同读一本书工作更精彩--《基本概念与运算法则》读书分享

数你最美

写在卷首请您聆听 尊敬的各位导师，亲爱的同学们： 大家好，我是来自河南省商丘市梁园区教师进修学校的姜琳，是全国新世纪小学数学杰出人才发展工程第六届高级研修班第一小组的成员。今天是高考的第二天，很荣幸在这样一个特殊的日子里，和大家进行第一次读书分享。 “读一本好书，就是同许多高尚的人说话。”润物无声，为思想注入活水，今天就让我们一起走进《基本概念与运算法则》这本好书。 作者简介 　　史宁中教授：东北师范大学前校长，教授，博士生导师。国务院学科评议组成员，第五届国家级教学名师，数学新课标修订组组长，中国教育学会副会长，教育部第五届科技委数理学部委员。 作为教育管理者，他在对师范教育的理性分析领域也取得了显著的成果。先后有《坚持为基础教育服务》、《创新:一所一流师范大学的灵魂》、《教师职业专业化:新世纪教师教育的重要使命》、《走向尊重的教育》等十余篇论文在《光明日报》、《中国教育报》等报刊上发表。其中他在《教育研究》上发表的《关于教育的哲学》一文，被美国柯尔比科学文化中心评为优秀科学论文，被30多家杂志和出版社转载。 内容简介 　　本书主要讲述小学数学教学内容中的一些核心问题，在理解内容的基础上，探讨实现“四基”课程目标、适合小学生认知规律的表达方式和教学方法。为了讲述的更加直接，这本书尝试以回答问题的方式进行讲述，其中，大部分问题来自数学教育工作者和教学一线的数学教师。“问题篇”包括30个问题，希望小学数学教师通过对这30个问题的理解就能够把握小学数学的核心，增强数学教学的信心。作为数学知识的拓展以及数学知识产生的历史背景，“话题篇”设定了30个话题，拓展对教学核心问题的理解。案例篇呈现了20个教学设计，供教师在设计自己的教学活动时参考。  小学数学所涉及的内容都是最基础的、最本质的，讲述清楚往往是比较困难的。因此，本书的内容不仅适用于小学数学教师，对于中学数学教师、学生家长甚至对大学生和大学教师都有参考价值。 写作初心 　　亲爱的老师们，有了上面的介绍，您是不是心动了呢？那么，这样一本令人行动的教育书籍，作者的写作初心又是什么呢？打开书本映入眼帘的是前言那一段排比式的疑问句：课程标准应当规定哪些教学内容，为什么要规定这些内容，这些内容的教育价值是什么？数学的本质是什么，应当如何在教学中体现这些本质？在义务教育阶段应当实施一种什么样的数学教育？培养创新型人才的关键是什么？应当通过什么样的教学活动进行培养？这不仅仅是笔者的思考，更是作为一线教师毕生所要探寻的答案。 思考的结果促使笔者对“双基”的变革。我国长期以来形成了基于“双基”的数学教学，这种教学不仅影响到小学，而且还影响到整个基础教育。这种教学的目标是：基础知识的扎实，基本技能的熟练。适于这种教学目标的主要教学形式是：教师讲授概念和法则，学生通过大量反复的练习，达到记忆扎实、熟能生巧；对应于这种教学目标的考试是：概念的记忆与理解，计算的准确与速度。显然，对于这样的考试而言，上面所说的教学形式是合适的，效果也是明显的。但是，这样的教学形式不利于培养学生的数学素养，不利于让学生感悟数学的思想，不利于帮助学生积累思维和实践的经验，更不利于培养学生的创新意识和创新思维。 所以由“双基”变“四基”是变革的必然，增加了基本思想和基本活动经验，基本思想和基本活动经验是一种隐形的东西，恰恰是这种隐性的东西体现了数学素养。 　史宁中教授确信：数学素养的培养、特别是创新人才的培养，是“悟”出来的而不是“教”出来的，因为数学的结果是“看”出来的而不是“证”出来的。可以想象，会“悟”会“看”的底蕴是把握数学思想，会“悟”会“看”的教育是一种经验的积累（包括思维的经验和实践的经验），需要受教育者本人的思考与实践，因此，受教育者本人参与其中的教育教学活动是至关重要的，是“教”与“学”的统一体。 史宁中教授给出了一个判定数学基本思想的准则，这个准则包含两条：一是数学的产生和发展所必须依赖的那些思想；二是学习过数学与没有学习过数学的人的思维差异。这样，就把数学思想归纳为三方面的内容，可以用六个字表达：抽象、推理、模型。 “四基”提出的同时也对中小学数学教师提出了更高的要求。要求教师：1.能够把握教学内容的数学实质，并且能设计出符合学生认知规律的教学过程让学生感悟这些实质。2.引发学生思考问题，并且帮助学生养成良好的独立思考的习惯。3.引导学生能够正确地思维与实践，并且帮助学生积累思维和实践的经验。 众所周知，在同样条件下，一个人的事业成功与否，并不仅仅取决于这个人掌握多少知识，更取决于这个人的思维方法。因此，为了实现新的课程目标就必须改变传统的教育理念和教学方法。 了解了作者的写作初心，我正式的开启了我的阅读之旅。本周主要阅读的是第一板块“数的认识”。 　　了解了作者的写作初心，我正式的开启了我的阅读之旅。本周主要阅读的是第一板块“数的认识”。 摘录笔记请您聆听 　　数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。但无论是认识数量还是认识数都不是数学的本质。数学的本质是：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。数量之间最基本的关系是多与少，与此对应，数之间最基本的关系是大与小。那么数量是什么，数量关系的本质是什么呢？我们一起走进问题1 问题1 　　问题1：数量是什么？数量关系是什么？ 数量是对现实生活中事物量的抽象。其实从远古时代开始，在日产生活和实践中，人们就需要创造出一些语言来表达事物量的多少，像一粒米、两条鱼、三只鸡等这种有实际背景的、关于量的多少的表达称为数量。而此时的数字还不具有数字符号的功能，只能把这些数字理解为与数量有关的事物的记载。而数学研究的对象应当比数量更为一般的抽象，为了实现更为一般的抽象，就必须把握数量的本质，这个本质则表现在数量关系之中。数量关系的本质则是多与少。 比较数量多少的方法称为对应，上古结绳而治，后世圣人易之以书契。古代欧洲人则利用小石头记录数量的多少。老师们，阅读到这里，比数量更为一般的抽象，或者说，能够成为数学研究对象的抽象是不是已经呼之欲出了呢，但是，又该如何描述这个抽象呢，让我们一起走进问题2 问题2 　　问题2：如何认识自然数？ 数是对数量的抽象，数的关系是对数量关系的抽象。为了更好地研究现实世界中量的关系，就必须对数量进行更为一般的抽象，抽象的结果就是自然数。可以有两种方法实现这种抽象：一是基于对应的方法。首先利用图形对应表示事物数量的多少，然后再对图形进行命名，最后把命名了的东西符号化。比如：用两个正方形表示两个小朋友，然后抽象出数字2.一般来说，需要从两个角度来把握这种抽象：在形式上，自然数去掉了数量后面的后缀名词；在实质上，自然数去掉了数量所依赖的实际背景。另一种是基于定义的方法。数的定义紧密地依赖于数的关系，即大小关系。通过大小关系定义自然数的方法利用了“后继”的概念。自然数的抽象过程深刻地表明，数学不是研究某一个具体背景的东西，数学研究的是一般的规律性东西。反过来，人们又可以把一般性的结果应用于某一个具体的事物，这就体现了数学的价值。比如人们通过抽象了的自然数和自然数之间的关系，得到了自然数的运算方法，反过来，又把自然数的运算方法应用于具体的数量运算。 当然，上面两种认识自然数的方法均表明，在现实世界中，抽象了的数是不存在的，存在的只是数所对应的数量。比如，在现实世界中，自然数3是不存在的，存在的只是具体的3匹马3头牛等。 为了对数进行研究，仅仅认识自然数是不够的，还需要用抽象的符号来表示自然数，自然数有无穷多个，我们不可能创造出无穷多个符号来表示自然数。那么，表示自然数的关键是什么呢？接下来，让我们走进问题3 问题3 　　问题3：表示自然数的关键是什么？ 表示自然数的关键是十个符号和数位。自然数有无穷多个，为什么用十个符号就能够表示所有的自然数呢？关键在于数位，比如：在个位上的2与在十位上的2所表示的自然数是不同的。当然，在这样的表示中，0起到关键作用。读自然数的法则是：符号+数位。 