的题，如下：

甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都是2。甲乙两数之和是478，问甲乙丙三数之和最小是多少？

设甲乙丙三数分别为x、y、z，商为a，则有：

x=ay+2 (1)

y=az+2 (2)

x+y=478 (3)

(1)式代入(3)式：

ay+2+y=478

y=476/(a+1) (4)

476因式分解为2×2×7×17

z=(y-2)/a (5)

当a+1=2、4、7、17时，476能被整除，x和y有正整数解，但a+1仅在等于2、4和7时，z有正整数解，即a=1、3和6时，三数均为正整数，此为正解。

与a=1和a=3相比，取a=6，x、y、z三数之和更小：

将a=6代入(4)式：

y=68

y值代入(3)式：

x=410

y值代入(5)式：

z=11

x+y+z=489

对比以上两种解题方法可以看出，刻意地用凑数的办法解题不可取，小学阶段应尽早接触多元一次方程，以此获得此类数学题的通解和特解。

11月27日更新

题23

有三个年轻人去钓鱼，分别是小张、小王、小李。他们把钓到的鱼摆在一起，小张有事先回去，他把鱼平均分成三份后多一条，把这条扔掉，拿走其中的一份。后来小王也有事，他把剩下的鱼也平均分成三份，也多一条，他就扔掉这条鱼，拿走三份中的一份就走了。最后小李也把剩下的平均分成三份，也多一条，他就扔掉这条，拿走其中的一份回家去。问这堆鱼最少有多少条？（见下图）

　　

讲题老师的解法：

设堆鱼有x条，则第一个人拿走之后还剩下2（x-1)/3,第二个人拿走之后还剩2/3[ 2/3（x-1)-1]，第三个人拿走之后剩下2/3{2/3[ 2/3（x-1)-1]-1}，对这个式子进行整理可得原式=(8x-38)/27，需要用到整除的概念。8x-38是27的倍数，8x-38=8x+16-54,则x=27t-2(t为正整数），因此当t=1时候，x=25,符合题目的意思。

以上解法，同学们看懂了吗？

下面推荐简单清晰的解法，也是不定方程的通常解法：

设鱼的总数为3x+1，第三次分配数为3y+1，列方程：

(2x-1)*2/3=3y+1

上式整理得到：

4x-9y=5

此方程通解：

x=8+9n

y=3+4n

(n=0,1,2,3…)

当x=8时，

3x+1=25

此类题有一个简单的解法：

本题条件，鱼的总数x被3除余1，则x+2能被3整除。通过计算验证，方程x+2=3^3是x的最小正整数解，x=25。如改成每次分5份，分了5次，方程式为x+4=5^5。也就是说，分了几次就是几次方。推导出这个公式比直接解题费时间，不是现场发挥能做到的。

2022年1月20日更新

题24，如下图。

老师推荐的解法较复杂。如用方程解，可以直接解出来。

解：设运算中用了两次的三个数的和为a，用了三次的三个数的和为b，用了一次的三个数的和为c。

九个数的和为：

a+b+c=45 (1)

六条边数字相加的总和为：

2a+3b+c=18×6=108 (2)

(2)-(1)×2：

b-c=18 (3)

小三角形三条边数字相加的总和为：

2b+c=18×3=54 (4)

(3)+(4)：

3b=72

b=24 (7,8,9三数之和)

c=6 (1,2,3三数之和)

a=15 (4,5,6三数之和)

还有更简单的解法，如下：

先将九个数分成三组：

1+2+3=6

4+5+6=15

7+8+9=24

根据图示，三组数在六条边的加法运算中，一组数字用了一次，一组数字用了两次，一组数字用了三次。设每条边上的三数之和为m，若7、8、9用了三次，方程为：

6m=6+15×2+24×3=108 (1)

m=18

若1、2、3用了三次，方程为：

6m=6×3+15×2+24=72 (2)

