学习有感

王十二

学生

学习

分数

儿童

小数

数学

观念

教学

认识

理解

拨开云雾见月明

通过一段时间的《玩游戏学数学》课程学习与实践，我逐渐明朗：贞元数学强调的“玩游戏，学数学”中的游戏既指纯粹动作化的操作性游戏，也指纯粹形式化的思维游戏；而且，越是低段越倾向于动作化游戏，随着儿童年龄的增长，特别是认知能力的发展，再逐步过渡到内在的思维游戏。也就是说，贞元数学坚信低段儿童的数学学习应该是从“手”到“脑”的过程——只有通过动作化的游戏活动积累了大量的动作经验，这些经验才能逐步内化为儿童内在思维经验。

《玩游戏 学数学》课程学习大致分为五个环节：
（1）运用临床法诊断儿童原有的认知发展水平（A）——儿童的学习应当以他们头脑中已有的认知发展水平为前提和基础；（2）教师基于评估确定教学目标，并编制课前挑战单；（3）通过儿童独立完成的课前挑战单，评估儿童认知发展的最新水平（B）；（4）多元多维的课堂对话，建构生成新观念；（5）评估反馈；既可以确保刚刚生成的新观念可以得到及时练习，从而变得更加灵活；同时，也可以在练习的过程中，发现新问题，从而将学习引向未来。

　　1.临床法诊断儿童原有认知发展水平（A）
在准备正式上课之前，儿童头脑中总是已经有了一个立体的“认知图式”，该图式由前景观念和背景观念共同构成。前景观念就是皮亚杰意义上的、清晰的观念。背景观念则是混沌的、浪漫的、日常化的、不够清晰的观念。对于儿童来说，前景观念是“知其然，也知其所以然”的，而背景观念却是“知其然，不知其所以然”的。通过临床法诊断儿童当下的认知发展水平（A），主要是评估儿童前景观念的发展水平。准确地诊断出每个儿童的“水平A”是设计每一节课和每一个单元教学方案的前提与基础。

2.确定教学目标并编制课前挑战单
Ａ级目标：属于基础性目标，儿童经过独立完成课前挑战单即可抵达的目标。Ｂ级目标：属于核心目标，儿童需要经过充满挑战的课堂对话才能抵达的关键目标。Ｃ级目标：属于开放的可能性目标；儿童经历课堂对话之后建构生成的、朝向未来的可能性目标；该目标是为了将学习引向课后和未来，学习生活化，生活学习化，让探索性学习成为一种美妙的生活方式。确定三级目标之后，教师就可以着手编制“课前挑战单”了。挑战单一般由两部分组成：第一部分是针对背景图式的，提出学生“知其然”，却“不知其所以然”的问题，引导学生思考其“所以然”。第二部分是针对前景图式的：其中1-2个问题是儿童运用自己已有认知结构中的观念可以比较顺利的解决，这是一个“同化”的过程，目的在于“激活”儿童头脑中某些处于“沉睡”状态中的已有观念，使其与新的教学目标相对应的低级图式处于鲜活的待命状态；另有1-2个问题是儿童运用已有认知结构中的观念不能顺利的解决，儿童必须经过艰苦地思考、反复地尝试，努力促使顺应作用的发生，努力把问题解决到自己全力以赴所能抵达的最高水平，从而在正式进入课堂对话之前，使自己的认知结构以及整个生命都处于“愤悱”之态！

3．评估儿童通过独立探索抵达到的新的认知发展水平（B）
通过课前挑战单的完成情况，我们可以了解到：应该激活的观念是否已经激活？儿童在解决具有挑战性的问题时，主要的思维障碍和典型的认知冲突在哪？……总之，教师需要准确把握儿童的认知发展水平在经过他们自己的独立思考和解决问题之后所能抵达到的最新水平（B），从而让接下来的“课堂对话”真正做到有的放矢． 

