【转载】陈燕虹：小工具大作用 ——“四向表”及其在小组合作中的使用

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3.小工具 大作用
——“四向表”及其在小组合作中的使用

在数学阅读和数学学习的教学实践中，“形成关系性的理解”和“基于理解展开真实有效的学习沟通”是本实践的两大核心。数学阅读和数学学习的教学目的是为了帮助学生更好地实现垂直数学化和水平数学化。同时，让学生在获得数学知识的同时，在表达、倾听、沟通、悦纳、合作等方面获得未来人才基本素养的发展。

两大核心落实在教学中，转化为教学行为时，我们研制使用了一些小工具，最终形成了一套互为作用的“数学阅读和数学学习工具”。这些小工具本身带有一定的结构，其结构具有指引的作用，能够促使学生深化数学理解和围绕数学展开沟通。本文就四向表及其使用，特别是小组合作时的使用进行介绍。

四向表的结构

数学的问题解决是数学学习的重要组成部分，是一种高级的智力活动，从问题的产生到问题的解决都伴随复杂的心智过程。众多学者投入其中开展了大量的研究。在问题解决研究中的标志性人物波利亚（1887-1985年）于《怎样解题》一书中（Polya，1945）中提出了解决问题的四个步骤（表1）。 数学家匈菲尔德在波利亚的基础上将解题分为六个阶段，分别是读题、分析、探索、计划、执行和验证。在分析阶段，匈菲尔德特别强调用简要的形式表述问题，在可能的情况下画图分析，并对问题进行表述。

对比各项研究，“找到解决问题的信息”、“利用一定的方法展开分析”、“在分析的基础上实现问题解决”和“回顾检验解决问题的策略和结果”是众多研究成果的共性。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中“问题解决”是总目标的重要组成部分，它的具体要求与上述研究成果类同，但《课标》还明确提出了“在问题解决的过程中要学会与他人合作”。

在学生逐渐掌握阅读方法，如“信息分组”、“画图分析”、“双色笔记法”的同时，我们使用四向表帮助学生完整地经历“解题”的全过程。取名四向表的寓意和寄望为：“四”为问题解决中的四个关键步骤；“向”代表“向度”，即能够从多角度、多层次去分析、判断、评价和确定某个对象，能够走出固定的边界，从不同向度的普遍联系去观察事物或问题，能够理解别人思考问题的角度。四向表如下。 问题Q为明确问题，A为相关信息，B为思考过程，C为执行解决，D为反思回顾。ABCD就是四个解题步骤。在解决下题时，学生甲和学生乙的表现如下。 可以看到，在解决同一道题的过程中，学生的思考过程是不一样的，这种不同可能从一开始的信息分组就不同，很明显在学生B的思考里“比较”是一条主线，所以他会把“36、12、400”归为第一组信息，800归为第二组信息，并且用“√”、“×”的方式显示出自己对信息筛选的结果——第一组信息是解决问题时需要用到的信息，而800对于这个问题的解决则无关。同时，我们也可以看到学生的问题表征和反思回顾是不一样的，其中表征忠实地记录了学生探索的过程，记录了他们将题目归入自己的知识系统，转化的过程。

当学生交流讨论时，这些不同将成为可以比较的、最真实的、丰富的素材。素材之间“同”与“异”的联结带有很强的启发性，有助于学生看清问题的结构，从而更好地理解问题及其相关数学概念的本质特质。 四向表在小组合作时的使用

四向表即可以独立使用，也可以在小组合作时使用。现介绍小组合作的具体使用方法：

1. 角色确定。以小组为单位，学生任意选择“红、黄、蓝、绿”中的一个颜色代表自己。学生选择好了以后，将代表自己的颜色，标示在数学书上，方便教师在后续的教学中能够对应到人。学生选择了什么颜色，在小组合作的过程中就使用什么颜色的便利贴。