m=12

如果选择4、5、6用三次，则m无正整数解，可排除掉。而九个数字如果不按大小分组，也无解。

填数字（顺时针）：

每边数字和为18：大三角形三顶点填入6、4、5，小三角形顶点填入1、2、3，余下圆内填入9、7、8。

每边数字和为12：大三角形三顶点填入6、4、5，小三角形顶点填入7、8、9，余下圆内填入3、1、2。

题25 （2022年2月1日更新）

将1到9填入圆圈内，使每条直线上的数字之和相等（如下图）。

视频中老师给出的方法是通过所有7条直线上的数字总和算出每条直线上的数字和。由于推算过程中需要多次凑数和试算，让运算很麻烦。

正确的方法是先找出共同元素：找出3个数相加的5条直线，5条线上的数涵盖了所有9个数。可以暂不考虑2个数相加的另外两条直线。

5条线上的9个数中，6个数相加了两次，3个数相加了一次。

1到9相加的和是45，设每条线上数字和为x，相加了一次的3个数分别为a、b、c（如图中所示），列方程：

5x=45×2-a-b-c

由于等式右边的值必须是5的倍数，因此a、b、c之和也必须是5的倍数；同时a、b、c中的其中两数还是另外两条直线上两数相加中的其中一个数，因此a、b、c中的两个数要尽量大，符合这个条件的组合只有5-7-8、3-8-9、4-7-9、5-6-9。

即：

5x=90-20

x=14

每条直线上的数字和为14。

在上面的4个数字组合中，只有5-7-8的组合符合题设条件。

可排除4-7-9组合：由于7加7等于14，7这个数字只能放在c位。而4加最大的数9也小于14，此组合不成立。

接着看5-6-9：5的相加数是9，无论怎么放都会重复。

再看3-8-9：3数值太小，只能放在c位。8的相加数是6，6和3在同一条直线上，则此线上第3个数是5，和9的相加数重复了；如把9的相加数5放在3的那条直线上，则线上第3个数是6，和8的相加数重复了。

题26（2022-2-16更新）：

将1-7填入圆圈中，使每条直线上的三个数字之和均为12（见下图）。

讲课老师用的是枚举法，就是一个一个的试。好笨的方法，直接计算不好吗？

直接计算：

1-7这7个数相加，和是28，即(1+7)×7÷2=28。

已知每条边数字和为12，总共有5条边，其数字相加总和为5×12，其中顶端圆内数字在相加中使用了3次，其他6个数字使用了两次，设顶端圆内数字为x：

x=5×12-28×2=4

确定了顶端圆内数字为4，与4相关的三条边中的相加等于12的数字组合只有1和7、2和6，以及3和5。横向三个数相加也等于12，如第一个数选1的话，余下两个数只能是5和6，也就是横向的三个数其一为1、5、6，其二是7、3、2，依次填入圆内即可。上述组合有12种填入法。

题27（2022年4月6日更新）

韩信点兵

每3人一列，余1人

每5人一列，余2人

每7人一列，余4人

每13人一列，余6人

问最少有多少人？（见下图）

老师的讲解，不评论了，谁的孩子遇上这样的老师，谁倒霉。

同余问题是说，未知数除以不同的数，有相同或不同的余数，求该未知数。这里满足条件的未知数是一组数，通常是求出最小的正整数解。

余数（同余）题有各种解法，一般首选逐步满足法。

本题在用逐步满足法之前，先看看有无余数相同或缺数相同的情况。

每5人余2和每7人余4，余数虽然不同，缺数相同，都是3。

满足上面这两个条件最小的正整数是两数的乘积减去缺数，即5×7-3=32。满足条件所有的数是最小的数加上这两个数乘积的倍数，即32+35n。

接下来要在满足上面两个条件的基础上，找出同时满足每3人余1人的数。这就需要在满足上面两个条件的所有数中间找，即在32+35n(n=0,1,2,3,…)中间找。

32+35=67，67符合除以3余1，第一步就找到了。

接下来，在符合上面三个条件的数的基础上，找到同时满足第四个条件（除13余6）的数，也就是在67+105n的数中找。

由于除数13较大，可以分步找。

首先看67。67除以13，余2，和条件中的余6少4。

再看105。105除以13，余1。要满足余4，需要105的4倍，即在67+105n中，n=4。由此得到本题的解：

67+105×4=487

而满足本题所有四个条件的所有数是：

487+1365n (n=0,1,2,3,…)

