古稀忆

凌均坚

序(七律)

小少离家入校园，六载追梦沐师恩。名师名校誉三湘，桃李芬芳遍人间。昔日书生今暮年，回眸又叹学识浅。古稀老翁多忘事，唯记九章勾股弦。

一、已知P、P+2均为大于3的素数，求证P+1定能被6整除。

证明：∵p、p+1及p+2是三个连续自然数，它们中必有一个能被3整除，和至少有一个能被2整除，又∵p、p+2均为大于3的素数，就都不能被2和3整除，∴p+1定能被2和3整除，也就能被6整除。

二、求x(ⅹ+1)(ⅹ+2)(x+3)的最小值

解：原式

=[ⅹ(x+3)][(ⅹ+1)(ⅹ+2)]

=(ⅹ²+3x)²(ⅹ²+3x+2)

=(ⅹ²+3x)²+2(x²+3x)+1-1

=[(ⅹ²+3x)²+1]²-1

∵[(x²+3x)²+1]²≥0

∴原式的最小值=0-1=-1

三、当n≥0，比较2ⁿ与n²的大小

解：当0≤n<2时，2ⁿ>n²

当n=2和n=4时，2ⁿ=n²

当2<n<4时， 2ⁿ<n²

当n﹥4时， 则2ⁿ>n²

四、任何大于3的3个素数的平方之和定能被3整除

解：大于3的素数可写为数3x2n-1或3x2n+1(n为正整数)∵(3x2n-1)²=3x2nx(3x2n-2)+1

(3ⅹ2n+1)²=3x2nx(3x2n+2)+1它们的平方数均是3x2的倍数+1，3个这样的平方数相加之和必为3m+3=3(m+1) (注：m为正整数)

∴任何大于3的3个素数的平方之和定能被3整除。

(五)：（佳木出题）AxA=B+B=Cx135求A的最小值

解：1、若A B C均为自然数 当C=0， 则AxA=B+B=0x135=0 此时A=0是它的最小值

2、若A B C均为整数， A没有最小值，但有无限小值。此时C与B均为无限大值(∞)，具体等式是(-90x∞)(-90x∞)

=4050x∞²+4050X∞²

=(60x135)x∞²=8100x∞²

3、若A B C均为正整数

∵135=3x3x3x5

∴C=2x2x3x5=60

则 Cx135=60x135

=8100是该式的最小值

∵AxA=B+B=Cx135=8100

90x90=4500+4500=8100

故A的最小值是90

六、(四川中考题)已知x+y=1，求证xy的最大值是1/4

证明：设ⅹ=z+a y=z-a

则xy=(z+a)(z-a)=z²-a²

当a≠0时 a²>0 xy<z²

当a=0时 则x=y=z a²=0

xy=z²是最大值

又∵已知x+y=1∴x=y=z=1/2，∴xy=1/2x1/2=1/4是最大值。

七、比较31¹¹与17¹⁴的大小

解：∵32¹¹﹥31¹¹ 16¹⁴<17¹⁴

而32¹¹=(2⁵)¹¹=2⁵⁵

16¹⁴=(2⁴)¹⁴=2⁵⁶ 2⁵⁶﹥2⁵⁵

∴16¹⁴﹥32¹¹ 即17¹⁴﹥31¹¹

八、把2x³-x²-5x-2分解因式

解：以ⅹ=-1代入原式

得2x(-1)³-(-1)²-5(-1)-2=0

可知原式含有x+1的因式，

∴原式=(x+1)(2x²-3x-2)

=(x+1)(x-2)(2x+1)

九、解方程x²-丨x丨-6=0

解：由原方程得方程组

ⅹ²-ⅹ-6=0 (2) 丨x丨>0 (3)

解方程(2)得(x+2)(x-3)=0

ⅹ=-2 或ⅹ=3

解(3) 得ⅹ=±3 或x=±2

经验算ⅹ=±2不合题意，

x=±3合题意，

∴x=±3是原方程的解。

十、化简α√-1/α

解：原式=α√(-1/α)(α/α)

=α√-α/α²

=√-α

(十一)：设a﹥0、b>0 试比较a^ab^b与a^bb^a的大小

解：∵a>0 b﹥0

∴a^ab^b﹥0 a^bb^a﹥0

∴a^ab^b/a^bb^a

=[a^(a-b)][b^(b-a)]

1、当a>b>0时，

则a/b﹥1 a-b>0

∴(a/b)^(a-b)﹥1

∴a^ab^b﹥a^bb^a

2、当b﹥a﹥0时，

则a/b<1 a-b<0

∴(a/b)^(a-b)﹥1

∴a^ab^b﹥a^bb^a

3、当a=b>0时，

则a^ab^b=a^bb^a

综上所述，a﹥0 b>0，

则有a^ab^b≥a^bb^a

十二、设x²+y²=1224，

求x与y的值

解：∵ⅹ²+y²=1224

∴y²=1224-ⅹ²

y=±√(1224-x²)

∴当ⅹ=±30时 则y=±18，

当x=+30或-30时，

则y＝+18或-18

十三、比较2¹⁰⁰与10³¹的大小

解：∵2¹⁰⁰=(2¹⁰)¹⁰=1024¹⁰

=(1.024ⅹ10³)¹⁰

=1.024¹⁰x10³⁰<1.1¹⁰x10³⁰

=1.9999999991x10³⁰

<10x10³⁰=10³¹

∴10³¹﹥2¹⁰⁰

十四、比较√2、∛3、∜4、⁵√5的大小

解：∵∜4=√2

(√2)⁶=2³=8<9=3²=(∛3)⁶

(√2)¹⁰=2⁵=32﹥25=5²=(⁵√5)¹⁰

∴∛3﹥√2=∜4﹥⁵√5

∴∛3最大，⁵√5最小。

(十五)、已知x﹥0 y>0，且1/x+9/y=1，求ⅹ+y的最小值。

解：∵1/ⅹ+9/y=1 x﹥0 y>0

∴x+y=(ⅹ+y)(1/x+9/y)

=1+9x/y+y/x+9

＝10+(9x/y+y/x)

∵9ⅹ/y+y/x≥2√(9x/y)(y/x)

∴x+y≥10+2√(9x/y)(y/ⅹ)

=10+2√9=16

故x+y的最小值为16

十六、已知2ⁿ+256=y²

求n=？ y=？

解：2ⁿ+256=y²

即2ⁿ+(2⁴)²=y²

设∧为未知数 且n=2∧+1

则2ⁿ=2²^⁺¹=2x2²^

∴2x2²^+(2⁴)²=y² (1)

设(2⁴+2^)²=y²

则(2⁴)²+2x2⁴x2^+(2^)²=y² (2)

