胡子健经典奥数之倒推法的妙用+世界著名图书馆

胡子健

大英图书馆（伦敦）

农妇卖蛋,每次卖去篮中的2/3及1/3个鸡蛋,卖了5次卖完,篮中原有几个鸡蛋? 

篮中最后只能是一个鸡蛋,次后前是4个,第三次前是13个,第二次前是40个,第一次前是121个.

所以篮中原有121个鸡蛋.

美国国会图书馆（华盛顿特区）

老奶奶卖鸡蛋，第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个，最后还剩下一个鸡蛋，老奶奶原来有______个鸡蛋．



第四次卖出：1+1+0.5×2=3 （个），

第三次余下：1+2=3（个），

第三次卖出：3+0.5×2=4（个），

第二次余下：4+3=7（个），

第二次卖出：7+0.5×2=8 （个），

第一次余下：7+8=15（个），

一共：15+15+0.5×2=31（个）；

答：老奶奶原来有31个鸡蛋．

故答案为：31．

例1 ：

一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？

解析：

分析 这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.

如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？

把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：

｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.

如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.

解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56

［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4

答：于昆这次数学考试成绩是96分.

例2

马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？

解析：

分析 马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题.

解：111－（70—10）＋（7—1）＝57

答：正确的答案是57.

例3：

树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？

解析：

分析 倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16—6＝10（只）.同理，第二棵树上原有鸟16＋6—8＝14（只）.第一棵树上原落鸟16＋8＝24（只），使问题得解.

解：①现在三棵树上各有鸟多少只？48÷3＝16（只）

②第一棵树上原有鸟只数. 16＋8＝24（只）

③第二棵树上原有鸟只数.16＋6—8＝14（只）

④第三棵树上原有鸟只数.16—6＝10（只）

答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.

美国纽约公共图书馆

俄罗斯国家图书馆（莫斯科）。

【例1】阿呆做了这样一道题：某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，则这个数是多少？小朋友，你知道答案吗？

分析：（倒推法）我们可以从最后的结果6倒着往前推。最后是“除以6，结果还是6”，如果没有除以6，那被除数应是6×6=36；再看倒数第2步，“减去6”得36，如果没有减去6，那被减数应是36+6=42；然后看倒数第3步，“乘以6”得42，如果没有乘以6时，另一个因数应是42÷6=7；最后看第1步，“某数加上6”得7，如果没有加上时，某数是7-6=1.即原数为：（6×6+6）÷6-6=1.建议：让学生验算一遍，确保答案正确.

【例2】牛老师带着37名同学到野外春游。休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数。”聪明的你知道牛老师今年多少岁吗?

分析：（倒推法）我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推.这个数没加上8时应是多少?没除以2时应是多少 ? 没减去16时应是多少?没乘以2时应是多少?这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数.没加上8时应是：38-8=30；没除以2时应是：30×2=60；没减去16时应是：60+16=76；没乘以2时应是：76÷2=38，即[(38-8)×2+16]÷ 2=38(岁).

说明：解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.

【例3】小超人去超市买东西，用去了口袋里钱的一半，于是他又去自动取款机上取出1000元，买了一套衣服花掉袋中钱的一半，还剩下780元。问小超人最初口袋中有多少钱?

分析：（倒推法） 即780×2-1000=560(元)……第一次用后余下的钱

560×2=1120(元)……原有的钱

【例4】一群蚂蚁搬家，原存一堆食物。第一天运出总数的一半少12克。第二天运出剩下的一半少12克，结果窝里还剩下43克。问蚂蚁家原有食物多少克?

分析：（倒推法）教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以第一天运出后，剩下的一半重量是43-12=3l(克)；这样，第一天运出后剩下的重31×2=62(克).那么，一半的重量是62—12=50(克)，原有食物50×2=100(克).即 [(43-12)×2-12]×2=100(克).

【例5】小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123。正确的答案是多少? 

分析：（倒推法）把个位上的5看作9，相当于把正确的和多算了4，求正确的和，应把4减去；把十位上的8看作3，相当于把正确的和少算了50，求正确的和，应把50加上去。所以正确的和是123+50- 4=169.即：123+(80-30)- (9-5)=169.

【例6】大虎做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，这道题的正确答案应该是多少?