题28（2022年5月4日更新）

两个（正）整数A、B的最大公约数是c，最小公倍数是d。已知c不等于1，也不等于A或B，并且c+d=187，求A+B的和。（见下图）

此题教培老师讲得毫无逻辑性，解题过程中概念不清，缺乏数学的严谨性，有误人子弟之嫌。

解：

本题设了四个未知数，A、B两数，以及最大公因数c和最小公倍数d。

因A、B有共同的因数c，两数可另设为：

A=ac

B=bc

d=abc

列方程：

c+abc=187

c(ab+1)=187=11×17 (排除1×187)

当c=11时，

ab=16

根据题意，a或b不能等于1；a和b互质，

因此ab=16的所有组合(1×16，2×8，4×4)均被排除。

当c=17时，

ab=10=2×5(2和5互质)，即：

a=2

b=5

ac+bc=2×17+5×17=119

即A和B之和为119。

题29（2022年5月16日更新）

在九宫格内填入数字1-9，圆圈内数字是相邻4个数字之和，请找出9个数的填入位置。（见下图）

讲题老师全程都在凑数，每每从多个选择中去找合适的数。如果改变已知数，老师的方法就不适用了。而用方程求解，一劳永逸，可以适用于同类题型。

解：

左上4个数与右下4个数相加：

2E+A+B+D+F+H+I=28+23=51 (1)

9数之和：

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

E+A+B+D+F+H+I=45-G-C-E (2)

代入(1)式：

2E+45-G-C-E=51 (3)

E-G-C=6

E=6+G+C

E=9 (E<10，2<G+C<4)

C=1

G=2

B+C+E+F=B+1+9+F=17

B+F=7=4+3 (已有1和2)

B=4

F=3

A+B+D+E=28

A+D=28-9-4=15=7+8 (已有9)

A=7

D=8

D+E+G+H=25

H=25-8-9-2=6

I=5

题30 （2022年5月18日更新）

将1-16填入下图，使每条直线上四个数之和相等。（见下图）

这是一道变形的十六宫格填数题。此题老师的解法基本上是一个一个试，试算的次数太多，近似拼图了。此类题未知数较多，而且又有不许重复的条件，求解中难免需要多次试算。用数学方法解题，就是要尽量减少试算。

解：

1）首先从已知条件中找到更多的确定值，本题中是找出每边的4数之和，以及菱形和正方形角上的4数之和。

求每边4数之和

1至16的数字之和：1+2+……16=136

全部8条边的数字和：136×2=272

每条边4数之和：272÷8=34

角上4数之和

前面提到，本题是变形的十六宫格填数题。在九宫格和十六宫格这类填数题中，都有共用的数，分别与相邻的数相加。在九宫格里共用的是中心的数，在十六宫格里是四角上的四个数和中间的四个数。在将1-16填入十六宫格中的题中，很容易证明，四角上的四个数之和以及中间的四个数之和是所有四数之和的平均数，都等于34（证明附后）。本题中，正方形角上的四个数和菱形角上的四个数均为相加计算中共用的数，由此推定四数之和也是平均数，等于34。

本题的填数结果也反过来验证，角上4数之和为34是本题成立的必要条件。

2）设未知数，本题设两个未知数。

设正方形右上角为x，菱形最下方为y。

正方形4个角的4个数字和为34，右上角为x，左下角为34-1-15-x=18-x。由每条边上的4数和为34，得到所有未知数的相对值，如下：

x+y-17

1 32-2x x+1 x

x+3 15-x

16-y 35-x-y

12 4

18-x 6 x-5 15

y

3）由于本题中的数字不允许重复，所以要在未知数取值范围中选取不重复的数字。

x的取值（排除已有数1、4、6、12、15，且因有15-x和x-5以及1，有13≥x≥7）：

2、3、5（排除，因x≥7）

7 （排除，因15-x与x+1数值重复）

8

9（排除，15-x=6，重复数字）

10（排除，15-x和x-5的值是重复数字）

11（排除，15-x=4，重复数字）

13（排除，32-2x=6，重复数字）

14和16（排除，因x≤13）

当x=8时，正方形中12个数均已确定，只有菱形四个角上含y值的数待定，此时只留下2、5、13、14四个数。由于y和16-y在同一条边，且16-y<7，因此y只有14可选。将x=8和y=14代入，填充数字如下：