∴2x2⁴x2^+2²^=2x2²^

即2²^=2x2⁴x2^2^=2x2⁴=2⁵

∴2x2²^=2x2⁵x2⁵=2¹¹

即2ⁿ=2¹¹ n=11

y²=2¹¹+256=2048+256

=2304=48² ∴y=48

(十七) (上题延伸)已知2^m+2^2n=y^2 (m与n均为正整数)

1、证明 y=3x2^n

2、当n=5时，求各项之值

解：1、设m=2w+1 (w为正整数) ∵2^m+2^2n=y^2

2^(2w+1)+2^2n=y^2， 设(2^w+2^n)^2=y^2

2^2w+2x2^wx2^n+2^2n=y^2∴2^(2w+1)=2^2w

+2ⅹ2^wx2^n

即2^2w=2x2^wx2^

∴2^w=2x2^n=2^(n+1)

2^m=2^(2w+1)

=2^(2n+2+1)=8x2^2n

∴y^2=8x2^2n+2^2n=9x2^2n ∴y=3x2^n

2、当n=5则2^2n=2^10=1024

2^m=8x2^2n

=8x1024=8192

y^2=2^m+2^2n

=1024+8192=9x2^10

或y^2=9x2^2n

=9x2^2x5=9x2^10

十八、三个连续自然数的乘积为3360，求此三个连续数

解：∵20³<3360>10³

∴此三数必<20而﹥10

又∵乘积3360的尾数是0，故它的乘数中定有一个尾数是5，这个数就是15，其他两个数的乘积是3360÷15=224

而224=15²-1

=(15+1)(15-1)

=14x16

∴此三个连续数分别为

14、15、16

十九、孙子点兵 求S=1/2¹+2/2²+3/2³+4/2⁴+…+n/2ⁿ

解：1、S=(1/2+2/2²+3/2³+…+n/2ⁿ)x(1-1/2)x2

=(1/2+2/2²+3/2³+……+n/2ⁿ

-1/2²-2/2³-3/2⁴-……-n/2ⁿ⁺¹)x2=(1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+…+1/2ⁿ-n/2ⁿ⁺¹)x2=(1+1/2+1/2²+1/2³+…-n/2ⁿ)×(1-1/2)x2

=(1+1/2+1/2²+1/2³+…-n/2ⁿ

-1/2-1/2²-1/2³-……+n/2ⁿ⁺¹)x2=(1-1/2ⁿ-n/2ⁿ⁺¹)x2=2-2/2ⁿ-n/2ⁿ=2-(2+n)/2ⁿ

2、用归纳法解 当n=3时 则S₃=(1/2+2/2²+3/2³)x(1-1/2)x2=(1+1/2+1/2²-3/2³)x(1-1/2)x2=2-4/2²+3/2³=2-(3+2)/2³ 当n=4时，同理S₄=(1/2+2/2²+3/2³+4/2⁴)x(1-1/2)x2=(1+1/2+1/2²+1/2³-4/2⁴)x(1-1/2)x2=2-5/2³+4/2⁴=2-(4+2)/2⁴当n=5时，同理S₅=(1/2+2/2²+3/2³+4/2⁴+5/2⁵)x(1-1/2)x2=(1+1/2+2/2²+3/2³+4/2⁴-5/2⁵)x(1-1/2)x2=2-6/2⁴十5/2⁵=2-(5+2)/2⁵

∴S=1/2+2/2²+3/2³+4/2⁴+……+n/2ⁿ＝2-(n+2)/2ⁿ

二十 求∛(2+√5)+∛(2-√5)之和

解：∵[∛(2+√5)+∛(2-√5)]³

=4-3[∛(2+√5)+∛(2+√5)]

设x=∛(2+√5)+∛(2-5) 则得

x³=4-3x 即x³+3x-4=0

因式分解得(x-1)(x²+x+4)＝0， 即x-1=0 或x²+x+4=0

∴ⅹ=1 而ⅹ²+ⅹ+4=0无解

∴ⅹ=1是唯一的解

∴∛(2+√5)+∛(2-√5)=1

(二十一)、若直线ⅹ/a+y/b=1   (a>0  b>0)  过点(1，2)

           求2a+b的最小值

解：∵直线x/a+y/b=1  过点(1，2)     ∴1/a+2/b=1

   2a+b=(2a+b)(1/a+2/b)=4+4a/b+b/a

         又∵4a/b+b/a≥2√(4a/b)(b/a)=4

         ∴2a+b=4+4a/b+b/a≥4+4=8

          ∴2a+b的最小值=8

(二十二)、方程x²-2ax+4=0的两个根均大于1，

求实数a的取值范围。

解：x=(2a±√4a²-16)/2=a±√(a²-4)   ∵两根均大于1，故

  小的根a-√(a²-4)﹥1   则√(a²-4)≥0  及a-1﹥√(a²-4)

  解这两个式子，得a≥2   及a<5/2   ∴实数a的取值范围

  是2≤a<5/2   两根均大于1

二十三、已知x²+ⅹ+1=0    求x²⁰¹⁸+x²⁰¹⁷=？

解：∵x²+ⅹ+1=0    ∴ⅹ²=-ⅹ-1   

 x³=x²ⅹ=(-x-1)ⅹ=-ⅹ²-ⅹ=-(-x-1)-x=1 x²+ⅹ=-1

 ∴ⅹ²⁰¹⁸+x²⁰¹⁷=(x²+x)(ⅹ³)⁶⁷²=(x²+x)(1)⁶⁷²=-1

二十四、半径为R的半园中，试求其内接正方形面积

解：设内接正方形的边长为x，则面积S=x²

       依题意得x²+(x/2)²=R²  解此方程得x²=4R²/5

       ∴内接正方形的面积为4R²/5

二十五、(白俄罗斯竞赛题)  因式分解x⁴-3x²+4x-3

解：原式=(x⁴-2x²+1)-(x²-4x+4)

                 =(x²-1)²-(x-2)²

                 =(x²+x-3)(x²-x+1)

二十六、(意大利数学竞赛题)

           求证：n²+5n+16不能被169整除

             (注：式中英文字母均为正整数)

证明：设n=11+13m 

 则原式=(n+2)²+n+12=(13+13m)²+13m+23

            ∴[(13+13m)²+13m+23]÷169

             =(m+1)²+(13m+23)÷169  

             ∵23不能分解出13的因数   即23≠13w

              则13m+23≠13(m+w)=13x13u=169u

              ∴13m+23不能被169整除  

               即n²+5n+16也不能被169整除。

二十七、已知a、b、C、m、n均为整数 且a+b+c能被6

               整除，求证a³+b³+c³亦能被6整除

证明：∵a+b+c=6m   ∴这3数中至少有1个数能被2整除，

 故3abc=3x2abc/2=6n     (a+b+c)³=6³m³

 (a+b+c)³+3abc-3abc=a³+b³+c³+3a²b+

3a²c+3b²a+3b²c+3c²a+3c²b+9abc-3abc

 =a³+b³+c³+3(ab+ac+bc)(a+b+c)-3abc=6³m³

 ∴a³+b³+c³=6³m³+3abc-3(ab+ac+bc)(a+b+c)

