无心剑中译迈克 《代数的定义》

无心剑

阿贝尔

代数

方程

花拉子

丢番

我们

一个

数学家

数学

字母

math is the best language

that we can use to communicate

with the omnipotent God

we can use this magic language

to express the deepest secret

of the universe beautifully

we can experience

eternal beauty

in the world of math

Definition of Algebra

代数的定义

Learning algebra is a little like learning another language. In fact,algebra is a simple language, used to create mathematical models of real-world situations and to handle problems that we can't solve using just arithmetic. Rather than using words, algebra uses symbols to make statements about things. In algebra, we often use letters to represent numbers.

学代数有点像学外语。实际上，代数是一种简单的语言，用于对现实世界建立数学模型，而且还用于处理一些仅用算术无法解决的问题。代数不是使用文字，而是使用符号来对事物进行表述。我们在代数中常常用字母来代替数字。

Since algebra uses the same symbols as arithmetic for adding,subtracting, multiplying and dividing, you're already familiar with the basic vocabulary.

既然代数也跟算术一样使用加减乘除符号，你已经很熟悉这些基本词汇了。

In this lesson, you'll learn some important new vocabulary words, and you'll see how to translate from plain English to the "language" of algebra.

这一课，你将学习一些新的重要词汇，你将看到如何把日常用语翻译成代数语言。

The first step in learning to "speak algebra" is learning the definitions of the most commonly used words.

学习"说代数"的第一步，就要学习这些最常用术语的定义。

代数式|变量|系数|常量|实数|有理数|无理数|把文字转变为表达式

Algebraic Expressions

代数式

An algebraic expression is one or more algebraic terms in a phrase. It can include variables, constants, and operating symbols, such as plus and minus signs. It's only a phrase, not the whole sentence, so it doesn't include an equal sign.

一个代数式是由一个或多个代数项构成的短语。它能包含变量、常量、运算符，例如加号和减号。代数式只是短语，而非完整句子，因此它不包含等号。

Algebraic expression: 3x^2 + 2y + 7xy + 5

代数式：3x^2+ 2y + 7xy + 5

In an algebraic expression, terms are the elements separated by the plusor minus signs. This example has four terms, 3x^2, 2y, 7xy, and 5.Terms may consist of variables and coefficients, or constants.

在代数式中，"项"是基本元素，用加号或减号把各项分隔开。这个例子包含4项，3x^2,2y, 7xy, 与5。每一项可能包含变量，系数，或者常量。

Variables

变量

In algebraic expressions, letters represent variables. These letters are actually numbers in disguise. In this expression, the variables are x and y. We call these letters "variables" because the numbers they represent can vary—that is, we can substitute one or more numbers for the letters in the .

在代数式中，字母代表变量。这些字母实际上是伪装的数字。在上述表达式中，变量是x和y。我们把这些字母称为"变量"，是因为它们表示的数字能够变化——那就是说，我们能把不同的数字代入表达式中的字母。

Coefficients

系数

Coefficients are the number part of the terms with variables. In 3x^2 + 2y + 7xy+ 5, the coefficient of the first term is 3. The coefficient of the second term is 2, and the coefficient of the third term is 7.

系数就是含变量项的数字部分。在表达式 3x^2 + 2y + 7xy + 5 中,第一项系数是3，第二项系数是2，第三项系数是7。

If a term consists of only variables, its coefficient is 1.

如果某项只包含变量，那么它的系数是1。

Constants

常数项

Constants are the terms in the algebraic expression that contain only numbers. That is, they're the terms without variables. We call them constants because their value never changes, since there are no variables in the term that can change its value. In the expression 7x^2 + 3xy + 8 the constant term is "8."

常数项是指代数式中只包含数字的项。那就是说，它们是不含变量的项。我们把它们称为常数项，是因为它们的值保持不变，这又是因为常数项中没有变量来改变它的值。在表达式7x2+ 3xy + 8中，常数项就是8。

Real Numbers

实数

In algebra,we work with the set of real numbers, which we can model using an umber line.

在代数中，我们处理的是实数集，它可用一条数轴来直观表示。

Real numbers describe real-world quantities such as amounts, distances, age,temperature, and so on. A real number can be an integer, a fraction, or a decimal. They can also be either rational or irrational. Numbers that are not "real" are called imaginary.Imaginary numbers are used by mathematicians to describe numbers that cannot be found on the number line. They are a more complex subject than we will work with here.