5

1 16 9 8

11 7

2 13

12 4

10 6 3 15

14

附：十六宫格中角上四个数和中间四个数的和的计算过程

设十六宫格（上图）的中间四个数的和为a，角上四个数的和为b。

1-16的和：136

中间横竖各两条直线以及两条对角线的数字和：34×6=204

2a+136=204 (六条直线数字相加中，a重复加了3次，其他12个数加了1次）

a=34

两条对角线的数字和：34×2=68 （a+b）

b=68-a=34

a和b的值均为34。

题31 （2022年5月25日更新）

两数和为100，一数是7的倍数，另一数是11的倍数，求两数各是多少？（见下图）

此网课来自每日更新的中小学数学课程视频，该课程吸引了近6万粉丝。本题中采用的方法是一一列出7和11的倍数，然后从中找到一组相同的数。当题目中数字较大时，这种解题方法太费时间了。

此类题，标准的解法就是用求整数值的不定方程来解。解法如下：

列方程：

7a+11b=100

a=(100-11b)/7

解上面这个方程，两种方法。

1)通过余数找到100-11b被7整除时，b的最小值。

100除以7，余2；11除以7余4，11的n倍除以7，余数也要乘以n倍。这里要找出余数4的多少倍减去余数2是7的倍数，用4n-2表示。当n=4时，4n-2=14，是7的倍数。余数乘4，11也要乘4，也就是b=4，a=8。

2)从b的最小值逐一代入找a的整数值。

a=(100-11b)/7

b=1、2、3、4时，100-11b分别等于89、78、67、44，其中只有44能被11整除。同样得到：

b=4

a=8

题32 （2022年9月24日更新）

三阶幻方，已知7、8、9三数，在空格中填入其它数字，使横、竖、对角线各行中三数之和相等（见下图）。

图中红色数字是网课老师的解题过程。不清楚为何要用复杂的方法解决简单的问题，明明有现成的通解法啊。

通解法很简单。

为避免多解，答案过多，首先此类题应该加入限制条件，如：填入数为不重复的正整数，且使三数和最小。

接下来，直接设中心数为x，而三数之和为3x（依据三阶幻方定理）。

8 y ?

? x 7

? 9 ?

本题给出的已知数中最大数是9，设所在竖行中第一个数为y，则3x-x-9=y，即2x-9=y。由于y大于0，2x必大于9。

当2x>9时，x的最小值是5，三数之和3x等于15。至此，即可得到以下填充结果：

8 1 6

3 5 7

4 9 2

是不是很简单?

题33（2022年10月18日更新）

由200个4排列在一起组成的数除以6，余数是多少？ （见下图）

　　此题称之为五年级奥数题。讲课老师真的去试除了一下，发现444能被6整除，以此为突破口计算下去。

这是对简单的解题方法视而不见吗？。本题基本上直接观察，就可以确定余数是多少。

这就是利用数字被6整除的特性：能被6整除，相当于同时被3和2整除。一个数能被3整除，这个数各个数位的和也能被3整除。一个数能被2整除，个位数是偶数。

如此，200个4，各数位上的4相加，和为800。800不能被6整除。但800减去2等于798，能被3整除（798的各数位相加等于24，口算看出能被3整除）。

我们从200个4的个位数上减去2，得到前面199个4、个位数为2的数。由于个位数为2，此数同时能被2和3整除，即：200个4减去2能够被6整除。其另一个表述就是：200个4除以6，余数为2。

题34（2022年11月8日更新）

填数字，见下图：

这是一道简单的方程题，讲课老师提供的解题方法看起来也没错。不过，本题另有解法，老师不该不提。同时，老师在设未知数时犯了忌，即：建方程设未知数时，能少设未知数就不多设。本题本来设一个未知数就够了，老师设了三个未知数，需要消元计算。

下面是只用一个未知数建立的方程。

设9和17所在的同一条直线上的小圆圈内数为x，另外两个小圆圈内数分别是x+17-8和x+17-4，列等式：

x+x+17-8+x+17-4=17+9+x

x=2

x+17-8=11

x+17-4=15

三数之和：2+11+15=28

一元一次方程，无须消元计算。

题35 （2023年7月12日更新）

（a+1)(a+3)(a+5)=480，求a。（见下图）

　　网课老师的解题太复杂了，用分解因数法即可。

解题：设a+3=t

代入原式：

(t-2)t(t+2)=480

两边同除以8：

(t/2-1)t/2(t/2+1)=60

60=2×2×3×5=3×4×5

则

t/2-1=3

t/2=4

t/2+1=5

t=8

a=8-3=5

本题a=5是唯一解，因为可以排除三个连续数中的两个数为负数的情形。如在上面的计算中，60也可以拆成(-3)×(-4)×5或3×(-4)×(-5)的形式，但这样拆分均无法满足三数为连续数的条件。