分析：（倒推法）被减数十位上的6错写成9，使被减数增加90- 60=30，差也增加了30；减数个位上的9错写成6，使减数减少了9-6=3，这样差又增加了3.因此倒推就是最后的差减30加3得5正确的差，

即577- (9-6)- (90- 60)= 544.

【例7】竹篮内有若干李子，将它的一半又一个给小朋友甲，把剩下的一半又两个给小朋友乙，最后取剩余的一半又三个给小朋友丙，这时竹篮里的李子恰好发完。问竹篮内原来有多少个李子?

分析：（倒推法）“剩余的一半又三个恰好发完”说明剩余的一半刚好是3个，即第二次发完后还剩6个，“剩下的一半又两个”，则第一次发完后还剩（6+2）×2=16（个），“将它的一半又一个”，则原来有

（16+1）×2=34（个）.

【例8】三棵树上停着24只鸟，如果从第一棵树上飞4只鸟到第二棵树上去，再从第二棵树上飞5只鸟到第三棵树上去，那么三棵树上小鸟的只数都相等．第二棵树上原来停着多少只鸟?

分析：（倒推法）三棵树上的小鸟不管怎样飞来飞去，小鸟的只数都是24只，我们从“那么三棵树上小鸟的只数都相等”，可以知道，最后每棵树上都有小鸟24÷3=8(只).如果第二棵树上的小鸟不飞5只到第三棵树上，那么第二棵树上就有小鸟8+5=13(只)，又因为“第一棵树上飞4只到第二棵树上去”，所以，第二棵树上原来停小鸟13-4=9(只).

【附1】三年级学生进行大扫除。一半学生去支援一年级，剩下的一半去扫清洁区，最后还有10人留下扫教室。问三年级共有多少学生?

分析：（倒推法）即10×2×2=40(名)。

【附2】一根铁丝，第一次剪下它的一半零2米，第二次剪下余下的一半少2米，第三次再剪去余下的一半零2米，还余2米。这根铁丝原有多少米?

分析：（倒推法）即(2+2)×2=8(米)；(8-2)×2=12(米)； (12+2)×2=28(米)。

【附3】在做一道加法计算题时，宁宁把个位上的4看作7，十位上的8看作2，结果“和”是306。正确的答案应该是多少?

分析：（倒推法）即306+(80- 20)- (7-4)= 363。

【附4】王叔叔第一次去买东西时，用去袋中钱的一半；然后去银行取款150元，取款后再去买衣服，又用去袋中钱的一半，剩下130元。王叔叔第一次买东西时，袋中原有钱多少元?

分析：（倒推法）可以先求出第一次余下的钱，然后再求出袋中原有的钱。

第一次用去后余下：130×2- 150= 110(元)；袋中原有钱： 110×2=220(元)。即：(130×2-150)×2=220(元)。

【附5】甲、乙两篮苹果，只数不等，从甲篮里拿出一些苹果放到乙篮里，使乙篮里的苹果增加了一倍，再从乙篮里拿出一些苹果放回到甲篮里，使甲篮里的苹果数也增加了一倍，这时两只篮子里的苹果数都是48只。问原来甲、乙两篮各有多少只苹果?

分析：（倒推法）(48+48÷2)÷2=36(只)，24+36=60(只)，即甲篮里原有苹果60只，乙篮里原有苹果36只。

【附6】书管理员在整理图书时，从第一书架中抽出12本书放入第二书架，又从第二书架中抽出18本书放入第三书架，再从第三书架中抽出27本书放回第一书架，这时三个书架的图书都是45本，三个书架原来各有图书多少本?

俄罗斯国家图书馆（圣彼得堡）

国立饮食图书馆（日本东京）

【例1】阿呆做了这样一道题：某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，则这个数是多少？小朋友，你知道答案吗？

分析：（倒推法）我们可以从最后的结果6倒着往前推。最后是“除以6，结果还是6”，如果没有除以6，那被除数应是6×6=36；再看倒数第2步，“减去6”得36，如果没有减去6，那被减数应是36+6=42；然后看倒数第3步，“乘以6”得42，如果没有乘以6时，另一个因数应是42÷6=7；最后看第1步，“某数加上6”得7，如果没有加上时，某数是7-6=1.即原数为：（6×6+6）÷6-6=1.建议：让学生验算一遍，确保答案正确.

【例2】牛老师带着37名同学到野外春游。休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数。”聪明的你知道牛老师今年多少岁吗?