实数描述现实世界的各种量，例如数量、距离、年龄、温度等等。一个实数可能是一个整数、分数、或者小数。实数可能是有理数，也可能是无理数。不是实数的数是虚构的。虚数是数学家用来描述数轴上不存在的数，比我们这里要处理的实数复杂得多。

Rational Numbers

有理数

We call the set of real integers and fractions "rational numbers." Rational comes from the word "ratio" because a rational number can always be written as the ratio, or quotient, of two integers.

我们把整数和分数的集合称为"有理数"。"有理数"这个词来自"比率"，因为任何一个有理数总能表示为两个整数的比率或商数。

Examples of rational numbers

有理数的实例

The fraction1/2 is the ratio of 1 to 2.

分数1/2表示1比2。

Since three can be expressed as three over one, or the ratio of 3 to one, it is also a rational number.

既然3能表达为1分之3，或者3比1，因此它也是有理数。

The number "0.57" is also a rational number, as it can be written as a fraction. 0.57=57/100

数字"0.57"也是有理数，因为它能写成一个分数，即0.57=57/100

Irrational Numbers

无理数

Some real numbers can't be expressed as a quotient of two integers. We call these numbers "irrational numbers". The decimal form of an irrational number is a non-repeating and non-terminating decimal number. For example, you are probably familiar with the number called "pi". This irrational number is so important that we give it a name and a special symbol!

有些实数不能表示为两个整数的商，我们称之为"无理数"。一个无理数写成小数形式是无限不循环的。例如，你可能对圆周率"Pi"这个数很熟悉，这个无理数如此重要，以至于我们给它命名，而且用一个特殊符号表示它。

Pi cannot be written as a quotient of two integers, and its decimal form goes on forever and never repeats.

圆周率Pi不能写成两个整数的商，它的小数形式是无限不循环的。

Pi=3.1415926....

Translating Words into Algebra Language

把文字翻译成代数语言

Here are some statements in English. Just below each statement is its translation in algebra.

这里有一些英语陈述句。每个陈述句的下一行就是它对应的代数式。

the sum of three times a number and eight

一个数的3倍与8的和

3x + 8

The words "the sum of" tell us we need a plus sign because we're going to add three times a number to eight. The words "three times" tell us the first term is a number multiplied by three.

"…的和"这几个字，告诉我们需要要一个加号，因为我们将一个数的3倍加到8上。"…的3倍"这几个字，告诉我们第一项是一个数乘以3。

In this expression, we don't need a multiplication sign or parenthesis.Phrases like "a number" or "the number" tell us our expression has an unknown quantity, called a variable. In algebra, we use lettersto represent variables.

这个表达式中，我们不需要乘号或括号。像"一个数"或"这个数"之类的短语，告诉我们表达式中含有一个未知量，称之为变量。代数中，我们用字母来代表变量。

the product of a number and the same number less 3

一个数与同一个数减去3之后的乘积

x(x - 3)

The words "the product of" tell us we're going to multiply a number times thenumber less 3. In this case, we'll use parentheses to represent the multiplication. The words "less 3" tell us to subtract three from the unknown number.

"…的乘积"这几个字，告诉我们将把一个数乘以同一个数减去3。这种情况下，我们将使用括号来表示乘法。"减去3"这几个字，告诉我们将从一个未知数中减去3。

a number divided by the same number less five

一个数除以同一个数与5的差

x/(x-5)

The words "divided by" tell us we're going to divide a number by the difference of the number and 5. In this case, we'll use a fraction to represent the division. The words "less 5" tell us we need aminus sign because we're going to subtract five.

"除以…"这几个字，告诉我们将用一个数除以同一个数与3的差。这种情况下，我们将用一个分式来表示除法。"减去5"这几个字，告诉我们需要一个减号，因为我们将要减去5。