 4.课堂对话  
课堂对话是发生学数学课堂教学模式的核心环节，肩负着“发明数学、创造数学”的重要使命。在发生学的数学学习过程中，通过独立完成课前挑战单之后，每个学生都带着自己最新的认知图式，要想把它提升到一个更高的水平，就必须敞开自己，与老师和其他同学进行充分地、深度地交流、分享、质疑、争论，直至不同的观点之间碰撞出绚丽的火花——一个崭新的“临时性共识”得以华丽丽地诞生。这也就意味着，一个由主观构造生成的、客观性的数学观念得以精彩地诞生！任何一个数学观念的创造和发明都决不是一次成型的，它是一个“从种子到大树”的生长历程。例如，就“圆观念”而言，两岁左右的儿童就已经能够“分辨”红色的圆和白色的圆，不过，他们分辨的其实是“颜色”，而不是“形状”；3岁左右的儿童能够“识别”什么样的图形是“圆”，也就是说，他们能够按照物体的形状（常见的）对物体进行简单分类；但是，如果你让他们在纸上画一个“圆”，他们一般会画成“椭圆”，并确信自己画的就是“圆”；实际上，只要是封闭图形，他们画出来的图形基本上都是一样的。4岁多的儿童不仅可以识别圆形，而且也可以在纸上画出比较“标准”的圆，当然，“圆”只是作为一个整体性的图形被他们所认知，他们还不能识别圆的局部的几何特征（圆心、半径等）。5岁多的儿童可以用某种材料（棋子）自己动手构造一个“圆”，圆心和半径还没有作为一个主题凸显出来，所以，他们还不会产生对其进行命名的“愿望”，但是，在操作过程中，儿童已经在“应用”这些“概念”了。在漫长的具体运算阶段（6—12岁），儿童学会了对圆心、半径的命名，以及对周长和面积的测量与计算。初中阶段，儿童学习了很多有关圆的知识，但是，最重要的无疑是圆的“科学概念”（到定点的距离等于定长的点的集合）。到了高中，圆就意味着一个代数方程，而且，儿童还可以通过代数方程去研究关于圆的几何性质——这些性质往往隐藏于某个运动变化的过程之中，所以，他们会建构新的“圆观念”，即：到定点的距离等于定长（非零）的动点的轨迹……再往后，“圆”就会跑出纯粹数学的范畴，圆满，圆滑，内方外圆……“圆”具有某些文化和哲学的意味。不同年龄的儿童，建构生成的是完全不同的“圆观念”，而这种“不同”又是极其独特的，体现了儿童在心理发生学意义上的生长性和创造性。 从个体发生学的角度讲，儿童最初就好比是一粒种子，一旦离开土壤水分、阳光雨露、农人的照料与守望等，种子是根本无法存活的！但是，一粒种子最后是长成一株小草，还是一棵参天大树，只能由种子自身来决定——高大的橡树只能出自橡仁儿，而纯洁的荷花只能出自莲种！所谓儿童发明数学、创造数学，就类似于一粒种子在客观条件下，依据自身的天性，自由地拔节和生长！  

 5.评估反馈
评估反馈是“过程性的”，而不可能仅仅是“终结性的”。做单元教学设计之前，必须通过临床法准确评估儿童当下的认知结构发展水平（A）；每一节课之前，必须通过儿童独立完成的课前任务清单，准确评估儿童经过独立思考之后其认知结构所抵达的最新水平（B）；正式的课堂对话中，还需要时时根据儿童当下的情绪、认知等各种综合因素，随时调整课堂对话的节奏和旋律……

