五猴分桃子

鼎立

　　据说这是李政道给中科大少年班出的一道数学题。

  题目：有五只猴子，摘了一堆桃子，可是怎么也均分不了！于是大家先去睡觉，明天再说。

    夜里，一只猴子偷偷起来，扔掉一个桃子后，剩下的桃子正好可以分成五份，它把自己的一份收藏起来就睡觉去了。此后第二只猴子起来也扔了一个，刚好又可把所剩的桃子均分成五份，也把自己那一份收藏起来，安心理得地睡觉去了。第三、第四、第五只猴子都是如法处理，各自拿走自己的一份后睡觉去了。

    请问，这堆桃子最少应该有多少只？

   解析:

   这一类型数学题老早称作《五水手分椰子》，早在1926年刋登在美国《星期六晚邮报》上。据说之后由伟大的数学家怀特海（1861 - 1947）提出一个特解的方法，这是一个不定方程问题，-4是这个体系的不动点，也是这类题的特解。由此可见，不论用何种方法来解这一类型数学题，都脱离不了-4这个特解。

    对《五猴分桃》的數学题，虽然也有多种解法，但是都遵循了-4这个特解的路径。

  按以上提示，在此提出一种比较通俗易懂的，连小学生也能理解的解法，提供给大家讨论：原来多一个桃子不能五等分！如果加上4个，变成多5个，这堆桃子就可以5等分了（假设每个猴子都不丢掉那多出来的一个）。然后每个猴子拿过后，这多出来的5个桃子还剩5x4/5 = 4个，加上多出来的一个又多出来5个了，所以又能5等分，后面的同理都能五等分。

因此若给这堆桃子添加4个桃子，则5只猴子各自就都可以均分剩余的桃子了。

  设多给4个后共有N个桃子。则原先一堆桃子应为: N-4个桃子。

   第一只猴子把桃子分成五份，取走自己的一份后剩下的桃子数： 

  N×4/5；

  第二只猴子把第一只猴子剩下的桃子又分成五份取走自己一份后剩下的桃子： 

    N×4/5×4/5

    =Nⅹ4^2/5^2

(^为乘方符号，2为指数)

  第三只猴子取走后剩余： 

     Nⅹ4^2/5^2x4/5

     =Nⅹ4^3/5^3

  第四只猴子剩下：

      Nⅹ4^3/5^3x4/5

      =Nⅹ4^4/5^4

  第五猴子取走后剩下： 

     Nⅹ4^4/5^4ⅹ4/5

     =N× 4^5/5^5

     =Nx1024/3125

     =N/3125ⅹ1024

   因为N/3125ⅹ1024应该是第五只猴子拿走它一份(1/5)后剩下(4/5)的桃子数。

  N/3125可认为是1024的正整数(1、2、3……)倍，因此也就会有多个解。

   但是题目要求算出这堆桃子最少是多少个。

    当1024的正整数倍是最小的1时，才能符合题目要求。

    也就是说N/3125应是1。

    若N/3125=1。

   则:N=1x3125=3125

   所以N为3125个。

   因为N-4为实际桃子总数:

       故: 3125-4=3121个。

   答案:原先一堆桃子总数 最少应为3121个。

  验证:

① 笫一只猴子拿走的桃子:

    (3121-1)/5=624个

     剩下的桃子:

      3121-1-624=2496个。

②笫二只猴子拿走的桃子:

    (2496-1)/5=499个

     剩下的桃子:

    2496-1-499=1996个。

③笫三只猴子拿走的桃子:

    (1996-1)/5=399个

     剩下的桃子:

    1996-1-399=1596个。

④笫四只猴子拿走的桃子:

    (1596-1)/5=319个

     剩下的桃子:

    1596-1-319=1276个

⑤笫五只猴子拿走的桃子:

    (1276-1)/5=255个

     剩下的桃子:

    1276-1-255=1020个。

总计:

   1020+255+319+399+499+624+5 (每猴扔掉1个桃子的合)=3121个。

  总共3121个，与运计算结果一致，证明计算方法合理。

   …………………………

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