译于2005年7月30日

1 × 8 + 1 = 9

12 × 8 + 2 = 98

123 × 8 + 3 = 987

1234 × 8 + 4 = 9876

12345 × 8 +5 = 98765

123456 × 8 +6 = 987654

1234567 × 8+ 7 = 9876543

12345678 × 8+ 8 = 98765432

123456789 ×8 + 9 = 987654321

1 × 9 + 2 = 11

12 × 9 + 3 = 111

123 × 9 + 4 = 1111

1234 × 9 + 5 = 11111

12345 × 9 + 6 = 111111

123456 × 9 + 7 = 1111111

1234567 × 9 + 8 = 11111111

12345678 × 9 + 9 = 111111111

123456789 × 9 +10 = 1111111111

9 × 9 + 7 = 88

98 × 9 + 6 = 888

987 × 9 + 5 = 8888

9876 × 9 + 4 = 88888

98765 × 9 + 3 = 888888

987654 × 9 + 2 = 8888888

9876543 × 9 + 1 = 88888888

98765432 × 9 + 0 = 888888888

1 × 1 = 1

11 × 11 = 121

111 × 111 = 12321

1111 × 1111 = 1234321

11111 × 11111 = 123454321

111111 × 111111 = 12345654321

1111111 × 1111111 = 1234567654321

11111111 × 11111111 = 123456787654321

111111111 × 111111111 = 12345678987654321

得到一个多项式的步骤是：取一些“已知”数，这些数既可以是明确的数（17、√2、π等），也可以是代表数的字母（a、b、c、……p、q、r等）；将这些数与一些未知量（x、y、z等）混合，进行有限次加法、减法和乘法运算，结果就是一个多项式。

尽管多项式在数学表达式中只占很小的比例，但是它们非常重要，特别是在代数中更重要。当数学家使用形容词“代数的”时，通常可以被理解为“关于多项式的”。仔细检查一下代数学中的某个定理，即使是抽象层次非常高的定理，经过层层分析其意义，我们很可能就会发现多项式。可以肯定地说，多项式是从古至今的代数学中最重要的概念。

1945年，诺伊格鲍尔和美国亚述学家亚伯拉罕·萨克斯（1915—1983）合作，出版了《楔形文字数学文献》（Mathematical Cuneiform Texts）。这本著作现在仍是关于古巴比伦数学的英文权威著作。当然，这方面的研究仍在继续，古巴比伦人的辉煌成就现在已经众所周知。特别是，我们现在知道他们掌握了一些可以被称为代数的技巧。

诺伊格鲍尔发现，汉谟拉比时代的数学文本有两种：“表格文本”和“问题文本”。表格文本就是乘法表、平方表和立方表等表格，以及一些更高级的列表，比如现存于美国哥伦比亚大学的“普林顿322”泥板就列出了毕达哥拉斯三元组，即满足a2+b2=c2的三元组(a,b,c)，根据毕达哥拉斯定理，这三个数对应于直角三角形的三条边。

古巴比伦人迫切需要这样的表格，因为虽然他们书写数字的系统在当时很先进，却不能像我们熟悉的10个数字那样方便地进行计算。他们的数字体系是六十进制而不是十进制。例如，十进制数37表示3个10加上7个1，而古巴比伦人的37表示3个60加上7个1，相当于十进制数187。因为缺少用来“占位”的0，事情变得更加困难。因为今天的记法中有0，所以我们可以区分284、2804和208 004等。

分数的书写方式就像我们表示小时、分钟和秒那样，这种方式其实是古巴比伦人的原创。例如2.5用这种表示就写成2:30。古巴比伦人知道，在他们的体系下，2的平方根大约是1:24:51:10。这个数是1-[24-(51-10÷60)÷60]÷60，它与2的平方根的精确值相差约一千万分之六。与整数一样，缺少占位数字0会产生歧义。

即使在表格文本中，代数计算的思维也很明显。比如，我们知道平方表可辅助进行乘法计算，公式

把乘法简化为减法（和一个简单的除法）。古巴比伦人知道这个公式，或者说他们知道其本质，只是不知道怎么用上面的办法表示成抽象的公式。他们把这个公式看成一个可以运用于特定数字的步骤，即我们今天所说的算法。

詹姆士·纽曼（1907—1966）在《数学的世界》中写道：“关于古埃及数学的水平在学习古代科学的学生中，存在着较大的不同认识。”这些不同的观点现在依然存在。然而，在阅读了古巴比伦和古埃及的代表性文献之后，我不明白为什么还有人主张，这两个公元前1750年左右分别在新月沃地两端繁荣起来的文明古国在数学发展水平上是相当的。尽管它们的数学都是算术风格，而且也没有证据表明他们拥有任何抽象能力，但是古巴比伦的问题显然比古埃及的问题更深刻、更精妙。（顺便说一下，这也是诺伊格鲍尔的观点。）

这些古代人仅使用最原始的数字书写方法就取得了如此辉煌的成就，这真是了不起的事情。但也许更令人惊讶的是，在随后的几个世纪里，他们几乎没有取得新的数学进展。

丢番图到底是不是代数之父，这正是律师所谓的“难以决定的问题”。一些非常受人尊敬的数学史学家都否认这一点。比如，在《科学传记大辞典》中，库尔特·沃格尔认为丢番图的工作并不比古巴比伦人和阿基米德（公元前3世纪）的工作更代数化，并得出结论：“丢番图肯定不是人们通常称的代数之父。”范德瓦尔登把代数的起源向后推迟了一段时间，他认为数学家花拉子密（780—850）才是代数之父。花拉子密比丢番图晚600年。此外，现在的本科生所学的被称为“丢番图分析”的数学分支通常作为数论课程的一部分，而不在代数课程里讲授。