   =6³m³+6n-3x6m(ab+ac+bc)

    =6[6²m³+n-3m(ab+ac+bc)]

   ∴a³+b³+c³之和亦能被6整除。

二十八、(美国数学竞赛题)：

x²+y²=7 (1) x³+y³=10 (2)

求：x+y=？

解：(1)式变为x²+2xy+y²-2xy=7

即(x+y)²-2xy=7 (3)

(2)式变为x³+3x²y+3xy²+y³-3x²y-3xy²=10

即(ⅹ+y)³-3(x+y)xy=10 (4)

设w=x+y u=xy 分别代入(3)和(4)得方程组

w²-2u-7=0 (5) w³-3wu-10=0 (6)

解此方程组，整理后得w³-21w+20=0 (7)

令w=1代入该方程得1³-21x1+20=0

故方程(7)可分解为(w-1)(w²+w-20)=0

继续分解得(w-1)(w-4)(w+5)=0

则w-1=0 w-4=0 w+5=0

∴w=1 w=4 w=-5 即ⅹ+y=1 ⅹ+y=4 ⅹ+y=-5

二十九、(佳木题)已知a，b，c均为正数，且a+b+c=1

求证：1/a+1/b+1/c≥9

证明：∵a，b，c均为正数，a+b+c=1

∴1/a+1/b+1/c=(1/a+1/b+1/c)x(a+b+c)

=1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1

=(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+3

又∵α/b+b/a≥2√a/b√b/a=2

同理a/c+c/a与b/c+c/b均≥2

∴1/a+1/b+1/c≥2+2+2+3=9

三十、已知a，b，c均大于0，且a+b+c=1 其中a=1/4

求abc相乘的最大值

解：∵a+b+c=1 a=1/4 ∴b+c=3/4

设b=m+n c=m-n (注m>n≥0)

则abc=(m+n)(m-n)/4=(m²-n²)/4

当n=0时 则n²=0 abc的最大值=m²/4

此时b=c=m=(3/4)/2=3/8

∴abc的最大值=m²/4=(3/8)²/4=9/256

三十一、求证：任意两个奇数的平方差均能被8整除。

证明：设任意两奇数分别为2m+1和2n+1

(注m、n均为整数 且m≠n)

则(2m+1)²-(2n+1)²=4m²+4m+1-4n²-4n-1

=4(m²-n²+m-n)=4[(m+n)(m-n)+(m-n)]

=4(m+n+1)(m-n)

若m与n同为偶数或同为奇数时，则m-n能被2整除

若m与n一个为奇另一个为偶时，则(m+n+1)能被2整除

∴4(m+n+1)(m-n)能被8整除

即任意两个奇数的平方差均能被8整除。

(三十二)、计算(㏒₈5+㏒₂5)(㏒₅4+㏒₂₅8)

=(㏒5/3㏒2+㏒5/㏒2)(2㏒2/㏒5+3㏒2/2㏒5)

=2/3+1/2+2+3/2=14/3

三十三、求证：9²⁴-1能被13整除

解：∵9²⁴-1=(9¹²+1)(9¹²-1)

=(9¹²+1)(9⁶+1)(9⁶-1)

=(9¹²+1)(9⁶+1)(9³+1)(9³-1)

=(9¹²+1)(9⁶+1)(9³+1)x56x13

∴(9²⁴-1)÷13=(9¹²+1)(9⁶+1)(9³+1)x56

三十四、已知a+b+c=3 (1) a²+b²+c²=3 (2)

求：a⁵+b⁵+c⁵=？(a，b，c均为整数)

解：解不定方程组(1)和(2)得a=±√(3-b²-c²)

3-b²-C²≥0 b²+c²≤3 ∴b=c=±1 a=±√(3-1-1)=±1

又∵a+b+c=3 且3数均为整数，-1不合题意

∴a=b=c=1 ∴a⁵+b⁵+c⁵=1⁵+1⁵+1⁵=3

三十五、已知x，y均为整数 x²+ⅹy+y²能被9整除

求证：ⅹ，y必须能被3整除

证明：∵ⅹ，y为整数 x²+xy+y²能被9整数 则x与y能被3整除，

也可能不需要被3整除。此时有三种可能

1、x与y均能被3整除

设x=3a，y=3b (注：a，b均为整数) 依题意得

ⅹ²+ⅹy+y²=(3a)²+(3a)(3b)+(3b)²

=9(a²+ab+b²)能被9整除，∴x与y能被3整除成立。

2、x与y均不被3整除 设x=3a+1 y=3b-1

则x²+ⅹy+y²=(3a+1)²+(3a+1)(3b-1)+(3b-1)²

=9(a²+ab+b²)+3(a-b)+1

∵3(a-b)+1不能被9整除 ∴ⅹ²+ⅹy+y²不能被9整除，

∴ⅹ与y都不能被3整数的设想不成立。

3、一数能被、另一数不能被3整除，

设x=3a，y=3b+1，则ⅹ²+ⅹy+y²

=(3a)²+3a(3b+1)+(3b+1)²

=9(a²+ab+b²)+3(a+2b)+1

∵3(a+2b)+1不能被9整除∴ⅹ²+xy+y²不能被9整除，

∴苐3种设想也不成立。

综上所述，ⅹ与y均必须能被3整除原式才能被9整除。

三十六、因式分解：x⁴+x³+x²+2

解：∵不论x为何数，ⅹ⁴+ⅹ³+ⅹ²+2>0

∴原式只能分解成两个均含有ⅹ²的因式，经配方

原式=(x²+2x+2)(ⅹ²-ⅹ+1)

(三十七)、(㏒₅√2/㏒₅3)x(㏒₇9/㏒₇∛4)

+㏒₂[√(3+√5)-√(3-√5)]=？

解：原式

=(㏒₃√2)(㏒∛₄9)+㏒₂²[√(3+√5)-√(3-√5)]²

= (㏒₃2)÷2x3㏒₂3+㏒[3+√5-√(9-5)+3-√5]

=3/2+㏒₄2=3/2+1/2=1

三十八、解不定方程x³+y³+z³=w³ (ⅹ，y，z，w均为正整数)

解：此不定方程有无数组解，具体分三种情况(其他种情况略)

1、当ⅹ=1 y=6 z=8

则x³+y³+z³=1+216+512=729=9³ ∴w=9

当x=n y=6n z=8n (n为正整数)

