妙解“鸡兔同笼”问题

芬芳

大冶市黄狮海学校数学课题组

本期分享教师：卫翠芳

1.数学名题——“鸡兔同笼”

鸡兔同笼”问题是古代数学名题之一，大约在1500年前，数学家撰写了《孙子算经》一书，传本的《孙子算经》共三卷。上中卷主要谈到了算筹，下卷第31题是后世“鸡兔同笼”问题的始祖。这本书不像其他的古书那样晦涩难懂，他用平铺直述的语言记录了很多有趣的题目，浅显易懂。

　　

在这本书中就记载了这样的一个题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”在这道题里面，雉就是今天的鸡，所以这四句话的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数有三十五个头，从下面数有九十四只脚，求笼中各有多少只鸡和兔？

“鸡兔同笼”难倒外国友人

不知道大家有没有看电视节目《非正式会谈》，副会长杨迪搬出小学的一道奥数题，他说：“我不得不承认这道题很难！”就是下面的这道题哟！我们一起来看看吧！

　　面对“鸡兔同笼”这道题颇有中国特色的数学题，12位外国代表能否成功解出呢？

尼日利亚的钱多多居然算出了620只鸡鹅，120只兔子。遭到杨迪的无情吐槽，“620只鸡为什么只有30个头呢？是有多少只无头鸡混在里面？”惹得大家捧腹大笑。

而且学霸功必扬更是写出“毕业了”三个大字，因为毕业了，所以不用写作业了，这道题连厉害的学霸都望而却步。

法国小伙宋博宁动作倒是神速，解题过程刷刷的写满了题板，更是搬出微积分的大牛算法，看起来很厉害的样子，然而最终也没有解出来。

最出彩的是成功算出答案的“冠军贝”，他不仅用方程式成功解题。并且逻辑清晰。讲解流畅，受到众人膜拜。

古书妙解鸡和兔的数量

我们的祖先真厉害，能解决这么困难的问题。我特别想知道让外国友人“闻风丧胆”的题目究竟怎样来做呢？

记得，有若干只鸡和兔子在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头，从下面数有九十四只脚，求笼中各有几只鸡和兔？

《孙子算经》中对于这道题是这样来说明的：假设砍去每只鸡每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，而每只兔就变成了“双脚兔”。

这样，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚就从94只变成了47只。每只“鸡”的头数和脚数之比变成了1:1，每次“兔”的头数与脚数之比就变成了1:2。由此可知，有一只“双脚兔”，脚的数量就会比头的数量多1。所以，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们头的数量之差，就是兔子的只数。即47—35=12（只）；鸡的数量就是35—12=23（只）。

什么是1:1呢？1:2又是什么呢？

1：1的意思就是如果鸡头有一个，鸡脚就有一只。同样的，如果鸡头有两个，鸡脚就有两个。也就是说鸡头的数目与鸡脚的只数是一样的。1:2的意思是如果兔头有一个，兔脚就有两只，同样的，如果兔头有两个，那么兔脚就有四只，也就是说兔脚是兔头的二倍。这是比例，我们到了六年级就会学到。

我已经被这道题绕晕了，说了那么多，我还是不会做。古人的方法听起来好麻烦啊，有没有简单一点的方法呢？

别晕别晕，接下来我就给你介绍几种简单的方法，

2.“鸡兔同笼”妙法大揭秘

妙方大揭秘1——列表法

　　

让我们先把题目变得简单一点，请看题：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有十个头，从下面数，有二十八只脚，鸡和兔各有多少只？

我们想如果这十个头都属于鸡的，那就没有兔子，这样就能算出相应的脚的数目是二十。显然和题目不符。那我们就继续想，如果鸡有9只，兔子有1只；鸡有8只，兔子有2只，以此类推……

可以用表格列举：

脑洞大开，小试牛刀

妙法大揭秘2——假设法

还是之前的那道题，我们再换一种方法来解决，用假设法试一试。如果笼子里都是鸡，那么就有10×2=20（只）脚，和题目中脚的总数相比就少了28—20=8（只）脚。多出的脚肯定都是兔子的，兔子除了刚才算得2只脚之外还有2只脚，这样就能算出兔子有8÷2=4（只），鸡和兔子一共有10只，兔子有4只，那剩下的就是10—4=6（只）就是鸡了。

懂啦懂啦，我来总结一下：

兔子的只数=（总脚数—2×总只数）÷2

鸡的只数=总只数—兔子只数

你太聪明，这么快就学会了，刚才我们假设笼子里全都是鸡，那能不能假设全都是兔子呢？

如果笼子里都是兔子，那么就有4×10=40（只）脚，和题目中的总数相比，就多了40—28=12（只）脚。

这么多脚肯定都是鸡的，鸡本身只有2只脚，刚才算成了4只，这样12÷2=6（只）鸡。

鸡兔一共有10只，鸡有6只，那剩下的10—6=4（只）就是兔子了。

脑洞大开，小试牛刀

妙法大揭秘3——抬脚法

1.我们可以让鸡抬起一只脚，兔子呢就抬起两只脚，这样鸡和兔子每只就都抬起了一半的脚，脚的数目就变成了28÷2=14（）只了）。

2.这时，笼子里的鸡还有一只脚，兔子

有两只脚，用14—10=4（只），也就是假设每只动物都有一只脚。用剩下的脚的数目减去动物的只数得到的就是多余的脚。也就是兔子的只数。

3.则鸡有10—4=6（只）

假如鸡和兔子都抬起两只脚，那么笼子里还剩下28—10*2=8只脚。这时鸡是没有脚在地上的，所以地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有8÷2=4只兔子，一共有10只动物，兔子有4只，那么就有10—4=6只鸡。

