“认识角”的教材比较和思考

诗与远方

你教学过“认识角”这一内容吗？你觉得学生在学习“认识角”之前，会认为角是怎么样的？如何进行这一课的教学？ 不同版本教材比较 　　“角”是我们生活中最为常见的图形之一，但是对于二年级的孩子来说“角”既熟悉又陌生，熟悉在于生活中“角”处处可见，陌生在于很难想象出角的几何图形的概念。所以，在“认识角”这节课中，不仅要让学生认识生活中的“角”，同时还要让他们理解“角”的具体几何图形的概念，此外还要让他们知道角的特点以及如何画角等。 教材编排了学生熟悉的生活情境来设计这节课，引导学生动手操作来请角朋友，使学生初步感知平面图形角的表象，建立有关角的初步的空间观念。指导学生参与实际操作，如：折角、做活动角、画角等活动加深对角的认识。通过创造角的实践活动，使学生获取直接经验，进一步巩固他们对角的本质的认识，为形成角的空间观念奠定基础。同时也培养学生动手操作、共同合作的能力，感受数学知识的现实性。学会从数学的角度去观察、分析现实问题，激发探索数学的学习兴趣。 “角的认识”实物图 　　“角”是小学阶段一个常见的几何图形。在教学“角的认识”时，教材往往会提供一些实物图，引导学生从中抽象出“角”，帮助建立角的概念。国内一些小学数学教材采用的实物图主要有哪些？抽象出怎样的角？在历史发展过程中，教材提供的实物图是否有变化？为了解开这些谜题，查阅了1978年至今的国内部分小学数学教材，并尝试对教材中呈现的实物图进行分析。 　　一、教材提供的实物图主要有哪些？有什么特点？ 通过查阅国内部分小学数学教材（见附录），发现这10套教材都呈现了三幅实物图，并从中抽象出角。从各套教材所采用的实物图来看，主要有以下几种： 　　从教材所采用的实物图中，我们可以发现以下特点： 1.实物图的选择要简单明了，突出本质特征。 由于小学生年龄特征所限，数学概念的形成和掌握往往是由具体的感性认识逐步上升为理性认识，而这些理性认识往往与直观形象密切相联，以它们为支柱。同时，小学生在观察图形时，容易被一些明显的非本质属性所迷惑而掩盖图形的本质特征。因此，数学原型的选择就显得十分重要。 数学概念的原型是指具有表征数学概念本质属性的最典型的标准实例。虽然各套教材呈现的实物图各种各样，但可以看出，实物图的设计，大部分都选择了学生熟悉的物品或图形。仔细观察，我们还可以发现编者更倾向选择简单明了，容易突出角的本质特征的实物图。表格中呈现的水槽，城市里并不多见，对很多孩子来说，还是比较抽象，并不是一个好的选择对象；而房子、五角星，这些对学生来说非常熟悉的物品，却和水槽有着共同的弊端：图中呈现的角太多，学生很难关注其中的一个，不利于学生去发现角的本质特征；红领巾虽然是孩子们非常熟悉的物品，但在他们心目中，红领巾是软的，可以随意弯曲的，对理解“角的边是直的”可能会有负迁移。而三角尺是学生常用的学习用品，也是认识直角时的主要学习工具，具有典型性。利用三角尺来抽象出直角更接近学生的学习实际，并对后续直角的研究有一定的帮助。 从角的动态定义“由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，叫做角”来看，角的原型还应刻画两条边的张开度，剪刀、扇子、钟面这些物体既能呈现静态的角，又能比较好的刻画角的动态变化过程，体现角的本质特征，因此，也是实物图的首选。 2.实物图的呈现要动静结合，完整建构概念。 虽然从教材的编排来看，小学阶段只需要理解角的静态定义（即从一点引出两条射线组成的图形叫做角），但后续关于角的知识的学习（如角的度量、角的大小）与角的动态定义（即由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，叫做角）都有着密切的关系。