阿贝尔相当早慧。当他还是一个中学生的时候，就按照高斯（Carl Friedrich Gauss）对二项式方程的处理方法探讨了高次方程的可解性问题。起初，他认为自己解一般的五次方程已获成功，但很快就发现了自己的错误。进大学后，他继续研究这一问题，终于在1824年撰写了一篇题目为“论代数方程，证明一般五次方程不可解性”的论文，该论文严格地证明了一般五次方程不能像低次方程那样用根式求解，从而解决了困惑数学家300年之久的一个难题，这时他年仅22岁。他自己出资印发了这篇论文。他在该论文的开头写道：“许多数学家全身心致力于寻求代数方程的一般解，只有几位数学家试图证明解的不可能性。然而，如果我没弄错的话，他们都还未成功。所以我才敢奢望数学家们善意地接受这篇论文。”阿贝尔的这篇论文促使数学家们进一步思考什么样的特殊方程能用根式求解，最终推动了伽罗瓦群的发现和代数方程根式可解问题的彻底解决。法国数学家勒让德说：“这项工作是阿贝尔的永恒纪念碑。”另外，阿贝尔在1823年还发表了其他一些论文，其中包括《用定积分解某些问题》。该论文首次给出了积分方程的解，从而为积分方程在19世纪末20世纪初的全面发展开辟了道路。

在柏林，他完成了关于椭圆函数的一篇开创性论文，之后就回到了挪威。他原希望回国后能被聘为大学教授，但希望又一次落空。于是阿贝尔只能靠给私人补课，或当代课教师谋生，生活极其困苦，用他自己的话来说“穷得就像教堂里的老鼠”。在这样艰苦的条件下，他仍坚持科研工作，并写了多篇关于椭圆函数的论文。阿贝尔和雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）是公认的椭圆函数论的奠基人，他发现了椭圆函数的加法定理、双周期性，并引进了椭圆积分的反演，从而开创了椭圆函数这一数学分支。后来，阿贝尔的声誉随着他的研究成果逐渐传到欧洲的所有数学中心，但他却身处消息闭塞之地，毫无所知。更不幸的是，阿贝尔因肺病于1829年去世，终年不足27岁。死后的第三天，柏林大学给他的数学教授聘书才寄到挪威，这也是后世数学家无不为之深深惋惜的事情——“迟到的聘书”。当德国数学家雅可比看到阿贝尔《论一类广泛的超越函数的一般性质》后，于1829年3月14日写信给勒让德质问：“阿贝尔先生的这个发现是什么样的发现啊！……有谁看见过同样的东西吗？这个发现也许是我们这个世纪最伟大的发现，在两年前就给你们科学院了，可你们的同事们怎么会没有注意到呢？”挪威政府得知了这个质问，也让其驻巴黎的领事就这份遗失的手稿提出了外交抗议。为此，柯西在1830年把它翻了出来，经过讨论后，法国科学院于1830年决定授予阿贝尔数学大奖。然而，阿贝尔此时已经去世了。

阿贝尔的一生十分短促，却在数学史上留下了光辉的篇章。数学中以他的姓氏命名的概念和定理有：阿贝尔群、阿贝尔变换、阿贝尔求和法、阿贝尔函数、阿贝尔范畴、阿贝尔扩张、阿贝尔定理、阿贝尔遍历定理、阿贝尔连续性定理、阿贝尔方程、阿贝尔积分方程、阿贝尔微分、阿贝尔积分、阿贝尔射影算子、阿贝尔问题……著名数学家埃尔米特（Charles Hermite）曾说：“阿贝尔留下来的问题，够数学家忙150年。”克雷勒在他主编的《纯粹与应用数学学报》里写道：“阿贝尔在他的所有著作里都打下了天才的烙印，表现出了不起的思维能力。我们可以说他具有能够穿透一切障碍深入问题的根底，具有似乎是无坚不摧的气势……他又以品格纯朴高尚以及罕见的谦逊精神出众，使他的人品也像他的天才那样受到不同寻常的爱戴。”德国著名数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）说：“阿贝尔做出了永恒、不朽的东西！他的思想将永远给我们的科学以丰饶的影响。”