得n³+(6n)³+(8n)³=(9n)³ w=9n

2、当x=3 y=4 z=5

则ⅹ³+y³+z³=27+64+125=216 ∴w=6

当x=3n y=4n z=5n

得(3n)³+(4n)³+(5n)³=(6n)³ w=6n

3、当x=3 y=10 z=18

则x³+y³+z³=27+10³+5832=6859 ∴w=19

当x=3n y=10n z=18n

得(3n)³+(10n)³+(18n)³=(19n)³ w=19n

(三十九)上题延伸：

解不定方程x³+y³+z³=u² (ⅹ，y，z，u均为正整数)

解：由上题已知当x=1 y=6 z=8时，

则有 x³+y³+z³=1³+6³+8³=729=9³

∵9³=(3³)²=27² ∴当x=1 y=6 z=8时 u=27

即1³+6³+8³=27²

(四十)三十四题延伸：

已知a+b+c=1 (1) a³+b³+c³=1 (2)

求：a⁵+b⁵+c⁵=？ (注：a，b，c均为整数)

解：先解不定方程组(1)式和(2)，

依题意当a=1时 则b+c=0 a³=1 b³+c³=0

设b=n (n为整数或0) 则c=-n，

同理b=1时 a=-c=±n C=1时，b=-a=±n，

∴a²+b⁵+c⁵=1⁵+n⁵+(-n⁵)=1

或 a⁵+b⁵+c⁵=n⁵+1+(-n)⁵=1

或 a⁵+b⁵+c⁵=(-n)⁵+n⁵+1=1

四十一、(北大招生考试题)

① 试推导正整数的平方和公式

②求出1²+2²+3³+……+2000²=？

解：①∵1²+2²+3²+…n²

=1²+1-1+2²+2-2+3²+3-3+…+n²+n-n

=1x2+2x3+3x4+……+n(n+1)-(1+2+3+……+n)

={1x2x3+2x3x(4-1)+3x4x(5-2)+…

+n(n+1)x[n+2-(n-1)]}/3

-n(n+1)/2 =[n(n+1)(n+2)/3]-n(n+1)/2

=[n(n+1)(2n+4-3)]/6=n(n+1)(2n+1)/6

② ∴1²+2²+3²+……+2000²

=2000x2001x4001/6

=1000x667x4001=4002667000

(四十二)上题延伸：1、推导正整数的立方和的公式

2、求1³+2³+3³+……+2000³=？

解：1、1³+2³+3³+…+n³

=1³-1+1+2³-2+2+3³-3+3+…+n³-n+n

=0+2(2²-1)+3(3²-1)+…n(n²-1)+1+2+3+…+n

=1x2x3+2x3x4+…+(n-1)n(n+1)+(1+2+3+…+n)

={1x2x3x4+2x3x4x(5-1)+…

+(n-1)n(n+1)[n+2-(n-2)]}/4 +n(n+1)/2

=[(n-1)n(n+1)(n+2)/4]+n(n+1)/2

=[(n⁴+2n³-n²-2n)/4]+(2n²+2n)/4

=(n⁴+2n³+n²)/4=n²(n+1)²/4

2、1³+2³+3³+……+2000³

=2000²x2001²/4=4004001x10⁶

(四十三)、已知㏒₁₈9=a，18ⁿ=5，

用a，n表示㏒₃₆45的值

解： ∵18ⁿ=5，∴㏒₁₈5=n

㏒₃₆45=㏒₁₈45/㏒₁₈36=㏒₁₈9x5/㏒₁₈18x2

=(㏒₁₈9+㏒₁₈5)/(㏒₁₈18+㏒₁₈2)

=(a+n)/(1+㏒₁₈18/9)

=(a+n)/(1+㏒₁₈18-㏒₁₈9)

=(a+n)/(2-a)

(四十四)、已知四边形的四边AB=3，BC=4，CD=5，DA=6

求：该□ABCD的最大面积是多少？

解：这个四边形的图形由△ABC和△CDA组成，它们的大小均由这两个三角形的公边也是该四边形的一条对角线AC来决定，∵三边长之和一定， 等边三角形的面积最大，通过分析比较，当AC=5.7时，则边长分别为5， 5.7，6的大△CDA最近似等边三角形而面积最大，此时四边边ABCD 面积也最大，

即□ABCD面积S

=S△ABC+S△CDA=5.7÷2x√[3²-(5.7²+3²-4²)/2x5.7]+5.7÷2x√[5²-(5.7²+5²-6²)/2ⅹ5.7]

=5.7x2.02/2+5.7x4.64/2

=5.757+13.214=18.971

四十五、正△ABC内的点O到三边的距离为1，3，5，求三角形边长。

解：设该△的边长为n，则S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△COA，即n²sln60º/2=1n/2+3n/2+5n/2

得n=(1+3+5)÷√3/2=6√3

∴正△ABC的边长为6√3

四十六、上题延伸：用三角函数计算求边长。

解：由O点連接正△ABC的3个顶点，得线段OA，OB，OC

∵OA=1/Sin∠oab

=3/Sin(60º-∠oab)

∴3Sin∠oab=Sin(60º-∠oab) 即3Sin∠oab=Sin60ºCos∠oab-Cos60ºSin∠oab

3Sin∠oab=(√3Cos∠oab)/2-(Sin∠oab)/2

7Sin∠oab=√3Cos∠oab

得tg∠oab

=Sin∠oab/Cos∠oab=√3/7

AE=1/tg∠oab=7/√3

同理OB=1/Sin∠oba

=5/Sin(60º-∠oba)

5Sin∠oba=Sin(60º-∠oba)

11Sin∠oba=√3Cos∠oba

tg∠oba=Sin∠oba/Cos∠oba =√3/11

BE=1/tg∠oba=11/√3∴正△ABC边长=7/√3+11/√3=6√3

(四十七)、已知△ABC的边长AB=5，BC=6，CA=7

求：△ABC的面积S=？

解法1、从A点作BC边的高D，将BC分为BD和CD，设X=BD 则CD=6-x，

AD²=AB²-x²=CA²-CD²，

即5²-x²=7²-(6-x)²，

解此方程得x=1，

高AD=√(5²-1²)=√24=2√6

∴S△ABC=(6x2√6)/2=6√6

解法2、设P为△ABC的周长一半，即P=(5+6+7)/2=9，

根据海伦定理，S△ABC

=√P(P-AB)(P-BC)(P-CA)

=√9(9-5)(9-6)(9-7)=6√6

(四十八)、已知数列{aₑ}是等比数列，若a₂=2，a₅=1/4，则a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+……+a₁₀₀a₁₀₁=？