分析：（倒推法）我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推.这个数没加上8时应是多少?没除以2时应是多少 ? 没减去16时应是多少?没乘以2时应是多少?这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数.没加上8时应是：38-8=30；没除以2时应是：30×2=60；没减去16时应是：60+16=76；没乘以2时应是：76÷2=38，即[(38-8)×2+16]÷ 2=38(岁).

说明：解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.

【例3】小超人去超市买东西，用去了口袋里钱的一半，于是他又去自动取款机上取出1000元，买了一套衣服花掉袋中钱的一半，还剩下780元。问小超人最初口袋中有多少钱?

分析：（倒推法） 即780×2-1000=560(元)……第一次用后余下的钱

560×2=1120(元)……原有的钱

【例4】一群蚂蚁搬家，原存一堆食物。第一天运出总数的一半少12克。第二天运出剩下的一半少12克，结果窝里还剩下43克。问蚂蚁家原有食物多少克?

分析：（倒推法）教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以第一天运出后，剩下的一半重量是43-12=3l(克)；这样，第一天运出后剩下的重31×2=62(克).那么，一半的重量是62—12=50(克)，原有食物50×2=100(克).即 [(43-12)×2-12]×2=100(克).

【例5】小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123。正确的答案是多少? 

分析：（倒推法）把个位上的5看作9，相当于把正确的和多算了4，求正确的和，应把4减去；把十位上的8看作3，相当于把正确的和少算了50，求正确的和，应把50加上去。所以正确的和是123+50- 4=169.即：123+(80-30)- (9-5)=169.

【例6】大虎做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，这道题的正确答案应该是多少?

分析：（倒推法）被减数十位上的6错写成9，使被减数增加90- 60=30，差也增加了30；减数个位上的9错写成6，使减数减少了9-6=3，这样差又增加了3.因此倒推就是最后的差减30加3得5正确的差，

即577- (9-6)- (90- 60)= 544.

【例7】竹篮内有若干李子，将它的一半又一个给小朋友甲，把剩下的一半又两个给小朋友乙，最后取剩余的一半又三个给小朋友丙，这时竹篮里的李子恰好发完。问竹篮内原来有多少个李子?

分析：（倒推法）“剩余的一半又三个恰好发完”说明剩余的一半刚好是3个，即第二次发完后还剩6个，“剩下的一半又两个”，则第一次发完后还剩（6+2）×2=16（个），“将它的一半又一个”，则原来有

（16+1）×2=34（个）.

【例8】三棵树上停着24只鸟，如果从第一棵树上飞4只鸟到第二棵树上去，再从第二棵树上飞5只鸟到第三棵树上去，那么三棵树上小鸟的只数都相等．第二棵树上原来停着多少只鸟?

分析：（倒推法）三棵树上的小鸟不管怎样飞来飞去，小鸟的只数都是24只，我们从“那么三棵树上小鸟的只数都相等”，可以知道，最后每棵树上都有小鸟24÷3=8(只).如果第二棵树上的小鸟不飞5只到第三棵树上，那么第二棵树上就有小鸟8+5=13(只)，又因为“第一棵树上飞4只到第二棵树上去”，所以，第二棵树上原来停小鸟13-4=9(只).

【附1】三年级学生进行大扫除。一半学生去支援一年级，剩下的一半去扫清洁区，最后还有10人留下扫教室。问三年级共有多少学生?

分析：（倒推法）即10×2×2=40(名)。

【附2】一根铁丝，第一次剪下它的一半零2米，第二次剪下余下的一半少2米，第三次再剪去余下的一半零2米，还余2米。这根铁丝原有多少米?

分析：（倒推法）即(2+2)×2=8(米)；(8-2)×2=12(米)； (12+2)×2=28(米)。

【附3】在做一道加法计算题时，宁宁把个位上的4看作7，十位上的8看作2，结果“和”是306。正确的答案应该是多少?

分析：（倒推法）即306+(80- 20)- (7-4)= 363。

【附4】王叔叔第一次去买东西时，用去袋中钱的一半；然后去银行取款150元，取款后再去买衣服，又用去袋中钱的一半，剩下130元。王叔叔第一次买东西时，袋中原有钱多少元?