同时不管哪个定义，都进一步明确了角不研究边的长短，是为研究两边张开度而定义的。因此，在“角的认识”实物图的呈现时，应考虑“动静结合”。 从大部分教材编排来看，在呈现实物图时，既有静态角的呈现（如三角尺），又有能动态变化的物体的选择（如剪刀、扇子、钟面）。其中剪刀、扇子、钟面虽然呈现的是静态的角，但后续学习中能通过实际的操作使它们动起来，感受角的动态变化。尤其是钟面，学生更熟悉，在生活中经常能看到指针的动态变化。这类材料的选择，对建立角的动态概念有一定的作用。同时，扇子和钟面指针的运动范围比剪刀更大，为后续平角、周角的学习奠定了基础。因此，在实际教学中，我们可以选择学生熟悉的、常见的三角尺、钟面、扇子这样的实物图，既呈现静态的角，又考虑到角的动态变化，帮助学生完整建立角的概念。 　　二、实物图分别抽象出怎样的角？ 10套教材中，除1979年人民教育出版社的教材与西南师范大学新课标的教材从实物图中抽象出一个直角，两个锐角，其它各套教材都抽象出直角、锐角、钝角三类不同的角。其中三角尺一般都抽象出直角，而锐角和钝角往往会选择能动态变化的钟面、扇子以及剪刀等物品。像这样用分类的思想呈现每一类的代表，对理解角的概念有一定的帮助。 从各套教材来看，三类角的呈现次序也有所不同，主要有以下几种。 　　其中4套教材先呈现锐角，再呈现直角和钝角，这可能是考虑到了角的大小顺序；3套教材先呈现直角，这可能是因为直角是认识锐角与钝角的基础。总的看来，在呈现锐角和钝角时，更多的教材倾向于先呈现锐角，再呈现钝角，这也比较符合学生的认知习惯。 从教学基础来看，直角比较容易找到“生活原型”，学生身边常见的一些平面图形中都存在直角，学生已积累了一定的学习经验；同时，直角的学习也为后续学习提供了一个学习的“支点”。如：锐角、钝角的认识，可以把直角作为一个比较的对象，从而揭示各种角的不同特点和它们之间的联系与区别，在直角的体系上更好地去理解其它角。因此，实际教学中，我们也可以按照直角、锐角、钝角的顺序呈现实物图，可能对后续学习更有帮助，利于学生建立角的概念。 　　三、新课程标准颁布前后的教材提供的实物图是否有变化？ 新课程标准颁布以前，“从实物图中抽象出角”大多数教材出现在第二学段（第七册或第八册）；而新课程标准颁布后，这一内容在第一学段“角的初步认识”中呈现（第四册）。由此可见，教学要求在不断的提高。 同时，随着时代的发展，实物图的选择也在不断的发生变化。一开始，教材更多呈现的是静止的物体，如：尺子、小旗子、房子等。慢慢地，教材中开始呈现能动态变化的物体，如：剪刀、扇子、钟面等。新课标颁布后，更多的教材采用一副静止物品的实物图，两幅能运动的物体的实物图。这对感知动态角的存在，建立角的动态概念有一定的帮助。 从人民教育出版社的小学数学教材来看，1978年选用的实物图是三角尺、五角星和扇子，抽象出一个直角和两个锐角。新课标颁布后，人民教育出版社的实验教材提供的实物图为剪刀、吸管和水管，抽象出锐角、钝角和直角。实物图更改了原来的角的类别，三种基本角完整呈现，并关注到了角的动态变化，呈现了能动态变化的“吸管”，更利于学生建立角的概念。 总的看来，不管是什么年代，借助实物图来理解角的概念都是认识角时不可缺少的一部分。选择合适的实物图，按一定顺序抽象出直角、锐角和钝角，对学生建立角的概念会有更大的帮助。 关于角的调查问卷 　　问卷调查目标： 1、通过从熟悉事物中寻找角和指角，辨析学生对角概念的认知起点。 2、通过学生表述角的形态，了解学生角概念的表象。 3、了解学生“角的初步认识”这部分内容可能存在的难点。 测试对象：采用的是一年级28个学生，鉴于一年级学生注意力不集中，不能很好的感知题目，影响测试的水平，采用了一对一谈话式测试。 