数的认识“大观念”
大观念倡导的理念：少即是多——《人是如何学习的》
必须用少量主题的深度覆盖去替换学科领域中对所有主题的表面覆盖，这些少量主题使得学科中的关键概念得以理解。
“整数的认识”大观念：
1.数是由生活中的数量抽象出来的。
“整数的认识”从创设现实的情境开始，让学生经历从生活中的数量抽象出数的过程。比如一本书有1668页，我们校区大约有1100名学生，珠穆朗玛峰的高度8844米。当数字比较小的时候，让学生经历“从生活中的数量抽象出数”的过程离不开学生的直观操作活动：数一数、摆一摆、圈一圈、画一画。
2.数量的多少可以抽象为数的大小比较
在认识数的活动中“比较”非常重要，没有“比较”就没有精确计数的需要。比如在数线图上表示泰山1547米，昆仑山7719米，武夷山717米，峨眉山3099米四座山的高度，自然引发比较数的大小的需求。
3.利用数字及他所处的数位来表达数
让学生有机会用自己的方式表达对数的理解。这里如果老师直接画出空档位的计数器图，然后让学生画珠子表达8844的理解，显然这样的表达方法数学味太浓，稍显抽象，没有学生经验的融入，没有儿童情趣。可以出示计数器让孩子拨珠子，通过数数线图或迪纳斯方块让孩子去加深对8844的理解。
4.数之间可以基于大小进行灵活的分解和组合（史宁中校长补充：分解则数小，组合则数大）
在以前“数的认识”教学中，我们很重视数的组成，比如156表示1个百、5个1十和6个一。这样理解整数的意义，有助于帮助学生建立数位、计数单位的概念，但是以这样的方式建立数位、技术单位的概念，对于学生来说是抽象的。大观念下，数的认识教学需要做出转变，加强直观、借助已有经验，让学生用自己的方式表达对数的理解。比如《万以内数的认识》让学生画图解读对1323的理解，由于一开始的学习的影响，学生一下子想到用计数器去表示，学生就能进行学习的迁移，还有的孩子用人名币的单位1元，10元，100元，1000元去表示，还有的还有用点线面体的方式去表达，学生用自己喜欢的方式去表述，这样的过程是充满童趣的。
5.对现实生活中的数量进行合理解释及估计。
“从生活中来，再回到生活中去”是数的认识教学的基本策略。
在熟悉的生活情境中，借助单位进行比较。回到生活中解释现实生活中的数量；深化对数的意义的理解，建立以抽象的数位，计数单位概念，在比较活动中感悟量化的价值。比如在数线图上表示珠穆朗玛峰的高度。怎么确定8844的位置，到底离8000更近还是9000，抓住核心，渗透估算时要跟单位和熟悉的事物进行比较。通过适当的推算感受大数的意义，体会“以小估大”、“以部分推断整体”的估计策略，不断提高估计的能力。比如1亿有多大？
6.生活中很多事物都可以用数来量化。
开展实践活动，让学生在现实情境中开展量化、估计活动。比如估计20个苹果大约重多少千克？老师可以先让学生提前跟着家长去超市去感受1千克苹果的重量及个数，在估计之前找到一个标准去进行比较，但老师也要教学生去理性思考，苹果有大有小，所以1千克苹果的数量会不一样。
“小数的认识”大观念
1.小数是对生活中比1小的数量的抽象是十进分数的另一种表达形式。
小数学生在生活中经常见到：超市中物品的单价0.8元，用米做单位表达身高测量结果1.5米……如何理解这些小数呢，需要让学生画图表达对小数的理解，通过画图体会小数是单位细分的结果，是为了精确表达现实生活中的数量，是为了表达比1小的数量。
2.小树位置系统是整数十进位值系统的自然延伸。其中，小数点是一种用来表示单位数位置的约定，小数点的左边表示个位数的位置。
小数的概念源自分数的整体与部分的关系，其计数系统是从整数的十进制系统延伸而来，小数的计数系统与整数的计数系统一致，都是基于十进制计数规则，每一个数位上都用0、1、2……9这10个数字表示，相邻的两个数位之间的进率都是10，整数部分可以向左无限延伸，没有最大数位，小数部分向右延伸没有最小数位。
3.利用对小数位值系统的理解能自然得到小数比较大小和加减法的道理，即相同计数单位的个数相加减。
小数比较大小和加减法的学习主要目标是进一步理解小数的意义。小数比较大小和加减法的学习需要创设有助于学生理解十进关系的现实情境（如：元、角、分；米、分米、厘米等），要让学生在画图、操作、度量活动中开展学习活动。
4.对现实生活中用小数表示的数量进行合理解释。
呈现田径比赛中男子100米竞赛，成绩为什么是用两位小数，实质上就是为了更加精准。
“分数的认识”大观念
1.分数是对现实生活中数量及数量关系的抽象。分数在表示数量时抽象出数，表示数量关系时抽象出两个数量之间整数的比例关系。
2.数单位、抽象与解释、表示是我们认识分数的三个工具。
3.在分物、测量、运算等现实情境中，通过操作计数等活动认识分数。
　　4.用分数对现实生活中的数量和数量关系进行表达。
《分数意义》教学的实践探索
“分数意义”的教学可以从四个维度展开：
　　1.在平均分的活动中认识分数，理解分数所表达的关系，学生学习分数的意义最大的困惑是什么？经过分数初步认识的学习，学生知道平均分的结果不能用整数表示，我们要认识新的数“分数”。在本单元的学习中，学生明明看到8个橘子平均分给4个人，每人分得2个橘子，为什么也用四分之一表示，这个四分之一表示什么？学生更习惯用八分之二表示“把8个橘子平均分给4个小朋友”的结果。学生这样表示的原因是：还没有体会到分数所表示的“部分与整体的关系”，还停留在分数初步认识的水平上。这样的学生需要教师有效的引导。理解分数所表示的“部分与整体的关系”正是分数意义教学的核心目标。为了帮助学生理解分数所表示的“部分与整体”的关系，可以安排“平均分”的活动。用长方形纸分别表示8个，12个，16个橘子，把它们平均分给4个小朋友，用分数表示每人分得的结果，如果用2/8、3/12、4/16表示分得的结果，可以发现：随着橘子总数的变化，每人分得的个数也在变，用来表示结果的分数分子、分母都在变，那么不变的是什么呢？
2.在度量活动中认识分数，感悟整数，小数，分数的联系。
可以通过去量长度来进行教学，要想知道一张纸条的长度怎么办？用尺子量，用米作单位，1米多不到2米，结果不精致，应该把单位变小，变成厘米，177厘米。量长度为了更精确，我们可以把单位变小，为了让数更精确我们也需要把单位变小。用单位1去量，教师改变纸条长度，继续用“单位1”测量，学生思考，想办法，通过对折创造“单位”度量。
3.结合具体情境讲故事，理解分数表达的关系。
如：如果露出的棋子数是总数的1/2，一共有多少枚棋子？如果露出的棋子数是总数的1/3、1/4呢？看到的都是2枚棋子，为什么总数不一样呢？发现黑板报内容的占位，诗词集累占1/12，校园生活占1/2，国学时间占1/3，校园新闻占1/12。又比如导航中，行驶缓慢，行驶通畅，行驶拥堵的道路占总路程的几分之几。
4.从“商”的角度认识分数，理解分数与除法的关系。
如：把1.2.3.4.5.6.7.8.9块巧克力分别平均分给4个小朋友，每人分得几块？用除法算式表达分的过程。每人分得的块数占总数的几分之几？总块数不同、每人分得的块数不同，为什么每人分得的结果可以用1/4表示？你怎样理解这个1/4？
学后反思：从教五年半，教过除小学一年级上册和三年级下册的所有年级，自认为对12册的知识有所了解，也一直以自己拥有这样好的教学经历而感到自豪。然而在经过一段时间的学习（听宋老师讲课或是线上讲座）后才发现自己原来还没入数学的门，我是一个合格数学老师吗，我教给了学生什么样的数学知识，他们在学习知识过程中获得了怎样的能力，他们是否具有创造性思维能继续探索未来的知识，他们是否热爱学习数学……内心不由地在追问。
我在对整数的认识教学中，忽略了利用学生的已有经验，让学生利用自己的方式去认识数的含义，忽略了利用更多的直观模型比如实物模型，数线模型，计数器模型等去帮助学生多角度理解数的意义，我教学的数位以及计数单位都是很抽象的，是通过了大量的练习去掌握了知识的，而不是学生主动乐意去接受的，而这样的教育是多么的残忍啊！
在小数的认识中，没有很好地将它与整数的学习联通起来，实际上小数的学习与整数的学习有许多共通之处，比如它们都是基于十进制计数规则，每一个数位上都用0、1、2……9这10个数字表示，相邻的两个数位之间的进率都是10，整数部分可以向左无限延伸，没有最大数位，小数部分向右延伸没有最小数位。学完小数后应该把它放回到生活中去感受小数存在的意义，是为了更加精确地表达生活中的数量，将数学与生活联系起来，找到数学知识的价值，激发学生的学习热情。
在分数的认识教学中，我存在的问题就有点大了，很清楚的记得在教学“把12个苹果平均分给4个同学，每个人分得总数的（/ ），每人分得（ ）个。”我都不记得给同学们训练过多少次同类型的题目了，但他们仍然屡屡出错。直至今日，我才发现理解分数所表示的“部分与整体的关系”正是分数意义教学的核心目标。而我却没有通过各种直观模型（实物模型，面积模型，数线模型）加深分数表示“部分与整体的关系”的认识。如果我多开展平均分的活动，感受总数变化，而每人分到的与总数的关系始终没有变化，这样或许能更好的理解分数，并解决之前的问题。
一切的学习都是为了遇见更好的自己，也让别人因为自己变得更加美好！

