小学数学应用题分类自学系列辅导(八.和差问题)

海阔天空

问题

本题

人数

分数

甲队

题意

两数

等式

长方形

公式

文字：海阔天空

图片：源于现行教科书封面和插图



　　一.系列辅导的原由和目的

因为《小学数学应用题分类自学系列辅导》是陆续撰写和分享的，所以我在“系列辅导一.倍数问题”一文中用了2014个文字将分类自学系列辅导的原由和目的已经阐述过了，在此不必再叙。

本篇主要进行第八类和差问题的方法总结和精选8题的思路分析和详解过程。

　 二.和差问题方法总结

和差问题是指已知两个同类量的和与差求这两个量的大小，这个问题是在谈讨了“倍数问题”的基础上进行的。求解公式是：

(1) 大量=(和+差)÷2

(2) 小量=(和-差)÷2

(3)大量+小量=和(及其变形)

(4)大量-小量=差(及其变形)

已知两个同类量的和与差时，如果给这个和加上这个差就变成大量的二倍了，如果给这个和减去这个差就变成小量的二倍了，知道了2倍量，再求1倍量那就变成比较简单的倍数问题了，即几倍量÷几倍的几=1倍量，这就是对求解公式(1)和(2)的真正理解。

知道两个同类量的和与差可以直接用公式套，但在数学应用问题中一般都不是现成的和与差，往往是只给和与差中的某一个甚至两个都不直接给出，这就需要先变通得到，才能再用公式。

倍数问题中求解公式几倍量÷几倍的几=1倍量，这个关系式在小学数学应用题中可以说是最重要的一个，在利用同倍量、数倍量、和倍量、差倍量等解决问题时都要用到这个关系式，务必深刻理解、烂熟于心。

和差问题无论是传统的还是现代的各类考试题可以说是出现概率偏多的，特别是奥数题目，但遗憾的是我翻遍了3—6四个年级的8册教科书，仅仅只找到了四年级上册68页第8题1道和差问题的题目。所以精选9题中大部分都是我自编的，实在无法采纳教科书上原题。

为了重点突出用算术法列式计算解决问题，在精选9题的思路分析和详解过程中对用列解方程解决问题暂不涉及。

　

　

　　 三.和差问题精选9题

1.哥哥和弟弟今年共56岁，哥哥比弟弟大4岁，问哥哥、弟弟今年各是多少岁？

题意分析：

这个题目是“和差问题”中最简单的，只需直接应用关系式就行了，但怎样才能真正理解这求大量和小量的关系式呢？实际上如果让弟弟增加4岁就跟哥哥一样大了，即56+4应是哥哥年龄的2倍；如果让哥哥减少4岁也就跟弟弟一样大了，即56-4应是弟弟年龄的2倍，知其2倍量求1倍量，方法显而易见，这就是对“和差问题”关系式的真正理解。

解：(1)哥哥年龄为：

(56+4)÷2=60÷2=30(岁)

(2)弟弟年龄为：

(56-4)÷2=52÷2=26(岁)

或 56-30=26(岁)

答：哥哥今年30岁，弟弟今年26岁。

说明：

1.本题很简单和很基本，完全可以直接列式计算，但通过本题的详尽分析再求解主要是对基本数量关系的真正理解。

2.实际上在现实中大多题目并非能直接告诉同类二量的和与差，都要先变通，知道了同类二量的和与差才能再用关系式求解。

3.如果知道了两数和与两数差求两数也可先画线段图，后列式先求出小数再求大数。

2.淘气正在读一本281页的故事书，不小心合上了，他记得刚读完的连续两页页码之和是81。(四年级上册68页第8题)

(1)淘气刚读完的两页页码分别是多少？

(2)这本故事书还剩多少页没读？(3)如果淘气每天读20页，剩下的几天能读完？

题意分析：

仔细读题可知，这个题目是个“和差问题”，两页码数之和是81，两页码数之差是1，直接应用“和差问题”关系式求解即可。

解：(1)两页中后页码数为：

( 81+1)÷2=82÷2=41

两页中前也码数为：

(81-1)÷2=80÷2=40

(2)还剩的页数为：

281-41=240(页)

(3)读完剩下页数需要天数为：

240÷20=12(天)

答：(1)淘气刚读完的两页页码分别是40和41。

(2)这本故事书还剩240页没读。

(3)淘气每天读20页剩下的12天可读完。

说明：

本题所给条件不需先变通，只需按部就班套公式就可以了。

3.长方形的周长为36厘米，长比宽多4厘米，求长方形面积。

题意分析：

要求长方形的面积，需先求长方形的长和宽，由长方形的周长为36厘米可得长宽之和为18厘米，又知长宽之差为4厘米，这仍是个“和差问题”，可套公式先求长、宽，再求面积。

解：(1)长方形长宽之和为：

36÷2=18(厘米)

(2)长方形的长为：

(18+4)÷2=22÷2=11(厘米)

(3)长方形宽为：

(18-4)÷2=14÷2=7(厘米)