研究情况 　　前测题1：下面的4样东西中藏着角吗？藏在哪呢？请你指一指。 　　从本题测试看来，学生基本能在生活中寻找到角。但学生在生活中所接触到的“角”，可能是“羊角”“校徽的针尖”也可能是一个“拐弯”，学生总感觉得尖尖的地方才是角。学生对角的感知来源于生活中角的感悟，对于角的特点把握不准确，不能完整抽象出数学上的角。 疑问1：书本上角为什么这么难找？ 一年级的学生正处于具体形象思维为主的一个时期。对于书本这样一个立体图形（如下图），首先学生需要从这样的一个立体图形中“分离”出一个面，再从这一个面中抽象出一个角的，这样两步抽象过程，对于以具体形象思维为主的小朋友来说比较困难。因此，类似于平面图形的三角尺上，学生容易抽象出三角形，能更快的找到角。 　　以具体形象思维为主的学生，观察时更关注整体轮廓，从整体图形抽象出部分图形是比较困难。 疑问2：学生为什么抽象不出剪刀教材中标出的角？ 在测查时全部的学生都认为剪刀上尖尖处是角，这与教材素材所呈现的不同（如下图）。对比教科书中表示出的的角与学生所认知的角虽然都是尖尖的，但两者差距很大。由此可以看出（1）学生倾向于找外部的能直观看出，能摸得着，感受得到尖尖的地方，才是角。（2）学生心中的角依旧依附在面上，没有脱离出面抽象角。 　　说明学生片面的将“角尖尖”这样的生活特征当成角的数学特征。凸面上的角接近生活，学生更容易判断。 前测题2：说一说，在你心中角应该长什么样的（是圆圆的，胖胖的……）或画一画心中的角。学生对角的描述情况统计表 　　角的教学是学生在认识长方形、正方形、三角形的基础上进行教学的。学生对于它们上面的角认识比较熟悉。在认识长方形，正方形，三角形的时候，教师总会涉及在“边”和“角”两个角度去对比分辨图形，学生有意识到这些图形上面是有角的。而且从长方形、正方形、三角形这样的平面图形中抽象出平面图形角学生受干扰的因素更少。 学生从平面图形或近似平面图形的物体中更容易抽象出角。 前测题3：如果学生找到了角，指着这两个角，问这两个角一样大吗？学生角的大小比较情况统计  比错学生情况统计图 　　学生尽管在生活中接触过大量的生活中的角，但很少有对角的大小进行感知。学生会不自觉的把角所占的面积或空间的大小（比如说物体的厚度，物体面积的大小）混淆。 研究得出的结论 　　根据调查可知：此时的学生处于几何思维水平的视觉水平。在此阶段的学生基本以图形轮廓认识图形，难以抽象出数学上的角。 研究给予的启发 　　1、素材选择 二年级学生的分析问题的注意力的稳定性不够，所以在选择素材上，教师要选择具有代表性的，接近数学上的角，避免像“桌角”这类接近于生活，却抽象较复杂的角。这样有利于激发学生的学习积极性。 2.概念教学 通过前测我们发现，学生能辨认出角，但绝大多数都是会指成某个点。 （1）在引导学生把“生活经验中的角”逐步提升为“数学上的角”时，教师不要急于把完整的角直接抽象出来。在让学生对比“一点”和物体上的角，产生认知上的冲击，逐步建立正确的“角”表象。 （2）要关注学生对于角各部分名称的教学，完善角的认知。 3、角大小比较 在比较角的大小的学习中，可以让学生通过旋转活动角感知角的大小与张开的大小有关，在使用重叠法比较时尽量避免角所在的面积、空间等因素的干扰。 　　“好的开始是成功的一半”。对于一节课来说，导入有着激发兴趣、引出主题、为整节课奠定基础等重要作用，是课堂教学中教师都很重视的重要一环。“角的初步认识”是角概念教学的起始课，在这节课中，有哪些不同的导入方法呢？笔者在查阅了近百篇公开发表的教学设计类文章，听了近60节本节课的课堂教学后，整理、概括出以下几种不同的导入方式，并尝试对这些导入方式的特征进行分析，与您分享。 