正负号规则：负负得正

对许多人来说，这是算术中一个主要的疑问点。“用一个负数乘以一个负数是什么意思？”他们问道。我见过的最好的解释是加德纳（Martin Gardner）作出的，具体如下。设想一个很大的礼堂里坐满了两种人，好人和坏人。我定义“加法”的意思是“把人送进礼堂”。我定义“减法”的意思是“把人叫出礼堂”。我定义“正数”的意思是“好”（“好人”），而“负数”的意思是“坏”。加一个正数意味着送一些好人进礼堂，显然这增加了那里的善良人数的净值。加一个负数意味着送一些坏人进去，这减少了善良人数的净值。减一个正数意味着叫出一些好人——礼堂中善良人数的净值减少了。减一个负数意味着叫出一些坏人——善良人数的净值增加了。这样，加一个负数恰似减一个正数，而减一个负数就像加一个正数。乘法就是重复的加法。负三乘负五？叫出五个坏人。这样做三次。结果呢？善良人数的净值增加了15……。

诸如此类，含有多个未知量并且可能出现无穷多组解（解的数量取决于所求的解的类型）的方程被称为不定方程。

最著名的不定方程是费马大定理（即费马最后定理）中出现的x^n+y^n=z^n，其中x、y、z和n都是正整数。当n=1或n=2时，这个方程有无穷多组解。费马大定理称当n是大于2的正整数时，该方程没有正整数解。

1637年左右，皮埃尔·德·费马（1607—1665）在阅读丢番图的《算术》（拉丁文译本）时突然想到了这个定理，于是他在该书的页边空白处留下了著名的注记，陈述了这个命题，然后（也是用拉丁文）补充道：“对此我已经发现了一个完美的证明，可是这里的空白太小，写不下。”实际上直到357年之后，这个定理才被安德鲁·怀尔斯（1953— ）证明。

那么，丢番图是代数之父吗？我之所以愿意给他这样的荣誉称号，正是因为他的字母符号体系——用特殊的字母符号表示未知量、未知量的幂、减法和相等。当我第一次看到丢番图用自己的符号写出的方程时，我的第一反应可能和你一样：“他说的是啥？”不过，在看过他的一些问题之后，我很快就熟悉了他的字母符号体系，甚至能够不假思索地快速阅读丢番图的方程。

最终，我领悟到丢番图创造出的字母符号体系非常先进。我确实认同沃格尔所说的《算术》中缺少一般方法的观点，我也愿意承认丢番图在选题上缺乏原创性。也许他并不是第一个使用特殊符号表示未知量的人。

然而，由于历史的命运，最早把如此广泛、全面、富有想象力的问题集传给我们的是丢番图。遗憾的是，我们不知道谁是第一个使用符号表示未知量的人，但既然丢番图这么早就能如此熟练地使用符号来表示未知量，我们应该为此向他致敬。也许某一个我们不知道并且永远不会知道的人才是真正的代数之父。但是既然这个头衔空缺，我们不妨把它送给一个我们知道的最有资格的古代人，他的名字就是丢番图。

希帕提娅是数学史上第一位女性数学家。她的所有著作都丢失了，我们只能通过传说来了解她。从这点来说，我们很难判断她是否是一位重要的数学家。但无论如何，她肯定是一位重要的学者。她在缪斯神庙授课（她的父亲塞昂是神庙的最后一任馆长），既是教材的编者、编辑，也是教材的保存者，其中就有数学教材。她教授新柏拉图主义哲学，也是该学派的拥护者。这种哲学试图确立在后罗马时代非常缺乏的秩序、正义和和平。据说她非常美丽，而且终生未婚。

希帕提娅在教学和学术研究方面非常活跃。当时亚历山大城的教长是西里尔，后来被称为圣西里尔，由于时代久远而且神学争论非常复杂，我们很难断定他到底是一个什么样的人。正如我们从《天主教百科全书》中了解到的那样，当时的亚历山大城总是处于“暴乱”之中。总之，西里尔卷入了与驻埃及的罗马行政长官奥列斯特之间的一场教会与国家的争端当中，有人散布谣言说希帕提娅是和解的主要障碍。一群暴徒被煽动起来（也许是自行发起暴动），他们把希帕提娅拖下车，穿过街道拖进教堂，据文献记载及其译文描述，她被用贝壳或者陶瓷碎片凌迟处死。

希帕提娅似乎是最后一个在缪斯神殿授课的人，人们认为她在415年的骇人听闻的死亡标志着古代欧洲数学的终结。之后，西罗马帝国勉强支撑了60年，亚历山大城在东罗马帝国（拜占庭帝国）各代皇帝的统治下又延续了164年（其间被波斯短暂占领，时间为616 ～ 629年），但其学术生机已经荡然无存。代数学历史的长河中的下一位著名人物的家乡在亚历山大城以东900英里的底格里斯河沿岸，又回到了美索不达米亚平原，2500年前，那里正是一切故事的开端。