面向全体，关注差异，各有提升，学科特色
黄爱华……三w教学法：这节课学习什么？（what），这个问题怎么学习？（how）这个问题为什么要学习？（why）
如何导学“大问题”导学策略？
探究中呈现，分享中优化，提炼中延伸。
建立关系，提出问题，尝试探究，展示分享，共同概括，问题延伸。
张齐华
数学概念是数学知识的本质属性在人脑中的反映作为表 例证，通过组织学生进行观察，比较，分析，综合，抽象，概括，逐步在头脑中摆脱相关数学对象的非本质属性，进而建立相应的数学概念，获得对概念本质属性的把握和理解。这一过程，既是学生对数学思维得以锤炼，发展的过程，对于学生形成由表及里纵深思维，透过现象把握事物的本质等。同样具有着潜移默化的影响。
解决问题：
不断积累起“把握实际问题～抽象出数学问题～解决数学问题～解释并解决实际问题”的纵向数学化的经验，并在这一过程中不断发展数学建模的意识与能力，进而获得蕴含其中的独特的数学思维方法和数学意识。
数学学习的过程，应该是学生体会数学思维抽象性逻辑性的过程，应该是学生学会从数学角度思考问题，进而建立数学模型并作出解释与应用的过程，同时也应该使学生获得理性态度与精神品质的过程中，重要的是数学教师要学会准确解读出那隐于数学知识背后的这些因素，并以合适的教学行为予以呈现，并最终沉淀为学生的思维观念与个性品质。