解：依题意，a₂=a₁q=2，a₅=a₁q⁴=1/4，

∴q⁴/q=(1/4)/2

即q³=1/8 公比q=1/2

a₁=2/(1/2)=4，a₃=a₁q²=1

a₄=a₁q³=1/2，a₁a₂=4x2=8

a₂a₃=2，a₃a₄=1/2

a₂a₃/a₁a₂=a₄a₃/a₂a₃=1/4

∴数列{a₁₀₀a₁₀₁}是以8为首项，1/4为公比的等比数列。

∴a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+……+a₁₀₀a₁₀₁

=8x[1-(1/4)¹ºº]/[1-(1/4)]

=32/3[1-(1/4)¹ºº]

(四十九)、已知等差数列{a₁₀₀}前100项之和为S₁₀₀，等比数列{b₁₀₀}的前100项之和 为k₁₀₀，

a₁=-1，b₁=1，a₂+b₂=2，①若a₃+b₃=5，求{b₁₀₀}的通项公式 ②若K₃=21，求S₃

解：①依题意得方程组

-1+d+q=2 (1)

-1+2d+q²=5 (2)

解此方程组 得d=d，q=0 (不合题意，舍去) 和d=1，q=2，

∴a₂=0 a₃=1，b₂=2b₃=4，{b₁₀₀}的通项公式为2ⁿ⁻ⁱ

②∵K₃=21，即b₁+b₂+b₃=1+q+q²=21 得q²+q-20=0

∴q=4， q=-5 当q=4时，

代入(1)得d=-1，

S₃=a₁+a₂+a₃=-1+(-2)+(-3)=-6当q=-5时，代入(1)得d=8，

S₃=-1+7+15=21

(五十)、Sₑ为等比数列{aₑ}的前e项之和，已知S₂=2，S₃=-6，

①求{aₑ}的通项公式，②求Sₑ，並判断Sₑ₊₁，Sₑ，Sₑ₊₂是否成等差数列

解①∵S₂=a₁+a₂=a₁(1+q)=2，

S₃=a₁+a₂+a₃=a₁(1+q+q²)=-6

∴-6(1+q)=2(1+q+q²)

q²+4q+4=0 q=-2

∴{aₑ}通项公式为(-2)ⁿ

②Sₑ=-2[1-(-2)ⁿ]/[1-(-2)]

=-2/3+(-1)ⁿ2ⁿ/3

∵Sₑ₊₁+Sₑ₊₂=-4/3+(-1)ⁿ(2ⁿ⁺³-2ⁿ⁺²)/3=2[-2/3+(-1)ⁿ2ⁿ/3]=2Sₑ

∴Sₑ₊₁，Sₑ，Sₑ₊₂成等差数列。

五十一、因式分解Ⅹ⁷-1

解：X⁷-1=Ⅹ⁷-Ⅹ⁶+Ⅹ⁶-X⁵+X⁵-Ⅹ⁴+Ⅹ⁴-Ⅹ³+Ⅹ³-X²+Ⅹ²-Ⅹ+X-1=X⁶(Ⅹ-1)+Ⅹ⁵(X-1)+Ⅹ⁴(ⅹ-1)+Ⅹ³(Ⅹ-1)+Ⅹ²(X-1)+Ⅹ(Ⅹ-1)+(Ⅹ-1)

=(Ⅹ-1)(Ⅹ⁶+Ⅹ⁵+Ⅹ⁴+Ⅹ³+Ⅹ²+X+1)

五十二、求100x101+101x102+……+1000ⅹ1001

解：原式=1x2+2x3+…+1000x1001-1ⅹ2-2x3-…-99x100

=(1000x1001x1002-99x100x101)/3=334000700

五十三、已知(Ⅹ²+Ⅹ+1)∧(Ⅹ²-9x+20)=1 求Ⅹ=？

解：依题意，可得方程(1) X²+ⅹ+1=1 及方程(2)Ⅹ²-9Ⅹ+20=0 解方程(1)得Ⅹ(X+1)=0

∴Ⅹ=-1 或X=0

解方程(2) 得(X-4)(X-5)=0

∴Ⅹ=4或=5，经验算Ⅹ=0

Ⅹ=-1 X=4 X=5均合题意。

五十四、解方程组

Ⅹ+y+Z=√(X+y+Z+1)+11 (1)

Ⅹ/2=y/3=Z/4 (2)

解：设W=√(X+y+Z+1)

则(1)式变成W²-W-12=0 (3)

解(3)得(W-4)(W+3)=0

W=4 或W=-3

∴√(Ⅹ+y+Z+1)=4

即Ⅹ+y+Z+1=16 (4)

或√(X+y+Z+1)=-3

即X+y+Z+1=9 (5)

解方程组(2)式和(4)式

得Ⅹ=10/3 y=5 Z=20/3

解方程组(2)式和(5)式

得X=8/9 y=4/3 Z=16/9

经验算，X=8/9 y=4/3

Z=16/9不合题意，应舍去。

∴X=10/3 y=5 Z=20/3是原方程组的解。

解：连接该正方形的对角线C，自C作垂线交AM的延长线于E

∵MN丄AM，MN丄CN，CE丄AE，AM=10，CN=4，MN=6

∴∠AEC=90º，四边形MNCE为长方形，△AEC为直角△，

∴CE=MN=6，AE=AM+ME=AM+CN=10+4=14，

AC²=AE²+CE²=14²+6²=232，∴□ABCD面积S=AC²/2=116

五十六、(五岳出古题)：100条鱼，100斤重，大鱼重3斤/条，中鱼重2斤/条，小鱼重1两/条(1斤为16两)，求大鱼、中鱼、小鱼各多少条？又各多重？

解：①古题古法(算朮法)：依题意，当小鱼可为1、2、3、4、 5、6斤时，就有16~96条。若小鱼重为1~3斤、16~48条时，则中鱼和大鱼之和至少有52条和超过104斤，不合题意；如小鱼为5~6斤、80~96条时，则中鱼和大鱼之和最多为20条和不超过60斤，不合题意。 ∴小鱼只能为64条、重4斤。则大鱼=(100-4)-(100-64)x2=24(条) 重3x24=72(斤)，或者大鱼=(100-64)x2/3=24(条)，重3x24=72(斤)。 中鱼=100-64-24=12(条)， 重2x12=24(斤)。

②古题今法(代数法)：设大、中、小鱼分别为X、y、Z条， 依题意得方程组 Ⅹ+y+Z=100 (1) 3Ⅹ+2y+Z/16=100 (2) 解方程组，得不定方程 y=200-47Z/16，当Z=64条，则y=200-47x64/16=12（条）X=100-64-12=24（条） 3X=3x24=72（斤） 2y=2x12=24（斤） Z/16=64/16=4（斤） ∴大鱼有24条，共72斤重，中鱼有12条，共24斤重，小鱼有64条，共4斤重。 五十七、在下图(一)边长为α的正△ABC中，①求作一个最大的正方形，並求其面积。②该正方形面积占正△面积的百分比率是多少？