不同的导入方式 　　一、不同的导入方式 （一）开门见山 师：这节课，我们要学习的内容是“角”。（板书课题） 屏幕上呈现几幅图片（如下图①）提问：这些图上有角吗？在哪儿？ 　　图① 图② 学生找到图中哪里有角以后，教师根据学生的回答，隐去图中的实物，只留下角的痕迹（如上图②）。 师：这节课，我们就来——认识角。 （二）分类导入 教师在屏幕上呈现出各种图形（如下图③） 图③  师：“屏幕上有很多图形，同学们认识它们吗？来，叫出他们的名字！” “你能给这些图形分分类吗？” 在学生分类的过程中自然出现：“一类（边）是直直的，一类不是直直的。”“一类是有角的，一类是没有角的。” 师：这些图形是有角的，它们的角在哪儿？你能来指指吗？ （三）猜谜导入 师：同学们，今天这节课，老师给同学们带来了好几位图形朋友，不过它们很调皮，不肯直接与大家见面，它们说，要让你们猜猜它是谁，猜中了才肯现身！试试看，能难倒你们吗？ 屏幕上依次呈现（见图④）： 图④ 学生很快猜中答案后，教师继续说：“你们怎么猜的？猜得又快又准！”学生回答“只要看这个图形有没有角，有几个角就行了！……” 师：今天，咱们就来认识——角（板书课题） （四）角字导入 上课伊始，教师在黑板上写一个“角”，然后问：“这个字认识吗？”“嗯，这个字读作——jiao，看到角字，你想到了什么？” 学生回答：“我想到了牛角。” 师：“嗯，牛头上有角。” 生：“我想到了一角钱的角。” 师：“元角分的角。” 生：“我想到了我的小脚丫。” 师：“小脚丫的脚可不是这个角。” 生：“我想到了水饺的饺。” 生：“还有猪脚的脚。” 师：“你们在语文课上有没有学过脚丫的脚？” 生：“没有！” 师：“哦！难怪你们不知道，猪脚的脚，水饺的饺都不是这个角。” 生：“还有桌子的角。” 生：“蜗牛头上也有角。” 师：“你们的想象可真丰富！你们想到钱里面有角，很多动物的头上也有角，不过这节课是什么课啊？” 生：“数学课！” 师：“是啊！难道咱们数学课上就研究动物头上的角吗？你们猜猜，数学课上，咱们要研究的是什么角？” 生：“研究图形上的角。” 师：“你们桌面上的信封里，老师给每人都准备了几个图形，看看，哪个图形上有角？” …… （五）魔术导入 师：“同学们，我这儿有一个信封，信封里是什么呢？对，是一张扑克牌。”教师一边说，一边出示一个信封，信封中露出大半张扑克牌。“现在我用这把剪刀在这儿剪一刀，会怎么样？”学生说：“少一个角。”教师用剪刀剪去了扑克牌的一角。“你们看到了，这个角没了是吧！见证奇迹的时刻到了！我这么轻轻一拍，吹上一口气，瞧，这个角回来啦！”教师一边说，一边在信封上拍了一下，信封里出现了一张完整的扑克牌。在学生的唏嘘声中教师继续说：“我还能把这剪掉的一角变到屏幕上。看！”屏幕上呈现剪去那一角的图片。大致过程如图⑤ 　　图⑤  师：刚刚我们看到的是生活中我们所说的扑克牌上的一角，今天这节课我们要学习数学中的“角”。什么是数学中的角呢？这节课我们要——认识角。 （六）“足球射门”导入 教师在屏幕上呈现图片（如图⑥）：这是一场足球比赛，球进了！你们猜猜看，这个球可能是几号球员踢进去的？为什么呢？ 　　学生讨论中认为是9号球员踢进的可能性大，理由是他对着球门的角度更大些。 师顺势而问：“你们说的角度是怎么一回事呢？什么是角呢？这节课咱们就来学习数学中的——角。”  （七）“倾斜程度”导入 师：“我发现生活中有好多事情都是在比较，而且有时候呢，不需要说清楚到底比什么，大家也知道。比如说，咱们教室里，谁比较老？”……“嗯，谁比较老是在比年龄，我最大，所以我比较老。那么谁比较小呢？”“嗯，同学们年龄都差不多，你说她比较小，是在比较身材对吧！” 这节课我带来了几幅图，咱们来看看！教师依次呈现下图。 　　