人类发明十进位的自然数计数系统实在是一件非常了不起的事情，这个发明经历了相当漫长的过程，对人类的贡献极大，马克思终生喜爱研究数学，他称赞十进制记数法是最妙的发明之一。 因此在小学阶段的数学教学中，不可能让学生完全理解数的抽象过程，但是，应当努力创设出一些情境让学生清晰地感悟到这个抽象过程。比如问题2中所说的利用对应的方法。 问题4 　　问题4：如何认识自然数的性质？虽然自然数是数学中最简单、最基础的研究对象，但要研究清楚自然数的性质却不是一件容易的事，一些著名的命题和猜想都与自然数的性质有关。 我国颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》中强调了分类，因为“分类讨论问题”有助于人们认识事物的本质，这也是我们中国人认识问题的传统思维模式，这种思维模式一直影响到当代中国。 人们常见的、也是小学数学教学内容包括的对自然数的分类主要有两种：一种是奇数与偶数的分类，一种是素数与合数的分类。 请您聆听问题5 　　问题5：如何认识负数？ 在小学阶段、甚至在整个义务教育阶段,数学教学中所涉及到的数都有明确的现实背景(所涉及到的法则也都有着明确的现实背景),负数也不例外。因此，虽然可以通过减法来定义负数，但负数的本质还是对数量的抽象，所代表的意义与正数完全相反。 人们约定：在自然数的前面加上符号“－”表示负数，并称这个符号为：“负号”。负数与对应的自然数在数量上相等，表示的意义相反。人们在自然数的前面加上符号“+”或者“—”是为了表示这个数量的性质，分别称为“正数”或者“负数”。为了强调正数与负数在数量上相等，也为了更好地表达运算规则，人们还发明了绝对值符号。其实，负数也是因为日常生活和生产实践的需要创造出来的，并且，与正数的教学方法一样，也可以用对应的方法进行负数的教学。 现有资料表明，最早提到负数并给出正负数加减运算法则的是中国汉朝的数学著作《九章算术》。在这本书的第八章“方程”中，利用实际的例子引入了负数的概念，讨论了正数与负数的加减运算：正负术，这里的术是算术的术。并且用不同颜色的算筹解释了运算法则。大约在公元628年，印度数学家给出了负数的四则运算。因此，负数与减法运算关系密切，而减法运算又依赖于加法运算。 问题6 　　问题6：如何认识分数？ 虽然可以把分数看成除法运算的一种表示，但分数本身是数而不是运算。 古希腊学者对分数进行了深入的研究，把能写成分数形式的数称之为有理数，把不能写成分数形式的数称之为无理数， 分数的本质在于真分数，即分数的分子小于分母。分数有两个现实背景：一个是表达整体与等分的关系，一个是表达两个数量之间的整数的比例关系。后者又称之为整比例关系。 整体与等分关系。问题的关键是对整体的等分：把整体看作1,比如：把一个月饼等分为5份，其中的1份就是这个月饼的1/5，其中的2份就是这个月饼的2/5.应当注意的是：通过等分得到分数单位。比如刚才所说的1/5就是分数单位，而2/5则表示的是两个分数单位。 整比例关系。分数还可以表示两个事物量之间的整数比，或者说以一个事物的量为基准对另一个事物的量进行整数倍的度量。比如有这样一道题： 小红家有鹅4只，是鸭子数量的1/3，问有几只鸭子？其中的1/3说的就是比例：1只鹅对应3只鸭子，2只鹅对应6只鸭子，以此类推，4只鹅对应于12只鸭子。 解决这个问题的关键是解释1/3的含义。显然，这里的1/3是一个比例关系，而不是整体与等分关系。我们也从中看出，解释1/3的过程是一个破题的过程，也就是说，解释这道题的含义的过程。事实上，有许多问题只要破题清楚，就可以自然而然地得到解题的思路。因此，在小学数学的教学过程中，许多应用问题必须重视破题这个环节。 从这个内容的阅读中，我们还可以知道，分数是一种无量纲（或称量纲一）的数。也就是说，无论是一块小月饼还是一个大蛋糕，如果分5份的话，那么每一份都是1/5，与整体本身的大小无关。无论是4只鹅还是400只鹅，与鸭子的数量比都是1:3，这个比例与数量的多少无关。也正因为如此，现实生活中一些看来无法比较的事情用分数就可以比较了，这就是通常所用的百分数。 问题7 　　问题7：如何认识小数？ 