解：见下图(一)，①从A点作∠A的中垂线交对边BC于D点，则AD=AC*sin60º=α√3/2， CD=DB=AC*sin30º=α/2， 在BC边上作最大的正方形EFHG，∵正△ABC的三边全等、 三内角全等，∴三边上所作的最大正方形都一样，即正方形EFHG就是正△ABC 最大的正形。具体作法是：设该正方形边长 2x=EF=FH=HG=GE=SD， 则GS=SE=Ⅹ，AS=√3GS=√Ⅹ ∵AS+SD=AD 即√3X+2Ⅹ=α√3/2 ∴X=(2α√3-3α)/2， 以2x的数值为距离，作BC的平行线分别 交AC于G，交AB于E，又从G点和E点作垂线分别交BC于H和F， 连接此四点则得最大正方形EFHG。其最大正方形EFHG面积S₁=(2Ⅹ)²=(2√3-3)²α²=(21-12√3)a² ②∵正△ABC的面积S=(α√3/2)α/2=α²√3/4 ∴面积百分比率=S₁/S=[(21-12√3)α²/(α²√3/4)]x100％≈49.74％

五十八、在上图(二)等腰直角△ABC中，等腰两直角边为b，①作一个最大 的正方形，並求其面积。②其面积占等腰直角△的百分比率是多少？

解：见上图(二)，①作最大正方形有两种方法，(1)从直角∠A的顶点A作中垂线交斜边BC于D，则中垂线AD=√2b/2，同上题方法，可作出BC边上的最大正方形MNRS，求出它的边长为√2b/3，其面积S₁=2b²/9，

(2)作直角A的平分线(重合中垂线)交斜边BC于D，再从D点分别作垂线交AB边于E、交AC边于F，则在两直角边上得最大正方形AEDF，並计算出边长AE=ED=DF=FA=b/2，

其面积S₂=(b/2)²=b²/4，

∵b²/4﹥2b²/9 ∴正方形AEDF才是等腰直角△ABC的最大正方形。

②∵等腰直角△ABC的面积S=b²/2，∴面积百分比率=S₂/S=(b²/4)/(b²/2)x100％=50％

五十九、任意三角形按角分，可分为直角△和非直角△两类。如右下图，已知非直角△ABC中，∠B大于∠A和∠C，边长AB=c，BC=α，AC=b，

①在该△内求作一个最大正方形並求其面积。②求最大正方形占非直角三角形面积的百分比率。解：见右下图(一)(二)，①所作最大正方形的方法(1)：在新作的两直角边上作图，当∠B<90º，从∠A的顶点作AB₁垂直BC于B₁，则AB₁=b*sin∠C

设正方形边长为x₁ ∵b*sin∠C=ⅹ₁(1+tg∠C)∴ⅹ₁=b*sin∠C/(1+tg∠C)

当∠B>90º时，则x₁=α*tg∠C/(1+tg∠C)。

方法(2)：在大边长AC上作图，从∠B顶点作垂线BD交AC于D，则BD=α*sin∠C，

AD=c*cos∠A，CD=α*cos∠C

设正方形边长x₂=NH=HG=GM=SD=MN=MS+NS， ∵MS=BS/tg∠C， NS=BS/tg∠A ∴α*sin∠C=BS(1+1/tg∠C+1/tg∠A)，

BS=α*sin∠C/(1+1/tg∠C+1/tg∠A)，

x₂=BS(1/tg∠C+1/tg∠A) ∴ⅹ₂=a*sin∠C(1/tg∠C+1/tg∠A)/(1+1/tg∠C+1/tg∠A)，

或x₂=c*sin∠A(1/tg∠C+1/tg∠A)/(1+1/tg∠C+1/tg∠A)。(3)如ⅹ₂﹥x₁，则最大正方形MNHG在边AC上，作图方法同五十七题。其面积S₂=(ⅹ₂)² =αc*sin∠Asin∠C[(1/tg∠C+1/tg∠A)/(1+tg∠C+tg∠A)]²如ⅹ₂<x₁，则最大正方形BEDF在新作的两直角边上，作法同五十八题。其面积S₁ =(ⅹ₁)²=[b*sin∠C/(1+tg∠C)]²

②∵三角形边长之和一定，等腰直角三角形面积最大，在其内所作最大正方形占比率达50％也最大。∴非直角三角形内所作的最大正方形面积占三角形面积的百分比率是：0﹤S₁/S﹤0％， 或0﹤S₂/S﹤50％

六十、 左上图直角△ABC中，直角边AB=c，BC=α，①在此三角形内求作一个最大的正方形並计算其面积。②求最大正方形与直角△面积的百分比率。 解：五十八题已证明，直角三角形中的最大正方形是在两直角边上，①具体作法是：先作直角∠B的平分线交斜边AC于D，又自D点作垂线分别交AB于E、交BC于F，连此四点就是最大正方形EDFB。设x=ED=DF=FB=BE，则AE=ⅹ/tg∠A，AB=AE+BEc=(ⅹ/tg∠B)+x， ∴ⅹ=c*tg∠B/(1+tg∠B)， x=α*tg∠C/(1+tg∠C)

最大正方形面积S₁=ⅹ² =αc(tg∠B*tg∠C)/(1+tg∠B)(1+tg∠C)∵∠B+∠C=90º ∴tg∠B*tg∠C=1， tg∠C=1/tg∠B ∴S₁=ⅹ²=αc/(1+tg∠B+tg∠C+tg∠B*tg∠C)=αc/(2+tg∠B+tg∠C)=αc/(2+tg∠B+1/tg∠B)或S₁=αc/(2+tg∠C+1/tg∠C)②∵直角△ABC的面积S=αc/2 又∵(tg∠C+1/tg∠C)≥2 ∴所作最大正方形占直角△ABC面积的百分比率为 S₁/S=[αC/(2+tg∠C+1/tg∠C)]/[αc/2]x100％≤2/(2+2)x100％=50％

即0<S₁/S≤50％

六十一、(佳木出题)已知A²+A+1=0，求A¹⁷+A=？

解：①直接计算法，∵A²+A+1=0，∴A=-A²-1，A²=-A-1， A³=A²*A=(-A-1)A =-A²-A=A+1-A=1∴A¹⁷+A=(A³)⁵*A²+A=A²+A=-A-1+A=-1 ②利用复数先解方程再求解 解得A=(-1±√3i)/2 当A=(-1+√3ⅰ)/2， 则A²=[(-丨+√3i)/2]² =(-1-√3i)/2