题36 （2023年8月30日更新）

三个质数，其积是其和的5倍，求这三个质数。

网课老师解题的方法有些繁琐，在确定了一个质数为5后，其它两个质数还需要多次试算才能得出。讲课视频截图中b=1的试算是多余的，因为1不是质数。本题用方程去解更容易。

设三质数为a、b、c，根据题意列方程：

abc=5(a+b+c) （1）

由于5是质数，则三质数之一是5，令

a=5

代入(1)式

5bc=5(5+b+c)

bc=b+c+5

bc-b-c=5

b(c-1)-c+1=6

(b-1)(c-1)=6

由于b、c均为质数，只能得到以下一组解：

b=7

c=2

题37（2023年11月11日更新）

两位数乘法算式（见下图）

这是百度推送的数学题，一共两个已知数字。讲题老师在视频中讲了5分钟，用的解题方法是试填数字，老师的口头禅是“大概率应该填X”。

以下介绍两种解法。

1.

设乘法算式中的4个数字为：AB×CD

由积的百位数为8，千位数为1，反推出竖式中C下面的两个百位数是：9+9或8+9 (另有十位的进位1)。

由AB×D最大值为99×9=891，得到乘积的百位数字为8。而A或D小于9，相乘得到的百位数字必小于8，无解。由此得到A=9，D=9，C=1，填入竖式：

9B

× 19

-------------

88?

9?

--------------

1 8??

由B×9=88?-(90×9)=7?，得到：

B=7?÷9=72÷9=8

B=8

乘式AB×CD为98×19，补齐竖式数字如下：

　　

98

× 19

-------------

882

98

--------------

1 862

还可以用不等式解法。在上面的第一步中，设第二行乘数的十位数为n，列不等式：1899÷(10n+9)×n<100，求n的最大值的上限。

1899n<1000n+900

899n<900

n<900/899

显然，自然数n=1。

将上式在10n+9换成10n+8，n<800/899，n小于1，不合题意。第二层乘数只有唯一的值19。

用1800和1899分别除以19，得到的商，十位数均为9，由此确定第一层乘数的十位数为9。

第二步，设第一层乘数的个位数为a，已知百位数和千位数均为8，列不等式：

(90+a)×9>879

9a>69

(90+a)×9<890

9a<80

整理后得到：7.6<a<8.8

即自然数a=8

完整的乘法算式：98×19

题38（2023年11月20日更新）

数阵图（见下图）

本题已知数是2、4、6，要求填入3、5、7、8四个数。视频中的老师用了奇怪的方法，他不会一元一次方程吗？他不会算数式吗？

此题可用两种求解方式。，一是列方程，一是列算数式。

方程解法

设中心数为a，列方程：

63-3a-24=3+5+7+8-a

a=8

算数式解法

63-(2+4+6)×2-(3+5+7+8)=16

16÷2=8

简单明了。

题39 （2023年12月3日更新）

四元一次方程 （见下图）

本题讲师用了半节课的时间讲一道简单的方程题，越讲越复杂。

先演示一下正常的解题过程。

设本题中4个未知数分别为a、b、c、d，根据已知条件列方程：

a+b+c+d=370 (1)

a+2=b-3=2c=d/2 (2)

将a、b、d分别用c来表示：

a=2c-2 (3)

b=2c+3 (4)

d=4c (5)

用(3)、(4)、(5)等式右边的值替换掉(1)式中的a、b、d，完成消元：

2c-2+2c+3+4c+c=370

9c=369

c=41

a=80

b=85

d=164

本题讲师是用b来替换掉未知数a、c、d，而我们用c来替换。虽然用a、b、c、d中任意一个未知数替换其它三个未知数都可以解出正确答案，但显然，合理的做法是用较小的未知数替换较大的未知数来消元，这样可以减少计算量。如本题，c是最小的未知数，消元转换成c的一元一次方程后，只需要口算就可得出答案。