2. 任务分工。在教学时，教师通过颜色来让学生明确自己的任务。颜色在哪一个版块，对应的学生就负责这一版块的汇报、交流和选择，合议达成共识以后，就将该生的便利贴贴在相应的位置，形成合议结果。到了下一节课，教师可以通过颜色的随机调换，改变学生承担的任务（图1、图2）。这样的操作即方便教师，也方便学生，任务简洁明了，真正落实到具体的人，学生也能一目了然地知道自己的任务。 3. 沟通合议。一般在交流前，每个人都需要独立完成自己的四向表，独立完成可以是课上进行，也可以是课中进行。合议时，每个人都拿着自己的四向表进行分享，并由相应版块的负责人组织，一般流程如下：
（1）下面我（版块负责人）来说一说信息分组（或思考过程等），我是这样想的……
（2）大家有什么补充？请不一样的同学发言。
（3）大家是否同意刚才的补充？有什么别的建议或想法吗？
（4）请订正……请选择……

对应图1来看图3，图3是小组合作交流后呈现出来的结果。从不同颜色的便签条可以看出小组内每个人在这次交流中做出的贡献，也可以看到有效的沟通在发生。 很明显，版块A（相关信息）和版块C（执行解决），小组成员的做法是一样的，所以便利贴的颜色是红色和蓝色，即采用了版块A和版块C负责人的做法。版块B（思考过程）和版块D（反思回顾）则有不同，小组成员之间有补充和完善，下面以颜色代表相应的学生，课堂实录如下：

版块B：
黄（负责人）：下面我来说一说思考的过程，118可以分成1个百，1个十和8。我可以先算7个100，再算7个10，最后算7个8。得到700,70和56。把它们加起来就是7节硬座可以坐的人数了。我还画了个图，你们看，都是7份。
黄：我说完了，大家有什么补充？
绿：我同意，我和你写得差不多。
黄：我喜欢你写的分成，这样可以看见118分成了谁。
红：我写了树状图，这一题就是求总的人数，每节118人是每份数，7节是份数，所以要乘起来。但是118乘18怎么乘呢？我和你们一样，都是拆开来算。不过我觉得可以把700留着，因为700后面没有数，126+700好算！
黄：大家是否同意刚才的补充？有什么别的建议或想法吗？
黄：看看自己的，有问题的修改一下，请某某某（红）把你的便利贴贴好。
版块D：
绿（负责人）：我来说一说这道题需要注意的地方，我觉得有3点：1.做好信息分组；2.别抄错数字；3.需要第二组信息，不是第一组信息。
绿：我说完了，大家有什么补充？
蓝：我觉得这一题信息有2组，解决问题的时候只用一组，注意这个就好了。
黄：我觉得加上来的数蛮容易忘记的，所以需要注意一下。
红：你看，我们后面就是分别去乘的。所以我觉得要知道用第2个数分别去乘，而且满了多少，就要往前面进几。满几十就进几。
绿：那我用上面的数来乘下面的数可不可以呢？
红：我觉得不可以，这怎么乘？
蓝：可以。7乘8和8乘7是一样的。
黄：我也觉得不行，乘法竖式没有反过来乘的。
绿：那我们把这个问题放“问题库”，同意刚才的补充吗？我们来选要点吧。
便利贴上的√就是学生交流后对自己思考过程的判断。如果有错，则参考别人的进行修改。小组交流产生的新问题，会放在问题库里一起解决。关于问题库，在上一篇文章中有提及。此处略。

4.反馈汇报。小组合作后要上台反馈，小组成员会根据自己负责的版块，再结合合议的情况，轮流进行汇报。

如果教师出示的要求中将其中一个颜色变大，则表明该同学负责全过程的主讲，在该同学讲完后，再由别的同学补充。教师也可以根据班级同学的情况随机改换主讲人。图4主讲人是绿色，图5主讲人是红色。其余同学除了倾听主讲人的发言以外，需要在“补充”的时候，重点负责自己所在的版块，对该版块做出自己的贡献——组织成员拿出自己的便利贴，做好对比，找到与主讲人“同”或“异”的地方。反馈时，则由主讲人反馈，其余成员补充。 四向表是小工具，它结构简单，制作成本低，容易上手和普及。使用四向表可以较好的帮助学生经历问题解决的全过程，也可以较好地促进学生在小组内的有效交流和沟通。在此过程中，也比较容易产生新的问题，旧问题的解决伴随新问题的产生，认知的宽度和深度就打开了。