师：你们说这个小鳄鱼嘴巴张的大，红领巾的这儿比较尖，这个台阶比较陡，你们是在比什么呢？ 生：就是鳄鱼嘴巴张的更大！ 师——迷惑状 生：就是这样就尖一点，这样就不尖，这样就陡一点，这样就不陡。（一边说一边做手势） 师——继续迷惑状 生：就是比哪两条线离的比较近。 生：你们的意思是说，就是在比这两条线分开的程度是吗？（边说变做手势） 教师隐去图上的实物，留下不同的“角”。 不同导入方式的分析 　　以上列举了7种不同的导入，这些导入体现着执教者不同的价值取向，不同的导入符合不同年级学生的年龄特征，也为课堂教学的整体流程走向奠定不同的基础。 　　（一）不同导入体现不同的教育价值取向 （1）注重数学与现实生活的联系。从“角”字开始的导入、从学生熟悉的足球射门场景导入、以及从生活中有角的物品导入，都体现了设计者注重数学与生活的联系这一价值取向。尤其是从“看到角字，你想到了什么”开始进入教学，充分展现学生头脑中形形色色的“角”，再通过“数学课上我们研究的是什么样的角呢？”引导学生从生活走向数学，经历了一个“数学化”的过程。 （2）注重数学知识之间的内部联系。小学生的数学学习中，与“角”联系最紧密的是各种图形。给若干图形，引导学生对图形进行分类；或者给出不完整的图形，引导学生根据“角”判断出是什么图形的导入方式，体现了执教者对数学知识之间内部联系的重视。 （3）关注数学概念产生的本源。欧几里得在几何原本中对平面角的定义是：“平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度”（原文为：the plane angle is the angle that two intersecting lines in the same plane result in），“角”产生的本源就是描述两条相交线相互位置关系。前文中的导入七，执教者从“哪里比较尖”“哪个范围大”“谁的嘴巴张的大”“哪个台阶比较陡”引入教学，直接引导学生将关注点落在：这些都是在比较两条线之间的位置关系，体现了执教者对此的思考。 　　（二）不同的导入符合不同的学生年龄特征 从教材安排的序列看，“角的初步认识”多数版本教材安排在二年级上教学，但也有安排在三年级上教学的（浙教版），实际教学中，有时或许因为各种不同实际情况需求，也有在一年级下进行教学的时候。不同年级，不同年龄阶段的学生有着不同的年龄、认知特点。前文中从“角”字引入教学，更适合一年级角的初步认识教学。因为一年级学生入学时间短，识字量还比较小，还不大能够区分“角”与“脚”和“饺”，对什么是“数学”也比较模糊，这样的导入符合他们的年龄特点，也有利于引导他们逐步经历“数学化”的过程。但这样的导入如果放到三年级就不太适用了。同样道理，开门见山、分类、倾斜度等导入方式，则更适合在三年级或者二年级基础比较好的班级教学时使用。 　　（三）不同的导入奠定不同的教学流程基础 导入虽然只是教学伊始时，较短的一个教学环节，但不同的导入方式还是能为新课的学习奠定不同的基础。比如开门见山的导入方式非常简洁，直奔主题，会给后面的教学留足充分的学习时间；魔术导入中，扑克牌的一角在后继学习中可以作为判断什么是角什么不是角的素材进一步使用；而倾斜程度引入，学生对什么是角的大小会有更加直观，更加深入的体会。 同时，我们也可以看到，虽然执教者导入的方法不同，导入的目标不同，但这些导入中也有共性。如都重视学生兴趣的激发：无论是猜谜语、变魔术，还是与学生比“谁更老”，每位执教者都重视在教学的起始环节激发学生的学习兴趣。再如都关注学生的学习起点：虽然有的关注生活经验的起点，有的关注数学知识的起点，有的关注学生认知的起点。可见无论如何导入，让教学内容深深地触及学生的心灵深处，是大家共同的追求。 