英文的“代数”一词“algebra”取自一本书的书名，那本书就是在820年左右阿拔斯王朝的巴格达写成的，作者的名字是穆罕默德·本·穆萨·阿尔·花剌子模（Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al - Khwarizmi）。我将像大家一样称他为花拉子密。

巴格达曾经是一个伟大的文化中心（约786 ～ 833年），现代西方人只模糊地知道这里是《一千零一夜》故事中所描绘的有元老、奴隶、商队和远行商人的世界。阿拉伯人自己认为那时的巴格达正处于黄金时代，尽管事实上阿拔斯王朝已经不具备强大的军事力量来维持当初赢占的领土，而且正在因北非和高加索等地区的叛乱而进一步失去领土。

波斯是阿拔斯王朝领土的一部分，信仰和世俗权力两方面都受到统治者的控制。然而，从1400年前的米底王国开始，波斯就已经有了高度文明，而公元800年的阿拉伯人与他们在沙漠居住的祖先只隔了六代。因此，在某种程度上，阿拔斯人对波斯人怀有某种文化上的自卑情结，就像古罗马人对古希腊人一样。

除了波斯人之外，还有古印度人。公元4世纪和5世纪，古印度北部统一在笈多王朝之下，但此后又渐渐分成小国，这种情况一直持续到土耳其列强在10世纪末的入侵。中世纪的印度文明对数特别着迷，尤其是一些非常大的数，他们还特意给这些数起了名字（你也许曾经看到过梵文术语“tallakchana”，它代表10^53 ）。数字0的发现——这个不朽的荣耀——属于古印度人，也许归功于数学家婆罗摩笈多（598—670），而我们所说的阿拉伯数字实际上也起源于古印度。

除了古印度人之外，当然还有中国人。至少从7世纪中叶开始，中国佛教高僧唐玄奘西行，印度由此开始与中国保持文化往来，波斯经由丝绸之路与中国进行频繁的贸易往来。中国很早就有了自己的数学文化。

因此，有闲情逸致的巴格达人熟悉当时文明世界中发生的任何事情。他们通过亚历山大城以及他们与拜占庭帝国之间的贸易往来了解到古希腊文化和古罗马文化，他们也能够容易地接触到波斯、古印度和古代中国的文化。

要使阿拔斯王朝的巴格达成为一个理想的保存丰富知识的中心，所需要的就是一所学院，一个能够查阅书面文献、举办演讲和学术会议的地方。不久，这样的学院就出现了，人们称它为智慧宫（Dar al-Hikma）。这所学院最鼎盛的时期是阿拔斯王朝第七任统治者马蒙统治的时期。用亨利·罗林森爵士的话说，马蒙统治时期的巴格达“在文学、艺术和科学等领域同科尔多瓦一样达到世界最高水平，而在商业和财富方面则远远超过了科尔多瓦”。这就是花拉子密生活和工作的时期。

我们对花拉子密的生平了解得很少，对他的生卒年份（约783—850）也只知大概。在阿拉伯历史学家和目录学家的著作中，关于花拉子密有一些枯燥的零碎记录，如果你想对他了解得更详细，我建议你参考《科学传记大辞典》。我们只知道花拉子密编写了几部著作：一部是关于天文学的，一部是关于地理学的，一部是关于犹太历法的，一部是关于古印度数字体系的，还有一部是编年史。

这部关于古印度数字体系的著作只有拉丁文译本保存了下来，它的卷首语是“根据花拉子密……”（Dixit Algorithmi...）。这部著作叙述了现代十进制算术体系的计算法则，这些法则是古印度人发明的，它的影响非常深远。因为这段卷首语，掌握了这种“新算术”（相对于旧罗马数字体系，后者对运算毫无帮助）的中世纪欧洲学者称自己为“算术家”（algorithmists）。很久之后，人们用“算法”（algorithm）这个词来表示经过有限次确定步骤后可以完成的计算过程。这是现代数学家和计算机科学家使用的含义。

真正吸引我们的是一本名为《还原与对消计算概要》的书。这是一本代数和算术教材，是600年前丢番图的《算术》之后在这个领域中第一部意义重大的著作。此书分为三部分，分别关于二次方程的解法、面积和体积的测量以及处理复杂的继承法所需要的数学。

严格地说，这三部分中只有第一部分属于代数，这有些令人失望。而且花拉子密没有字母符号体系，因此他既没有用字母和数表示方程的方法，也没有表示未知量和未知量的幂的符号。对于我们写成如下形式的方程：