或 11—4=7(厘米)

(4)长方形面积为：

11×7=77(平方厘米)

答：长方形的面积是77平方厘米。

说明：

①在一个题目中，如果一提到长方形长或宽是多少，一般都要用到长、宽之和是多少继续思考问题，这是毫无疑问的，又给了长宽之差，自然而然应该想到这是一个“和差问题”。

②在一个题目中，如果给了长方形的周长是多少，首先应该想到的是它的一半就是长宽的和。

4.甲乙两仓库共储存稻谷120吨，从甲库调走20吨还比乙库多8吨，求甲乙两仓库原有稻谷各多少吨？

题意分析：

本题中同类二量之和是120吨，同类二量之差应是20+8=28吨。有了同类二量的和与差，就可以套公式了。

解：(1)甲乙两库稻谷重量差为：

20+8=28(吨)

(2)甲库原有稻谷：

(120+28)÷2=148÷2=74(吨)

(3)乙库原有稻谷：

(120-28)÷2=92÷2=46(吨)

或 120-74=46(吨)

答：甲库原有稻谷74吨，乙库原有稻谷46吨。

说明：

(1)本题从第一句话就应该朝“和差问题”思考。

(2)本题的重点是对“从甲库调走20吨还比乙库多8吨”的理解。

(3)本题中从甲库调走的20吨如果放到乙库去还比乙库多8吨的话，那么甲库应比乙库多20*2+8=48吨。题目这样的变化完全是有可能的。

5.有一个班级男、女人数的平均数是28，男生人数较多，与女生相差恰是两个闰年最小间隔数的2倍，求男、女各有多少人？

题意分析：

由男女生平均数是28很容易知道：男生+女生=28*2。由闰年最小间隔数也不难知道：男生-女生=4*2。问题迎刃而解

解：(1)男、女人数之和为：

28*2=56(人)

(2)男、女人数之差为：

4 *2=8(人)

(3)男生人数为：

(56+8)÷2=64÷2=32(人)

(4)女生人数为：

( 56-8)÷2=48÷2=24(人)

或 32-4*2=32-8=24(人)

答：男生有32人，女生有24人。

说明：

①本题对男女人数的和与差都没有直接给出，但一见到男女平均数，就应马上考虑到男女人数的和是多少，再细观后面条件，马上就能看出男女人数的差，问题立即显而易见。

②本题除了对“和差问题”的理解和掌握，还涉及到了平均数和关于闰年的知识。

6.甲乙两个建筑工程队共有246人，为了平衡两队技术和建造能力，从甲队抽调20人到乙队，两队人数刚好相等，求各队原有多少人？

题意分析1：

因为现有“甲队人数+乙队人数=246”，“从甲队抽调20人到乙队，两队人数刚好相等”，这句话的实质是“20人只是两队相差人数的一半”，所以原来甲队比乙队要多20*2=40，即甲队人数-乙队人数=20*2。又能直接套用“和差问题”数量关系式了。

解：(1)甲、乙两队人数差为：

20*2=40

(2)甲队人数是：

(246+40)÷2 =286÷2 =143(人)

(3)乙队人数是：

(246-40)÷2=206÷2=103(人)

或143- 20*2=143-40=103(人)

答：甲队有143人，乙队有103人。

说明：

(1)本题应分是三步，第一步为变通差的关系。

(2)本题的关键仍是对“从甲队抽调20人到乙队，两队人数刚好相等”这句话的真正理解。

题意分析2：

本题也可按“调配问题”思考，要求各队原有多少人，可先求甲队调出后各队人数，容易想到是246÷2=123(人)，所以甲队原有人数为123+20=143(人)，乙队原有人数为123-20=103(人)。(这个思路是我上三年级的孙女先想到的，我特意把这做为一种思路和解法补充了进来)。

7.某个同学在期末考试中，语数总分192分，语英总分184分，数英总分180分，求语数英三科各多少分？

题意分析：

本题有三个“关系句”，它们其实是三个等式：语+数=192，语+英=184，数+英=180，首先看到第一个等式是关于语数两分数之和，能不能得到关于语数两分数之差呢？自然需要细观后两个等式，容易发现，如果把后两个等式，左右两边分别相减，可得语-数=4，已经符合“和差问题”的条件了，这样可以先求出语、数两科分数，再用第二或第三个等式求英语分数。

解：由原题可得语数分数之和为192分，之差为4分，

(1)语文成绩应为：

(192+4)÷2=196÷2=98(分)

(2)数学成绩应为：

(192-4)÷2=188÷2=94(分)

(3)英语成绩应为：

184-98=86(分)

或 180-94=86(分)

答：语数英三科成绩分别为98分、94分、86分。

说明：

(1)本题的条件实际上是给了三个两数之和，直接应用第一个，再把另两个按照一定的目标和方向变通为所需的那一个，问题就能迎刃而解。

(2)对于后两个关系句“语英总分184分，数英总分180分”也可这样思考：因为两个关系句中英语分数相同，又知第一个和比第二个和多了4分，所以自然可得语、数之差为4分。