合作学习中，教师角色的转换，教师应扮演以下角色，
一决策者：教师决定小组的划分及活动时间指定组长人选
二指挥者就是安排活动空间，酚酞职责，指挥组建合作，
三解释者教师解释学习任务成功的标准，以及期望行为
四是监督者教师监督学生的行为，并提供帮助，教师在各组中巡视，时刻把握小组讨论的方向，并给予指导和强化在学生遇到困难时，及时给予引导和点拨。


合作学习中，教学设计的把握合作，
合作学习中的问题，可以是教学的重点，难点处设计的探究性发散性矛盾性问题，也可以是学生在质疑问难中主动提出的问题，但一节课中不宜安排过多的合作学习，防止随意性与形式化，新教师要注意根据教学内容的特点，精心设计小组合作学习的问题，为学生提供适当的带有一定挑战性的任务，把学生临近最近发展区。
合作学习中，合作意识的培养
关注优等生，请他们“让一让”，我们既要肯定他们学习主动积极，思维活跃的优点，又要引导他们认识到合作学习应让每一个同学都有发言机会，都能感受到学习成功的乐趣，要让他们认识到我们需要的是集思广益，是在合作基础上出色地完成学习任务。
关注中等生，让他们“跳一跳”，利用合作学习的情景，让他们变得畅所欲言。
关注后进生，让他们“扬一扬”，在合作学习中，不能让大多数后进生只充当听众的角色，要让同组的小伙伴一起关心他，帮助他，千方百计唤起他们学习的兴趣，让他们尝到合作学习的甜头从而增强合作意识。
学起于思，思源于疑，教育专家袁正国先生曾说，中国衡量教育成功的标准是将有问题的学生教育的没问题，全都懂了，所以中国的学生年龄越大年级越高问题越少，而美国衡量教育成果的标准，是将没有问题的学生教育成有问题，如果学生提出的问题教师都回答不了那算是非常成功，所以美国的学生年纪越高，越富有创意，越会突发奇想。
一位美国从教多年的资深教师詹姆士·加维勒克曾说，给学生一个问题来回答，他将学会刚刚阅读过的章节，教学生怎样提出问题，他将学会在未来的人生中如何学习。