而它在花拉子密的书中的形式如下：

一个平方与10个该平方的根之和等于39迪拉姆，也就是说，当一个平方加上它的根的10倍后总和等于39时，这个平方是什么？

（迪拉姆是一种货币单位。花拉子密用它表示我们现在所说的常数项。）

另外，在花拉子密的著作中，我们没有看到丢番图从几何方法向符号运算的历史性转变。这并不奇怪，因为花拉子密没有要处理的符号，但这与600年前丢番图取得的伟大突破相比稍有一些倒退。范德瓦尔登说：“我们可以排除花拉子密的工作深受古希腊数学影响的可能性。”

事实上，花拉子密的主要代数成就是提出了把方程作为研究对象的想法，他将所有包含一个未知量的一次方程和二次方程分类，并给出操作它们的法则。他把这些方程分成6种基本类型，用现代字母符号体系把它们写出来就是：

其中某些方程在我们看来显然属于同一类型，那是因为我们有负数的概念，而花拉子密没有这样的知识。当然他可能会提到减法，提到一个量比另一个量多，或者一个量比另一个量少，但是，他的自然的算术意识是用正数来看待一切。

至于操作技巧，就是引入了“还原”（al-jabr）和“对消”（al-muqabala）。一旦碰到类似x^2=40x-4x^2的方程（或者如花拉子密所说：“一个平方比四十个该平方的根少四个平方。”），你如何把这个方程转化成6种基本方程类型中的一种呢？将这个方程的两边加上4x^2，“还原”这个方程，就得到第一种类型的方程：5x^2=40x

这就是在方程两边加上相等的项。相反的做法是将方程两边减去相等的项，即“对消”。例如，在方程两边同时减去29可以把方程50+x^2= 29+10x转化成第五种类型21+x^2=10x。

这些操作方法都不是新的。事实上，还原和对消的方法在丢番图的书中就出现过，当然，丢番图的书中有丰富的字母符号体系来帮助处理方程问题。图默在《科学传记大辞典》中说：“花拉子密的科学成就其实很普通，但是其影响是巨大的。”

事实上，我担心此刻的读者会产生这样的想法：这些古代和中世纪的代数学家“不是很聪明”。公元前1800年的古巴比伦人就已经在求解写成文字问题的二次方程，而2600年之后的花拉子密仍在求解写成文字问题的二次方程。

我承认这的确有点儿令人失望。然而，从某种程度上说这也是令人振奋的。形成符号代数的进展极其缓慢，说明这个课题处于非常高级的层次。借用约翰逊博士的比喻，其奇妙之处不在于人们花了如此长的时间才学会做这些事情，而在于人们能做到这些事情。

事实上，代数学的发展到了中世纪中期才开始出现一点起色。在花拉子密之后，阿拉伯地区涌现了许多著名的数学家。塔比·伊本·库拉（836—901）就是花拉子密的后一代人，他也生活在巴格达，在天文数学和数论方面做出了杰出的工作。一个半世纪之后，西班牙的科尔多瓦的穆罕默德·贾扬尼（989—1079）写了第一篇关于球面三角学的论文。然而，他们都没有在代数学上取得重大进展。特别是，没有人尝试去重复丢番图在字母符号体系领域的伟大突破，所有人都在使用文字表述他们的问题。

下面，我将详细介绍另一位中世纪的数学家，不仅因为他值得介绍，而且他还是通往文艺复兴初期欧洲的桥梁，代数学的发展直到文艺复兴时期才真正开始好转。

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奥马·海亚姆（约1048—1131）作为《鲁拜集》的作者闻名于西方。这是一本四行诗诗集，展示了极具个性的人生观，内容多是感慨生命无常，应及时行乐、纵酒放歌，其风格在某种程度上与英国诗人豪斯曼（1859—1936）的作品类似。爱德华·菲茨杰拉德（1809—1883）把其中的75首诗翻译成英语四行诗，每一首诗的押韵方式都是“a-a-b-a”。菲茨杰拉德翻译的海亚姆的《鲁拜集》于1859年出版，在第一次世界大战前的英语国家里非常受欢迎。（一本用华美珠宝装饰的《鲁拜集》原版复本同泰坦尼克号一起沉入了大海。）

《科学传记大辞典》认为海亚姆生活的年代最有可能是1048～1131年。因为没有更准确的日期，所以我只好同意这种观点。这样的话，海亚姆至少比花拉子密晚250年。在考察中世纪的智力活动时，我们一定要牢记这些巨大的时间跨度。