A³=A²*A=[(-1-√3i)/2]*[(-1+√3i)/2]=(1+3)/4=1

∴A¹⁷+A=(A³)⁵*A²+A=A²+A=[(-1-√3i)/2]+(-1+√3i)/2=-1

当A=(-1-√3i)/2时，同理可求得A¹⁷+A=-1 六十二、(上题延伸)已知4X²+2Ⅹ+1=0，求X⁹，X⁸+X/2⁷，Ⅹ⁷+Ⅹ²/2⁵各等于多少？

解：把等式两边同除以4，得X²+Ⅹ/2+1/4=0，则Ⅹ²=(-Ⅹ/2)-1/4，Ⅹ=-2X²-1/2 X³=X²*Ⅹ=[(-X/2)-1/4]*X =-X²/2-X/4=(X/4)+(1/8)-(Ⅹ/4)=1/8=1/2³ ∴X⁹=(Ⅹ³)³=(1/2³)³=1/2⁹

∴X⁸+Ⅹ/2⁷=(Ⅹ³)²*X²+Ⅹ/2⁷ =(1/2⁶)*(-Ⅹ/2-1/4)+Ⅹ/2⁷=-Ⅹ/2⁷-(1/2⁸)+X/2⁷=-1/2⁸ ∴Ⅹ⁷+X/2⁵=(Ⅹ³)²*Ⅹ+X⁵/2⁵=(1/2⁶)*(-2X²-1/2)+Ⅹ⁵/2⁵=-Ⅹ²/2⁵-(1/2⁷)+Ⅹ²/2⁵=-1/2⁷

六十三、如下图，在直径MN为20的半园内，有一正方形口ABCD，该正方形的底边CD在半园的直径MN上，两顶点A与B均在半园的园周线上，

①求证：口ABCD为半园内最大的正方形。

②在半园内作一个底边同在直径上，外边的顶点在园周线上，内边与口ABCD的BC边共一条线的另一个正方形。 ③计算半园内这两个正方形的面积之和。

解：①在左上图的园弧线A0₁中任取一点A₁作A₁D₁垂直于MN，∵A0₁是增函数，∴A₁D₁﹥AD，口A₁B₁C₁D₁﹥口ABCD， 但∵0₁N是減函数，∴ 口A₁B₁C₁D₁的顶点B₁与它的部分面积SB₁S₁均在半园之外，∴口A₁B₁C₁D₁不合题意应舍去。 又在园弧线AM内任取一点A₂作A₂D₂垂直于MN，∵AM是减函数，∴A₂D₂<AD，口A₂B₂C₂D₂<口ABCD。∴口ABCD是半园内最大的正方形。 ②在右上图中作Rt∠BCN的角平分线CF交园周线于F，从F分别作垂线，交BC于E，作垂线FG交NC于G，即得到符合题目条件的口CEFG。

③ 在右上图中，由园心0連接两正方形的三个顶点A、B、F，分别得半径OA=OB=0F=10，又从等腰△A0B顶点0作中垂线交底边AB于H，则AH=BH=CO=DO=AB/2=AD/2=CD/2=BC/2 在Rt△ADO中， ∵DO=AD/2 AD²+DO²=OA²∴(AD²+AD²/4)=100 解得AD=√80 DO=√80/2=√20 又∵DO=C0=√20 ， OG=0C+CG，FG=CG 在Rt△FOG中，FG²=OF²-0G²即FG²=0F²-(OC+CG)² CG²=100-20-2√20(CG)-CG²，CG²+√20(CG)-40=0

解此方程得(CG-√20)(CG+√80)=0 ∴CG=√20 或CG=-√80 (不合题意)，∴S口ABCD+S口CEFG=AD*CD+CG*FG=(√80)²+(√20)²=100

六十四、下图中，已知囗ABCD和口CEFG为半园内两个正方形，它们底边CD和CG相连在半园的直径上，中间边BC与EC相重合，边BC的顶点在半园内、也可在半园的的园周线上(见上题)，它们的外边AD的顶点A与外边FG的顶点F均在半园的园周线上，如该半园的半径为R，求这两个相连正方形的面积之和。

解：如上图，设口ABCD的边长为X，口CEFG的边长为y，它们面积之和为X²+y² 在Rt△ADO中，OD=√(R²-X²) 0C=DC-0D=X-√(R²-X²)，在Rt△FGO中，∵ 0G=0C+CG=X-√(R²-Ⅹ²)+y， (OC+CG)²+FG²=0F² ∴[X-√(R²-Ⅹ²)+y]²+y²=R²

展开得Ⅹ²-2Ⅹ√(R²-Ⅹ²)+R²-X²+2Xy-2y√(R²-Ⅹ²)+2y²=R² 上式合併后得 2y²+2Xy-2(X+y)√(R²-X²)=0即y²+Xy-(X+y)√(R²-Ⅹ²)=0，(Ⅹ+y)y=(X+y)√(R²-Ⅹ²)，等式两边同除以X+y后，得y=√(R²-X²)。等式两边同时平方后，得y²=R²-Ⅹ² 即X²+y²=R² ∴半园内这样的两个正方形面积之和等于R²。

六十五、已知在等差数列{aₑ}中，a₂=4，a₄+a₇=15，又知等比数列{bₑ}的公比q=2，b₁=3，b₄=24

求：(1)数列{aₑ}及{bₑ}的通用公式。(2)a₅+b₅+a₆+b₆+…a₁₀+b₁₀的值

解：(1)、设等差数列的公差为d

则得方程组a₁+d=4 (1) a₁+3d+a₁+6d=15 (2)

解此方程组得a₁=3，d=1 ∴aₑ=3+(e-1)=e+2

∵等比数列{bₑ}的q=2， b₁=3，b₄=24 ∴b₁=3=3x2¹⁻¹，b₄=24=3x2⁴⁻¹

∴bₑ=3x2ⁿ⁻¹ (注：n=e，均代表自然数)

(2)、a₅+b₅+a₆+b₆+……a₁₀+b₁₀

=(a₅+a₆+…+a₁₀)+(b₅+b+…+ b₁₀)=(7+8+…+12)+3(2⁴+2⁵+…2⁹)=(7+12)x6/2+3x2⁴(1+2¹+…2⁵)(1-2)/(1-2)=57+3x16ⅹ(2⁶-1)=3081

六十六、在左下图中，C与D两点相距为α√3/2，∠ADB=∠BDC=30º，∠DCA=60º，∠ACB=45º ，求：A与B两点之间的距离是多少？

解：依题意，∠ADC=∠ADB+∠BDC=60º∠DAC=180º-∠DCA-∠ADC=60º

∴△ADC是等边△， 即CD=DA=AC=α√3/2 在△DCB中， ∵∠DCB=60º+45º=105º， ∠CBD=180º-∠BDC-∠BCD =45º ， CD/sin45º=BC/sin30º， ∴BC=[(α√3/2)/(sin45º)] xsin30º=√6/4 又∵线段DH与HB同在DB线上，且都是AC的中垂线， ∴在Rt△BHA与Rt△BHC当中，两对应边AH=HC=AC/2=α√3/4，边BH公用，