8.买2个作业本和3支中性笔共花10.4元，买2支中性笔和3个作业本共花8.1元，那么买1个作业本和1支中性笔各花多少钱？

题意分析：

本题是两个等式：2本+3笔=10.4，2笔+3本=8.1，容易看出两个等式左右分别相加可得5本+5笔=18.5，再给这个等式两边同除以5可得：1本+1笔=3.7，这已经是要求的两数之和了，再观察最初两个等式，如果把等式两边分别相减可得：1笔-1本=2.3有了这两数之和与两数之差就可以按部就班套公式了。

解：由原题条件可知：笔+本=3.7，笔-本=2.3，由和差问题公式可得：

(1)中性笔的支数为：

(3.7+2.3)÷2=6÷2=3(元)

(2)作业本的本数为：

(3.7-2.3)÷2=1.4÷2=0.7(元)

答：买1支中性笔3元，买1个作业本0.7元。

说明：

①本题看似跟“和差问题“的条件差距很大，但只要能抓住所给条件的特点去破解，总可以一步一步接近“和差问题”所需的“同类二量的和与差”，使问题得到解决，这正是“系列辅导”与“思路分析和寻求问题转化途径”所要突破的难题。

①另一方面，本题在很大程度上应是要凭经验思考问题。

9.城固县考院小学在挑战自我竞赛考试中，四年级某班张三和李四数学总分185分，后经卷面审核又给李四加了5分结果还是比张三低了6分，求张、李二人最初得分多少？

题意分析：

要求最初张三和李四得分多少，需要首先知道最初张三和李四二人分数的和与差，显然两分数之和还是185分没有改变，而两分数之差应变为6+5=11(因为李四增加5分后，差已减少了5分，要还原到最初的差就要在现在差上再加上5才对)。

解：(1)最初张、李分数差为：

6+5=11(分)

(2)最初张三数学成绩为：

(185+11)÷2=98(分)

(3)最初李四数学成绩为：

(185-11)÷2=87(分)

或 185-98=87(分)

答：最初张三得分为98分，李四得分为87分。

说明：

1.如果要求张三和李四最终得分，那么只需把两分数之和变为185+5=190(分)，而两分数之差还是6分，这时就可套公式了。

2.这个题目是一个“和差问题”中需要首先变通再套公式的典型例子，除了上面把求最初成绩变化为求最终成绩的变化外还有多种可能。比如：

(1)在高分数上再增加或减少。

(2)在低分数上再增加或减少。

(3)同时在高分上减少，又在低分上增加。

变化情况应该还有，在此就不再一一列举了。但无论是哪种情况的变化，都要结合后面要解决的问题是“最初”还是“最终”仔细思考改变某一个成绩会引起原来所给和与差会发生什么变化，一般都会改变两数和与差中的一个， 此类问题好像有点费解，但只要对本题真正理解了，万变不离其中。

上面9道“精选题”基本覆盖了“和差问题”基本题型和可能变化的不同情况，若能深刻理解和牢固掌握将为这个主要类型的应用题典定了相当扎实的基础。

因本人在职期间一直从事初中数学教学，对小学数学教学知识不是很熟，还得仔细钻研，内容顺序也不是很清楚，因此在编拟本套“应用题自学系统辅导”过程中难免会有不妥和疏漏之处， 特别是先后顺序安排需要跟现行教材相匹配，所以我把暂时拟定的目录表提供出来，如果能有幸遇到同行和能者，诚望提出宝贵意见，在此提前致谢！

在此期间正好巧遇城固县朝阳小学方芳老师，在“各类精选题”目录所涉及的内容顺序方面和提供教科书等给出了精心和宝贵的建议和提供了极大的方便，在此深表感谢！

　　分类自学系列辅导目录

1.倍数问题：2.倍比问题：

3.价格问题：4.平均数问题：

5.等式变形问题：6.归一问题：

7.归总问题：8.和差问题：

9.和倍问题：10.差倍问题：

11.调配问题：12.植树问题：

13.年龄问题：14.盈亏问题：

15.买几送几问题：16.方案选择问题：

17.倒推还原问题：18.排列组合问题：

19.逻辑推理问题：20.周期循环问题：

21.数字数位问题：22.锅牛爬井问题：

23. 至多与至少问题：24分率问题：

25.打折问题：26.货币兑换问题：

27.按比例分配问题：28.相遇问题：

29.追及问题： 30.行船问题：

31.列车问题： 32.环形运动问题：

33.工程问题： 34.鸡兔同笼问题：

35.时钟问题： 36.正反比例问题：

37.增减率问题：38.百分数问题：

39.利率问题： 40.规律性问题：

41.液体倒出问题.

备注：

1.上面彩色题目为已经编拟后的篇目。

2.分类情况有待继续完善和增减。

3.诚望感兴趣的同行和朋友提出宝贵意见。

　

　🙏谢谢您的光临与欣赏🙏