太有趣啦，其实抬腿法不止这一种，还有其他办法呢，我们再来看一看。

我们可以先让兔子都抬起2只脚，那么就剩下有10*2=20只脚，了。

这样脚的数目和原来相差就是28—20。=8只脚。这些都是每只兔子抬起2只脚，一共抬起8只脚，然后用8÷2得出兔子有4只，再用10—4得出鸡有6只。

同学们，你会做了吗？现在来考考你们做几道题吧

3.不一样的“鸡兔同笼”问题。

在知识竞赛中，有10道判断题，评分规定：每答对一道题得两分，答错一道题要倒扣一分。小明答了全部题目，但最后只得了14分，他答错了几道题？

这到底怎么和之前做的题目不一样啊，这可怎么做呀？

像这种算分的题目看起来和“鸡兔同笼”问题南辕北辙，但实质实际上他们是同一类题目。看清楚哦，问题是做错了几道题目哦！

我们假设小明的题目全部答对，那他应该10*2=20分，结果他只得了14分。算对和答错两种情况相差2+1=3分，所以小明答错的了（20—14）÷3=2道题。同学们看看，这和“鸡兔同笼”问题的办解决方法是不是一样呀？是的，那现在老师考考你们，大家一起来挑战一下，拿出你的笔动手试试吧？

思维挑战：

育英小学三年级举行数学竞赛，一共55道题，规定做对一题得8分，做错一道题倒扣4分，王云同学一共得了72分，那么他做对了几道题？

酷玩数学日记





生活中的鸡兔同笼

6月10号 晴



去年我和爸爸妈妈一起去奶奶家过年。奶奶住在乡下，还办了一个小养殖场呢！大年二十八的下午，我正躺在椅子上懒洋洋地晒太阳。“阿桂——过来一下！”突然鸡圈里传来了奶奶的叫声，我闻声走到鸡圈，只见奶奶笑眯眯的看着我，这使我突然有了一种“不祥的预感”。奶奶笑呵呵的说：“咱们家养了许多鸡和猪，今天就出道题考考你。对了的话，今天晚上鲜美的鸡汤让你喝够”

“真的吗？”我半信半疑，但为了“美味的鸡汤”我决定试一试。

“快点出题吧，奶奶，鸡汤，我来了！”“嘿，别急，仔细听好了，咱们家里养的鸡和猪总数是70，它们一共有200条腿，那你能告诉我到底有多少只鸡？多少头猪吗？”奶奶眯着眼睛看着我，仿佛在嘲笑我似的。

“让我仔细算一下。”这不就是我们最近学过的“鸡兔同笼”问题吗？

我立刻跑回屋拿出纸和笔，开算啦！

4×70=280（条）280—200=80（条）80÷（4—2）=40（只）呵呵，原来有鸡40只，那猪就是70—40=30（头）

“等等，我还应该验算下，四十只鸡有40×2=80条腿，三十头猪应该有30×4=120条腿。正好是200，没错！”

我兴奋地跑向奶奶，领“赏”去了！可怎么也找不到奶奶，院子里没有，屋子里也没有，养殖场里还是没有！奶奶呀！你去哪里了？不会“躲债”去了吧！我心里暗自埋怨着。接着，我又到鸡圈里去数鸡，1只、2只、345只……39只，咦，怎么少了1只？是的，奶奶一定是烧鸡汤去了！对呀，刚才厨房我竟然忘记找了。

“”阿贵了——快来喝鸡汤”了！”厨房里传来奶奶的喊声，我急急忙忙跑去，原来奶奶早已烧好了鸡汤，她是在让我做“饭前运动”呀！不过，答案还是应该告诉他老人家的，答案是40只鸡，30头猪！

原来知识真的可以当“饭”吃呀，看来我以后一定要努力学习数学！

身边的数学

6月12号 晴



这个学期，我们学习了许多新知识，都是生活中的数学，我在平时生活中也能用得上。我身边就有许多这样的例子。

快过新年了！今天，爸爸到银行换了许多崭新的人民币回来，一元钱和五元钱的最多，“爸爸，一元钱和五元钱的共有几张？一共多少元？”“一共有50张，一共有110元 。”爸爸回答道。“哦，那么一元和五元的各有几张？”我又问。“这个我根本不用回答，你自己也可以解答出来！”“是吗？对！可以用“鸡兔同笼”的方法解答出来！”“我试试看吧！”爸爸对我说。

我在心里计算着：假设全部是一元的，那么五十张就是50元，110—50=60元，5—1=4元，60÷4=15张，50—15=35张。

“一元的有35张，五元的有15张。”我脱口而出。“真聪明！告诉我，你是怎样算出来的？”“首先，假设……”我把整个过程完完整整的告诉了爸爸。“这就是生活中的数学知识，类似“鸡兔同笼”的数学问题经常可以在生活中发现！所以，你一定要善于思考，勇于探索数学知识，并且学以致用。这样，你就能对数学这门学科有更深的了解，记住了吗？”爸爸对我说，我会心地点点头。

同学们，如果你也有一双善于发现的眼睛，发现我们身边中的数学，并通过数学的方法与解决，知识会学得更扎实哦！

正确认识无症状感染者，如何预防无症状感染者。大家一起来学习了解一下吧！