须知有些数学题由于数字巨大，只有用最简单的计算方法才能得到答案。

多元一次方程重点应该讲什么呢：等量关系、消元法。本题讲师半堂课讲的内容，班里一定有同学讲得比他好，用时还少。

题40（2023年12月28日更新）

幻方问题（见下图）

讲课老师的解题方法过于繁琐，出题也不够严谨。简单直接的解法如下：

已知4个三角形的数字和每每相等，即:

A+C+D=H+E+F=B+C+E=G+D+F

直观可见，左上及右下的两个三角形与右上及左下的两个三角形的数字和相等，即:

A+C+D+H+E+F=B+C+E+G+D+F

化简得到:

A+H=B+G (1)

将A=3n-2; C=3n; F=2n+1代入(1)式:

3n-2+H=3n+2n+1

H=2n+3

本题给出三个顶点的值和每个三角形三顶点的数字和相等这两个条件就够了，要求与中间四边形顶点的数字和也相等的条件是多余的。

题41（2024年1月26日更新）

简化的三阶幻方（见下图）

这道题，讲课者从出题到解题都有问题：出题的条件中，完全不需要给出3个已知数字；解题中，也不需要设未知数和列方程。

本题是简化的三阶幻方，分四步解。

第一步，9个数，从首尾开始依次相加，得到和相等的四组数：1-11、2-10、3-9、5-7，余下单独的数字6，正好放在中心圆内。

第二步，根据直线上三数之和的奇偶性，选择首先要填入的一组数。本题直线上三数之和为18，四组数中，只有2和10是偶数，它们必须和中心圆6在同一条直线上，才能使所有直线上的三数之和均为偶数。如图填入：

○

○ ○

2 6 10

○ ○

○

第三步，填入另一条经过中心圆的直线上的一组数。因一条直线上已填入10，再填入的两个数均须小于8，这里只有数组5-7符合条件，如图填入：

5

○ ○

2 6 10

○ ○

7

第四步，填入空缺处余下四个数，如图：

5

11 3

2 6 10

9 1

7

本题再添加两条连接数字的直线，填入数字改为1-9的连续数，图像旋转45度，就是标准的三阶幻方。

题41（2024年1月29日更新）

三阶幻方（见下图）

又是一次误人子弟的讲题：计算顺序错误，计算方法笨拙、繁琐。

很简单的三阶幻方。

第一步，求出中间数。设中间数为x，根据公式，幻和=3x，得到中间数x的值：

x=(13+7)÷2=10

第二步，设右上角的数为a，左下角的数为b，有：

a+b=20 (1)

a+13=b+11 (2)

(2)式化简：

b-a=2 (3)

(1)+(3)：

2b=22

b=11

接下来，由幻和等于30的限定，依次口算出应该填入的数字，填入相应的空格中。

题42（2024年1月31日更新）

625×625的简便算法（见下图）

数学大咖的简便算法，就是把625的平方，变成(600+25)的平方，然后用平方和公式展开计算，并不简便。

有更简便的算法。

尾数为25的多位数，可以表示为a25，a是百位及其以上的数字。a25×a25，其积的尾数是625，625前面的数字设为x，可以用公式求出，即：x=(a×a+a/2)×10。如本题，a是百位数的6，6×6=36，加上6/2，得到39，39再乘10是390。390放在625之前，就得到625×625的计算结果390625。

a可以是任何正整数。

题43（2024年2月4日更新）

字母替代数字的数字填空题（见下图）

这是一道用字母表示数字的数字填空题。讲题的内容并无错误，但缺乏了数学应有的严谨，解题不够简洁。例如，截图中，讲者列竖式做除以3的运算就是多余的，讲者也没有说明A只能取值3或7。

题目：ABCDE×A=EEEEEE，要求求出各字母替代的数字。

提取隐含已知条件：

1) EEEEEE÷E=111111

即：EEEEEE=111111×E

2) A×A<11×E

3) (100×A+99)×A>1111×E

4) EEEEEE中包含因数A。

解题，分解质因数：111111×E=E×3×7×11×13×37

由于A是个位数，A又不等于E，则A只能取值个位数的因数3或7。

1. 若A=3，根据条件2)，E=1，由于个位数1×3的尾数不是1，不合题意。

2. A=7，根据条件2)，E=5，个位数7×5的尾数是5，满足要求。

验证：

555555÷7=79365，满足本题所有要求。