基于本“圆” 生成无限———六年数学单元开发点滴记录

四年数学

进入十月，学校以“有根源、有过程、有个性”为主题，开展全学科主题教研活动，鼓励各学科开展大单元研究。 　　珍藏许久的单元“圆”终得亮相，本是第一单元，生生被留于最后，老师们对研究圆足够执着。这其中，附小团队的研究成果为我们提供了宝贵的经验基础，同时，六年数学组的老师们期待通过研究能够实现点滴突破。为此，老师们查阅大量相关资料，并开展了关于圆的学前调查，教研，我们做着充分准备。 　　传统的《圆》单元教学，主要内容包括圆的认识、圆的周长及面积，学习活动的设计思路大体围绕着“概念的辩识、操作的体验、方法的演绎”开展，更多时间里，学生都是在循着老师的足迹走路，老师们期待改变。 　　关键时刻，我们得到数学学科“铁三角”的倾力指导，赵校长、脱助理、王主任利用午间、下班后时间，和老师们一起探索圆的奥秘。 　　经过反复的研讨，结合学前调查，最终确定了这一单元的主题研究方向。 明线：遵循学生的认知开展教学，依据学生的思路，课堂上生成研究方案。 暗线：极限思想在课堂中的渗透。 围绕两条线索，分五节课教学，圆的认识、圆的周长1、圆的周长2、圆的面积1、圆的面积2。 　　传统意义中，圆的认识是一种表象感知，学生关于圆的特征没有深刻的感悟。设计判断“游戏公平”的活动，从正三角形、正方形到正十七边形，学生真切的感受到“中心点到顶点的距离相等”，站在顶点游戏是公平的。进而引发思考，“怎样的图形上任意点，与中心点的距离都相等？”圆应该是这样的图形，如何验证？ 　　为什么是圆？它有什么独特的魅力？学生提出了如下猜想： 1.圆上面有无数个顶点。 2.圆有无数条边。 3.圆有无数个角。 循着对正多边形的认识，大家把圆理解为“正无数边形”。 　　这些关于圆的认知的背后，其实都是对于圆“一中同长”特征的朴实理解，是一种感性的认同，这需要有力的验证才可以实现理性的认可，于是，有了接下来“验证圆具有公平性”的学习活动。 　　常规的方法，画出几条甚至多条连接圆中心点与圆上任意一点的线段，测量长度，验证是否相等。 　　用多次“对折”的方式得出“中心点与圆上任意点的线段”，重合即相等。 　　利用圆规，围绕中心点旋转一圈，笔尖与圆始终吻合，可以预见所有圆上的点与中心点距离相等。 　　不同的验证方法，同学们得出相同的结论，圆上任意一点到圆心的距离都相等。在这样的认识基础上，展开对圆的认识，包括圆的元素及意义，圆的画法等。 　　关于圆的概念，到定点等于定长的点的集合，虽不明晰，却可验证，这及符合小学生认知特点，圆正无数边形，虽不能及，亦可想象，极限思想的渗透为后续圆的学习开启了一扇不一样的“门”。 　　认知起点的把握是有效教学不可或缺的前提。建构主义观点认为，学生的学习过程是基于旧知识和已有经验的认知建构。因此，学生认知起点是完成学习任务的必要前提，也是学生认知发展的固着点。本节课基于学生对周长的理解和圆的认识，通过观看古代人民制作木车轮的小视频，感受得到圆的周长的生活需要。 　　在古代，怎么得到圆的周长呢？学生充分利用学具独立探索，发现可以用线绕圆一周，再把线拉直，测量线的长度，就能得到圆的周长，学生们把这种方法称为绕绳法。 　　还有的同学想到了在圆周上做一个小标记，然后放在格尺上，把格尺当做马路，圆在“马路”上滚一圈的长度就是圆的周长，学生们把这种方法称为滚圆法。 　　也有同学想到用正方形把圆框在里边，正方形的边长和圆的直径相等，可以把正方形的周长近似看成是圆的周长。同学们称为外切法。 　　学生想到的三种方法都蕴含了“化曲为直”的思想方法。这与古代劳动人民的想法不谋而合。学生通过操作活动测量得出圆的周长，而测量方法存在误差，还需要探索圆的周长与什么有关，有什么关系，找到计算的方法。 　　在本堂课，在探索圆的周长与什么有关的学习过程中，通过类比长方形的周长与长和宽有倍数关系，正方形的周长与边长有关系，学生猜测圆的周长与圆的要素直径也存在倍数关系。 　　与以往直接给出学习方案不同，让学生通过讨论自主得出学习方案，让学生成为课堂的主人、成为探索问题的主体。 　　在第二课时中，学生实施上节课设计的学习方案，得到圆的周长除以直径的商。从计算结果看，并未得到一个定值。教师引导学生反思探究过程，学生觉得在圆的测量过程中存在误差，认为测量周长并不能得到圆的周长的准确结果。问题的焦点又回到了想要准确得到圆的周长。 　　面对这个难点，老师又引导学生回到最开始的想法中，让想到“外切法”的学生在说一说他的想法，让全体同学感知外切正方形周长既接近圆的周长，又能准确的得到外切正方形的周长。 　　这一环节中也有数学史的介绍，学生想到的分圆法和数学家刘徽的“割圆术”不谋而合，学生头上也闪耀出了数学家的光环。 　　沿着这个思路，学生想到如果能找到满足这两点的图形，就能得到圆的周长，进而给出圆的内接正六边形、正十二边形、正二十四边形。。。