<p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"> 一个数学观念一旦被创造出来它并非是一个绝对静止的“真理”，而是在历史的长河中，持续发展和壮大。儿童的数理逻辑思维是在漫长的岁月中逐步长成一棵参天大树的，基于视知觉的、好玩的游戏中所蕴含的“动作逻辑”是其生长的起点，就像种子是大树的起点一样，外在的“动作逻辑”正是在“意义逻辑”的持续推动下，逐步内化为儿童大脑中形式化的数理逻辑思维的。儿童的几何观念，是在主客交互的动作中，由儿童自己建构生成的，或者说想象、发明创造的。</p><p class="ql-block"> 儿童的几何观念发展遵循的规律是：从早期具体的拓扑几何空间观念，到欧氏几何空间观念（包括6-12岁的前欧氏几何空间观念），再到理论化的拓扑几何空间观念。</p><p class="ql-block"> 3-6岁的儿童开始进行绘画创作，此时儿童的空间观念还不是刚性的欧氏几何观念，而是橡皮泥式的拓扑几何观念，也就是说，构成图形的“整体材料”类似于橡皮泥，可以随意拉伸、压缩，只要没有发生断裂、粘连，它们就总是一样的。而儿童并不是瞬间获得临近、分离、次序、封闭、连续性等拓扑几何观念的，他们需要在丰富的操作活动中，不断协调各种观念之间的相互关系。而成人所熟知的欧氏几何观念却是刚性的，一个图形被拉伸或者压缩，那么它的长度或者面积或体积总会发生改变。儿童正是在他们所拥有的拓扑几何观念的基础上，给图形“添加”了长度、面积、体积等度量性质，于是就从拓扑几何观念“生长”为欧氏几何观念。</p><p class="ql-block"> 4-7岁左右的儿童开始从“拓扑空间”阶段向“前欧氏（物理）空间”阶段过渡。刚性的欧氏空间观念仅靠“观看”是远远不够的，它需要儿童对物体施加动作，以及对自己的动作本身进行协调，才能构造出形状观念。同时儿童的内在认知结构只有具备了可逆性，他们才能构造出初步的欧氏几何图形。儿童在4岁以前的几何观念，几乎全部都是拓扑性质的，而后拓扑观念逐步消失，最终形成了欧氏几何空间观念。不同阶段儿童所建构生成的几何观念具有本质的不同，在脑海中生成的观念的发展水平不同。</p><p class="ql-block"> 6-12岁儿童创造的几何观念却是具体的、有限的，物理性的，欧氏几何观念是抽象的、无限的、形式化的，而这正是我们将小学阶段的几何观念称为“前欧氏几何空间观念”的主要原因。</p><p class="ql-block"> 从数学发生学的角度讲，前欧氏几何阶段，是正式欧氏空间观念形成的“浪漫阶段”（整体初步告知），初中的欧氏几何学习属于欧氏空间观念建构生成的“精确阶段”（精确深入学习），而高中的解析几何（包括向量几何）则属于欧氏几何空间观念形成的“综合阶段”（综合应用提升）。</p><p class="ql-block"> 所以对于幼儿和低段的几何教学，任何试图将欧氏几何观念提前下移的做法都是无效且愚蠢的，“课程”的形态只能是活动的，游戏的，自由的，他们可以通过乱涂乱画，创作作品去表达自己，用内在认知结构解释描述他们的世界。儿童的几何观念像一棵种子一样需要在大量的具体的丰富的操作过程中去发芽开花，直到长成在一棵参天大树。</p>