海亚姆生活和工作的地方位于第一次大征服的最东边。这一地区包括美索不达米亚、现在的伊朗北部和中亚的南部（今天的土库曼斯坦、乌兹别克斯坦、塔吉克斯坦和阿富汗）。在海亚姆的时代，这里既有民族冲突也有宗教冲突，涉及的主要民族有波斯人、阿拉伯人和土耳其人。

在1037年，也就是在海亚姆出生的几年前，一位名叫塞尔柱的伽色尼土耳其雇佣兵造反并打败了伽色尼军队。这个新建立的土耳其政权迅速扩张。1055年，当时海亚姆7岁，塞尔柱的孙子接管巴格达，并自封为苏丹，意思就是“统治者”。

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因此，海亚姆的一生都在塞尔柱土耳其的统治之下度过，他的重要赞助人是塞尔柱帝国的第三位苏丹马立克沙（1055—1092）。马立克沙的统治时期是1073～1092年，首都是今天伊朗境内的伊斯法罕市，位于伊拉克巴格达以东约700千米。马立克沙没有他的维齐尔（相当于宰相）尼扎姆·穆勒克（1018—1092）有名，穆勒克是历史上有名的治国之才，也是一位外交天才，他同海亚姆一样，是波斯人。马立克沙、穆勒克经常与哈桑·萨巴赫（1050—1124）并称为当时的“波斯三巨头”，是塞尔柱帝国的三名重要人物。

在宗教方面，马立克沙宫廷似乎很有包容心，这就是中世纪的大致情况。这也许非常适合海亚姆。他的诗表现出一种怀疑论和不可知论的人生态度，与他同时代的人通常认为他是一名自由思想家。作为伊斯法罕大天文台的台长，海亚姆主要忙于研究和学习，尽量不参与麻烦的事情，只是按要求编写正统宗教手册或履行每个信徒的义务。我们可以从现存的这些诗和传记看出，海亚姆给现代读者留下了非常深刻的印象。

作为代数学家，他的主要成果是他在二十多岁时去伊斯法罕之前写的一本书，书名是《还原与对消问题的论证》。

同花拉子密和中世纪的其他阿拉伯数学家们一样，海亚姆忽视了或者不知道丢番图在字母符号体系方面的伟大突破，而是用文字阐述每一个问题。另外，他也像古希腊人一样使用了强大的几何方法，在求解数值问题时很自然地转向几何方法。

海亚姆对代数学发展的主要贡献在于他首先开始严肃地研究三次方程。由于缺少适当的字母符号体系，而且海亚姆很明显不愿意接纳负数，因此他的研究显得很费力。比如，我们书写的方程x^3+ax=b，海亚姆将其表述为“一个立方加上若干边等于一个数”。不过他仍然提出并解决了几个涉及三次方程的问题，只是他的解法都是几何方法。

这并不是三次方程在历史上第一次出现。我们已经看到，丢番图解决过一些三次方程；甚至在丢番图之前，阿基米德在考虑如何把一个球分成两部分，使得它们的体积之比是给定的比例等类似问题时，也遇到了三次方程。（你如果稍微想一想，就会想到这与阿基米德对浮体的兴趣有关。）海亚姆似乎是第一个把三次方程分成不同类型的人，他把三次方程分成14种类型，他知道如何使用几何方法处理其中的4种类型。

下面是海亚姆考虑的一个三次方程的例子：

画一个直角三角形。从直角所在的顶点作斜边上的垂线段。如果这条垂线段的长度加上这个直角三角形最短边的长度等于斜边的长度，你能知道这个直角三角形的形状吗？

答案是这个三角形的最短直角边与另一条直角边的比必须满足下面的三次方程2x^3-2x^2+2x-1=0

这个比值完全决定了这个直角三角形的形状。

这个方程唯一的实数解是0.647 798 871...，这个无理数非常接近有理数103/159。所以，直角边是103和159的直角三角形非常接近这个问题的答案，读者可以轻松验证。海亚姆采用了一种间接的方法，求解一个略微不同的三次方程，利用两条经典的几何曲线的交点给出了这个方程的数值解。

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古巴比伦人发明了一些技术，用来求解包含一个未知量的某些线性方程和二次方程。

后来，古希腊人用几何方法解决了类似的方程。

在公元3世纪，丢番图将研究范围扩大到很多其他类型的方程，包括高次方程、多变量方程以及同类方程的方程组。针对代数问题，他发展了第一个字母符号体系。

中世纪阿拉伯学者发明了“代数”这个词语。他们开始把方程作为有价值的研究对象，同时根据已有技术求解方程的难易程度，对线性方程、二次方程和三次方程进行了分类。