学生能够感受到随着正多边形的边数越多，每一条边的长度和它对着的这条圆弧的长度就越接近，正多边形的周长就越接近圆的周长。学生进一步感受圆是正无数变形，极限思想在本节课中得到了进一步的感知，同时也激发了学生的探索精神。 　　本节课的最后带领孩子用思维导图的模式梳理《圆的周长》这两节的探究过程，培养学生能够完整化学习的能力。 在《圆的面积一》的课堂上,吉祥物小羊把草吃没后露出的地面是什么形状的呢?圆的周长在哪里呢?刘老师能把它剥出来你信吗?圆的面积又在哪里呢?哦！周长和面积可是很不同的,面积是一个图形最明显的部分,这节课我们就来研究它吧! 　　可爱的卡通形象，有趣的动画，简洁的问题，生动的演示，快速进入主题的过程中又让学生深刻的体会周长与面积的不同，从实际情境中初步避免概念混淆。 　　课堂上老师鼓励同学们将自己当做是历史上第一个要研究圆的面积的人，带着这样的使命感，孩子们开始了认真的思考，也呈现了很多精彩的设计。 　　圆出于方，聪明的孩子们，不但想到了可以通过正方形减去4个角，来获得大概的圆的面积，还发现原来正方形剪去4个角后变成了8边形，再继续这样剪掉8边形的角就变成了16边形！这样操作下去误差越来越小！而且这种想法居然和刘徽想到割圆术的灵感是一样的！但是在没有计算器和计算机的魏晋时期，刘徽是用算筹计算到圆的内接正3072边形的，这种智慧和毅力深深地感染着同学们。 　　同学们还想到了将圆夹在里外两个正方形中，通过两个正方形的面积来确定圆的面积的范围，在用圆的要素表示正方形的面积的过程中发现，圆的面积很有可能与半径的平方有关，而且是倍数关系。学过的图形面积的计算方法都是这个图形的两个要素相乘，而半径正是决定圆的大小的要素，所以圆的面积极有可能与半径的平方有关，这种方法更是将这个倍数限制在了2-4倍之间，同学们给这个取得重大突破的方法起名叫“里外夹圆法”。这种知识之间的迁移和理解，从道理上再一次避免了圆周长与面积公式的混淆。 　　在意识到切圆法、里外夹圆法、数格子法的的局限性后，学生们想到了通过转化成学过的图形的面积的方法来探索圆的面积，但是转化为平行四边形的过程中遇到了困难，这个所谓的平行四边形能够通过将圆平均分的份儿数增加的办法来将波浪边儿变直吗？在讨论与想象中孩子们结束了第一节的学习，十五分钟后还有更多的精彩等待着他们。 　　圆的面积如何计算一直以来都是数学难题，古今中外很多数学家也对圆的面积进行了猜想、验证等研究，这一难题到如今依然是学生比较难理解的部分。学生从学习直线图形的面积，到学习曲线图形的面积，无论是内容本身还是研究方法，都是一次质的飞跃。本节课教学的关键之处在于学生通过观察猜想、动手操作、验证、自主探索、推导出圆的面积公式。 　　教学伊始，由上一节面积探索的方法引入，激发学生探索圆面积计算方法的学习欲望，并引导学生猜测圆面积可能与谁有关，并紧紧围绕“转化”思想，引导学生借助已有知识经验，对新知识分析、研究和归纳。 　　对于圆这样一个曲面图形，如何转化、怎样剪切都是需要思考的问题，教师由随手的一剪引发学生思考：首先需要考虑的就是切割成的图形要保留圆的半径这个特征要素,这样转化后的图形的边就可以用圆的半径或者圆周率表示出来，才能得出计算公式；第二个问题就是圆是一个曲面图形，通过对它圆周的切割，可以把较短的曲线看成线段。基于这些思考，我们才把圆沿着它的半径等分成若干个小扇形。 　　对于圆分割的份数越多，所拼成的图形是否更接近直边图形的探索，由学生小组合作开展研究，学生亲自动手拼摆，尝试把圆转化成学过的平行四边形、梯形等，并写下研究发现，实现了化曲为直的目的，从而展开想象，理解当圆进行无数次的分割后，甚至可以拼成长方形，感受了极限的思想，并初步研究出了圆面积可以由转化后图形的面积公式进行推导。 　　终于到了面积公式的推导环节，学生们借助刚完成的学习卡，分析转化前后图形之间的联系，并走出教室，在开放空间的小黑板上分组写上详细的推导过程，并最终得到圆的面积公式，突破了教学难点。 　　在学生们成功探索之后，又引入数学史，介绍了德国的天文学家开普勒，他提出了无穷分割法，把圆分割成无穷多的小扇形，然后求出他们的和也能推算出圆的面积。还有意大利的卡瓦列里，根据他所提出的不可分量原理也推出了圆的面积。让学生感受到他们也经历了和数学家一样的探索历程，建立数学学习的自豪感，感受自我价值的实现。 　　最后，梳理圆面积整个探索过程，想得到一个圆的面积，可以用切割法、里外夹圆法和数格法去大概估计圆的面积，但是想准确知道面积，还是需要计算，我们就要探索圆面积的计算方法，需要先把圆这个曲线图形转化成我们学过的图形，可以是长方形、平四四边形、三角形和梯形，然后找到转化前后图形之间的联系，并且用圆的要素来表示对应的边，最后推导出圆面积的计算方法是S=πr2 　　大单元《圆》的研究告一段落，但老师们教研的脚步却一直前行，持续的探索，老师们初步形成了教研意识和能力，实现自身的专业成长，为学生的学业成长保驾护航，教研，我们时刻准备着！