∴Rt△BHA≌Rt△BHC ∴AB=BC=α√6/4

即A与B两点的距离为α√6/4

六十七、在右上图中，AE为塔高，某人在塔的正东方向B点沿着南偏西60º的方向前行到C点后，望见塔在东北方向，並在塔A点到BC线的垂足G点上测得塔的最大仰角∠EGA为30º，如BC=40m，且∠CAB=135º，∠ABC=30º，∠ACB=15º

求：塔高AE=？ (注：不计测量仪高度)

解：在△ABC中，∵AC/sin∠ABC=BC/sin∠CAB，即AC/sin30º=40/sin135º∴AC=20√2(m)

在Rt△AGC中，AG=ACsin15º=ACsin(45º-30） 即AG=20√2(sin45ºcos30º-cos45ºsin30º)=20√2[(√2/2)x√3/2-(√2/2)x1/2]=20√2[√6/4-√2/4]=10(√3-1) (m) 在Rt△EAG中，∵仰角∠ECA=30º，∴塔高AE=AG·tg∠ECA=10(√3-1)√3/3 =(10-10√3/3) (m)

六十八、如下图，一个圆台上底面半径r为5㎝，下底面半径R为10㎝，母线AB长为40㎝，从AB中点M拉一条绳子，围绕圆台侧面转到B点，

求：(1)这条绳子最短是多少？

(2)这条绳子上的点和圆台上底圆周上点之间的最短距离是多少？

　　解：见上图，(1)将圆台恢复成一个圆錐，並设圆锥的顶点为S沿母线SB剪开，又将其侧面展开在同一个平面上，则绳子的最短长度就是线段MB₁的长， ∵AB/SB=(R-r)/R，∴SB=AB·R/(R-r)，即SB=20x10/(10-5)=40㎝，SA=SB-AB=20㎝

∴∠BSB₁=2π·2πSA/2π·SB=2π·20/40=π/2

在Rt△B₁SM中∵SB₁=SB=40㎝

，SM=SB-MB=SB-AB/2=40-20/2=30㎝，∴MB₁=√(SM²+SB₁²)=√(30²+40²)=50㎝，即这条绳子最短为50㎝。

(2)作SD⊥MB₁交MB₁于D点，

∵Rt△SDB₁~Rt△MSB₁ ∴SD/SB₁=SM/MB₁

即SD=SM*SB₁/MB₁ =30x40/50=24㎝ 而DE=SD-SE=24-20=4㎝， 即这条绳子上的点和圆台上底圆周上的点之间最短距离为4㎝

六十九、(回雁峯转发)以下是德國人出的數學题，可测试50岁以上中老年人的大脑退化程度，及预防老年痴呆症，您會幾題呢？提示：数字顺序不能变，只能应用數學符號！！(不得增加数字)

3 7 5 =11， 3 7 5 =12，3 7 5 =13， 3 7 5 =14，3 7 5 =15， 3 7 5 =16，

3 7 5 =17， 3 7 5 =18，

3 7 5 =19， 3 7 5 =20，

解：①德国人出题有误。他提示中两个！符号，前1个是数学运算符号，后1个是语文标点符号，但数学运算符号是由加减乘除、括号、乘方开方及阶乘(！)……等许多符号所组成，而！只是其中的一个符号，如果只能应用！则此题无解。应把提示改为：数字、及数字顺序都不能变更，数字间可任意添加运算符号进行计算。②本题添加不同的运算符号则有不同的解法，如用加减乘除、括号及乘方的符号计算，其结果如下：

3²+7-5=11 3º×(7+5)=12，3º+7+5=13 3²x7º+5=14，3+7+5=15，3x7-5=16 3²+7+5º=17 -3ºx7+5²=18

3º-7+5²=19，3x7-5º=20

七十、解方程1/x+1/y=2/19 (ⅹ、y均为自然数)

解：①当x=y时，则得2/ⅹ=2/19 ∴x=y=19

②当ⅹ≠y时，∵2/18﹥2/19﹥2/20，即1/9>2/19>1/10

依题意x=10， 则1/10+1/y=2/19，

1/y=2/19-1/10=2/19-2/20

=2(20-19)/(20x19)=1/190

y=190 ∴方程的解为ⅹ=10 y=190，或ⅹ=190 y=10

七十一、解方程1/x+z/y=2/19(注：z,x,y均为自然数，且z<8 x≠y)

解：由上题解已知1/9﹥2/19>1/10，依题意，得x≥10，该方程有下列四组解：

①当x=10，则z/y=2/19-1/10=2/19-2/20=1/190

∴z=1，x=10，y=190 或ⅹ=190 y=10

②当x=11，则z/y=2/19-1/11=2/19-2/22=3/209

∴x=11，y=209，z=3。

③当x=12，则z/y=2/19-1/12=2/19-2/24=5/228

∴x=12，y=228， z=5

④当x=13，则z/y=2/19-1/13=2/19-2/26=7/247

∴x=13，y=247，z=7，

七十二、解方程1/x+z/y=2/19 (注：x,y,z均为自然数)

解：由七十题的解答已知1/9>2/19>1/10

依题意，得x≥10=9+1 用归纳法解得方程1/x+z/y=2/19的解是： ①当x=9+1=10时，

则z/y=2/19-1/10=1/190 =(2×1-1)/19×(9+1)

即ⅹ=9+1，y=(9+1)×19， z=2×1-1

②同理当x=9+2 ， 则y=(9+2)×19，z=2×2-1

③当ⅹ=9+3 ， 则y=(9+3)×19， z=2×3-1

④当x=9+4 ， 则y=(9+4)×19，z=2×4-1 …………

当x=9+100 ， 则y=(9+100)×19 z=2×100-1

当x=9+n 则y=(9+n)×19 z=2n-1 (n为自然数)

七十二、数学游戏题:为使下面各等式成立，只允许在等式左边添加四则运算和开、乘方运算符号，但不得添、减数字或改变数字的大小(注:也不允许通过添加运算符号把各小题的数字都变成4个1，每个小题的计算过程应有所不同)。

① 1 1 1 1=136

② 2 2 2 2=136

③ 3 3 3 3=136

④ 4 4 4 4=136

⑤ 5 5 5 5=136

⑥ 6 6 6 6=136

⑦ 7 7 7 7=136

⑧ 8 8 8 8=136

⑨ 9 9 9 9=136

解:(1+1)⁷+(1+1)³=136

(2+2)³x2+2³=136

3⁴+3³+3³+3⁰= 136

4³x√4+4+4=136

5³+5+5+5⁰=136

(6+6)²-(6⁰+6⁰)³=136

[³√(7+7⁰)]⁷+7+7⁰=136

(³√8+³√8)³x³√8+8=136

9²+(√9)³+(√9)³+9⁰=136