人们对小数的认识要比分数的认识晚的多，直到18世纪人们才建立起稳定的十进位小数表达形式，这比微积分的出现还要晚100多年。建立小数的概念，一方面是为了现实世界中数量表达的需要；另一方面是为了数学本身的需要，主要是为了表示无理数。如果没有小数来表示无理数，人们就很难进行无理数的加法运算。 为了理解小数，需要重新理解整数，其核心在于重新理解十进制。无论是整数还是小数，都可以用10的整数次幂的组合表示。人们通常把这样的表示称为线性组合，其中10的整数次幂称为基底。因此，一个十进制的数就是一个以10的整数次幂为基底的线性组合，而一个小数就可以用10的负整数次幂表示。这样，就可以清晰地解释乘法运算0.1×0.1=10-1×10-1=1/10×1/10=1/100=0.01。可以看到，这种运算的实质是对分数单位的进一步等分。得到新的分数单位，只要注意到每次进行的都是十等分。所以，分数单位的进步一等分应当安排在小数乘法运算之前。在介绍分数的时候就介绍分数单位，并且介绍分数单位的进一步等分。否则就很难说明为什么0.1×0.1=0.01。 后来，人们为了更好地解释实数理论，特别是解释实数的连续性，就重新用小数定义有理数和无理数：有限小数和无限循环小数为有理数；无限不循环小数为无理数；有理数和无理数统称实数。 问题8 　　问题8：什么是数感？ 《义务教育数学课程标准（2011年版）》给出了义务教育阶段数学内容所涉及的最重要的十个核心概念。其中第一个核心概念就是数感，《义务教育数学课程标准（2011年版）》中对数感的解释是： 主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。 我们可以看到，《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调数与现实的关系，对数感强调的是一种感悟。这种感悟是重要的：在小学数学教学活动中，不仅要让学生感悟“数是对数量的抽象”，还应当反过来，让学生感悟“抽象出来的数与数量是有联系的”。抽象的核心是舍去现实背景，联系的核心是回归现实背景。我们可以这样理解“回归现实背景”，比如：同样是100这个抽象了的数，但是100粒黄豆与100匹马给人的感觉是大不一样的；再比如，去市场买菜，带100元钱是足够多了，但要购买房子，只有100元钱是远远不够的。因此，对于现实生活的许多情况，人们需要感悟数与现实背景之间的联系，从而感悟并且判断在日常生活和科学研究中数所提供的信息。 培养学生的“数感”不仅是学习数学的需要，而且有助于培养学生认识和解释现实事物的能力，这是一种数学素养的教育。 写在卷尾 　　就这样，边读书边摘录边思考，虽然只是阅读了本书胡第一部分--数的认识，却带给我太多的启发和思考。其实，在没有读此书前，对数与数量关系，对于他们的先后顺序、数学的本质等一些概念是比较模糊的，此刻却已是清晰而又深刻，对数的认识及数学教学有了更深入的理解和认识。也许我不可能让学生完全理解数的抽象过程，但是，我会努力创设出一些情境让学生清晰地感悟到这个抽象过程。” 也许我还不能完全理解书中的内容，但是，我会坚持读书学习。同读一本书，工作更精彩，和大家一起读书的日子是快乐的，享受在字里行间，分享读书的心得和体会，丰富我们的育人智慧，并用这样一份执着和坚持，去寻找小学数学教学的诗与远方。 以上是我通过阅读《基本概念与运算法则》这本书的前言及第一部分数的认识，所留下的感受和思考，不当之处，敬请导师和同学们批评指正。 谢谢大家，我的分享到此结束。 话题探讨 　　1.书中有这样有一个词：无量纲。我不是太理解，也查了资料:量一般分为两种，可数的量和可测的量。对于可数的量（个、件数）一般为整数，无计量单位，称为无量纲。而对于可测的量（时间、长度、质量），这些都是有计量单位的，称为有量纲。百度也搜索了一下，（如下图）。对这个词，您了解吗，您是怎么理解的？ 　　2.书中有这样一句话：十进位的数位法则是依次相差十倍。对这句话你是怎么理解的？ 　　欢迎大家在美篇下方留言，留下您对两个问题的思考，也期待您的鼓励及宝贵意见噢～