素材选择的思考 　　从上面四个版本教材例题素材的选择中我们可以发现，他们都有一个共同的特点：就是动静结合。如人教版和北师大版都采用了一幅静止、两幅运动的实物图，苏教版采用了两幅静止、一幅运动的实物图，浙教版则采用了实物角和活动角相结合方式，可见角的概念的建立应体现动静结合。那么我们又是怎么定义角的呢？ 欧几里得在《几何原本》中对角的定义是这样的：平面角是在一个平面内但不在直线上的两条相交线相互的倾斜度。 从测绘工程学上来说角的定义，则是指方位角，即从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。 小学四年级对角的定义：从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角（静态角）。一条射线绕着它的端点旋转形成的图形叫做角（动态角）。 在小学二年级上册（人教版）中对角的定义则只有在画角时的一句话：从一个点起，用尺子向不同的方向画两条笔直的线，就画成一个角。 由于《角的初步认识》这一课的内容是学生第一次认识角，因此教材通常会采用叙述性而非概述性的定义方式，它所描述的其实就是静态角，也可称之为图形角。还有一种角，就是“张开角”，也可以称之为“动态角”，理解张开角可以帮助学生比较角的大小，但是老师们通常容易忽视这种角，在课堂教学中我们常常可以看到让学生找各种平面角的活动，却很少有研究张开角的活动。实际上从上面对四个版本教材例题提供的素材中，我们可以发现教材中都有关于张开角的情境，但是往往容易将其运用为平面角。 基于“静态角”的教学导入 1．师：哪个同学想先把找到的角指给大家看？  生1：我找到了课桌上的角。  生2：我找到了数学书上的角。  生3：我找到了电视机上的角。……（所有学生都是指角的顶点处。）  师：老师明白了，同学们指出的角原来是这样一个图形（边说边在黑板上点一个点），这是个角吗？  生：不是，这是个点。  2．师示范：先摸角的顶点，再摸角的两条边。  3．学生照样子摸一摸身边物体表面的角。  基于“动态角”的教学导入 1、师：（出示一把剪刀）我们在剪东西的时候需要把剪刀怎么样？  生：需要把剪刀分开。  师：怎么分？  生做手势表示  2、刚才的动作可以转化为两条线来表示吗？怎么画？（课件出示）  3、有人认识这个图形吗？叫什么？  生：可以叫“角”。  4、如果要剪的东西更大，我们要怎么用这把剪刀呢？（两边分得开）  出示更大的角 5、你能用“角”这个名称来再说说它们张开的大小吗？  　　基于“静态角”的教学方式通常先让学生认识由一个顶点、两条边组成的图形是角，进而通过操作活动角比较角的大小，让学生认识到角的大小与两条边张开的程度有关。 而基于“动态角”的学习方式则让我们回到数学发生的源头，从为什么会有角开始思考，进而研究角的大小并定义角。 基于“静态角”的教学方式通常先让学生认识由一个顶点、两条边组成的图形是角，进而通过操作活动角比较角的大小，让学生认识到角的大小与两条边张开的程度有关。 而基于“动态角”的学习方式则让我们回到数学发生的源头，从为什么会有角开始思考，进而研究角的大小并定义角。在我们日常的课堂教学中老师们往往容易关注素材静态的一面，忽略了动态的一面，而利用张开角的导入可以透过张开的大小来表征角的大小，使学生更容易理解角的大小与张口的大小有关，与边的长短无关。  　　数学来源于生活，实践于生活，我们研究数学上的角就是为了更好的应用于生活，服务于生活。在认识角的过程中我们要帮助学生从生活原型中发现角的概念，在具体情境中运用角的概念。因此，在选择呈现角的素材时，既要提供足够的感性经验，形成图形的概念，又要有利于理解角的数学意义，从众多具体实物中抽象出角的概念。