分析：（倒推法）可以先求出第一次余下的钱，然后再求出袋中原有的钱。

第一次用去后余下：130×2- 150= 110(元)；袋中原有钱： 110×2=220(元)。即：(130×2-150)×2=220(元)。

【附5】甲、乙两篮苹果，只数不等，从甲篮里拿出一些苹果放到乙篮里，使乙篮里的苹果增加了一倍，再从乙篮里拿出一些苹果放回到甲篮里，使甲篮里的苹果数也增加了一倍，这时两只篮子里的苹果数都是48只。问原来甲、乙两篮各有多少只苹果?

分析：（倒推法）(48+48÷2)÷2=36(只)，24+36=60(只)，即甲篮里原有苹果60只，乙篮里原有苹果36只。

【附6】书管理员在整理图书时，从第一书架中抽出12本书放入第二书架，又从第二书架中抽出18本书放入第三书架，再从第三书架中抽出27本书放回第一书架，这时三个书架的图书都是45本，三个书架原来各有图书多少本?

分析：可列下表：

第一书架

45+12-27=30（本）

第二书架

45-12+18=51（本）

第三书架

45-18+27=54（本）

第一书架原有30本，第二书架原有5l本，第三书架原有54本。

1.阿瓜做了这样一个题目：一个数减16加上24，再除以7得36，求这个数。你知道这个数是几吗?

分析：36×7-24+16=244.

2.少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数。把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一算，共采集了多少个树种子?

分析：(25+25)×5=250(个)，即共采集了250个树种子.

3.太上老君把他今年的年龄加上16，用5除，再减去10，最后乘l0，恰巧100岁，你知道太上老君今年多少岁吗?

分析： (100÷10+10)×5-16=84(岁).

4.芳芳、宁宁和玲玲三人分铅笔，芳芳得的比总数的一半多1支，宁宁得的比剩下的一半多1支，玲玲得6支。问原来共有铅笔多少支?

分析：[(6+1)×2+1]×2=30(支).

5.淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?

分析：164+(73-49)= 188或164-6+30=188.

6.山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？

分析：2×[（1+2）×2+2]=16（个）.

多伦多公共图书馆（加拿大）

中国国家图书馆（北京）

倒推法

【铺垫】猪八戒看到唐僧的篮子里有孙悟空化斋得来的果子，它偷偷的吃了其中的一半，还是觉得饿，又吃了剩下的一半，过了一会又吃了一半，最后偷偷的再吃了2个，他发现最后篮子里还剩下4个果子，他决定不吃了，那么猪八戒到底吃了多少果子呢？

【分析】这种题型的奥数题目或者应用题，在以后的4、5年级乃至初中都非常常见，我们常用线段法分析此类为题，线段分法是行程等问题的杀手锏！但是此道题目因为出现在小学三年级中，难度上不会太大，所以如果采用倒推法比较简单！

解法一、

线段直观的展示出当中的数量数量关系，所以：

第三次之后剩下：4＋2＝6

第二次之后剩下：6×2＝12

第一次之后剩下：12×2＝24

最初的果子数目：24×2＝48

所以猪八戒吃了：48－4＝44

解法二、

利用倒推法或者我们常说的还原法：

所以很快就可以得到最初的果子数目：（4＋2）×2×2×2=48(个)

所以猪八戒吃了：48－4＝44(个)

【拓展】一群蚂蚁搬家，原存一堆食物，第一天运出总数的一半少12克，第二天运出剩下的一半少12克，结果窝里还剩下43克，问蚂蚁原有食物_____克？

【分析】利用倒推法很快就有眉目了，但是请注意分析题意，关键是“运出总数的一半少12克”这句话怎么理解，有同学在这个问题上也许理解了，但是在进行倒推的时候又犯错了，该句话的意思是“还差12克到一半”，所以我们可以先运出一半然后再加上12克，

理解了吗？那么我们可以看到以下关系图：

按照逆运算法则，原来乘法倒推过去就是除法，原来是加法倒推过去就是减法。

【提高】小亮拿着一包糖果，遇见好朋友A，把糖果分给了A一半少3块，过了一会又遇见好朋友B，把剩下的糖果的一半分给了他，后来遇到好朋友C，把这时手中所剩的糖果的一半多5块分给了C，这时小亮手中只有一块了，问在没有分给A之前，小亮那包糖总共多少块？

【分析】倒推法你会了吗？关键是“糖果的一半多5块分给了C”这句话怎么理解，该句话的意思是“糖果的一半不够又拿出5块给C”，所以小亮的糖果剩下为原来一半然后再减去5。

法国国家图书馆（巴黎）

丹麦皇家图书馆（哥本哈根）