用“另类”竖式做两位数乘法（兼谈“印度乘法口诀”） 作者 义仁之

义仁之

A 竖式的演化

大家都会做乘法。

最最简单的乘法是个位数乘法，也就是“乘法口诀”，俗称小九九。大家都能熟练背诵，甚至可以倒背如流。

而一个两位数的二倍数几乎也都可以“口拈帐”般得出。

我们今天讨论的是任意两个两位数相乘的方法。

不使用算盘，计算器的话，大家自然会想起乘法竖式。

用个例子吧！

计算 89 乘以 67



这是我们都熟悉的“标准”竖式

（我们把竖式里的数分为三组

：第一条横线的上边是“原数”，第二条横线的下边是“答数”，中间的称为“过程数”）

它有两个特点：

1，原数，过程数与答数是对位的（全程对位）

2，过程数在计算中间是有进位的（图中红圈所示）

（当然，不一定所有两个两位数相乘时都有进位。例如，11乘以13。）

标准竖式大家都熟识——从中国到世界通用。我在大约70年前学会了它，一直用到今天………

可是，

可是，

可是，——

它是怎么来到我们身边的？

想不起来了………

#——&——#——&——#——&——#——&——#——&——#——&

需要“穷原竟委”，

探一探其原委。

原来，

原来，

原来，它是由一个四层“数阵”变来的啊！



在这个数阵里

上边的两行之和，就是标准竖式的第一行

下边的两行之和，就是标准竖式的第二行

实际上，此数阵里所有数字的最大数不会超过 81 （绝对的），都是两位数。

 所以，如果我们把其第四行“平移”上去与第一行合并，不会有任何问题！



如此，四行就变成了三行

我们很容易发现，数阵是和某一根“轴”对称的……



而两个两位数自然有个对称轴。

刚才提到的两个对称轴不在一条直线上，可我们把它们“移动”使之成为一条直线时，数阵变成了这样



这就是“另类”的竖式了——

它不再是全程对位

只有在计算最后答数时才会有进位（过程数绝对没有进位数，必要时还会出现“补零”）。



用它来计算两位数乘法时

在竖线（对称轴）的第一行

右边 写上两个个位数乘积

左边 写上两个十位数乘积

随后的两行则是

用一个数的高位乘以另一个数的低位的结果（反正只有两位数，干脆把十位称为高位，个位称为低位。）

（由于有两个此类数，写两行。图中用个小红叉叉“暗示”）



B 说说“印度乘法口诀”

应该说，印度人是有数学天赋的。如今流传在世界各个角落，此文里也在用的所谓“阿拉伯数字”，就是印度人发明，被阿拉伯商人带到了世界各地的……

前两年在微信里就流传着印度乘法口诀。可是您要让我背，我可背不上来——但是我知道，那是关于十几乘十几的算法口诀。咱们可以用用新得到的竖式啊！

也还是举个例子吧！

计算一下 16乘17



哈哈哈哈，这不，看着它就可以“编”出来了……

计算十几乘十几时

先把低位数的和扩大10倍，加上低位数的乘积，再加上100

（还是算16乘17。6+7=13，130+42，再加上100，是272吧？）

应该说，任意两个两位数相乘时，将其高低位数字交互相乘之和的十倍，加上低位数的乘积，再加上高位数乘积的 100 倍，即可。

您认为，这能不能作为任意两个两位数乘法的口诀呢？



C 两位数的平方

相乘的两个两位数相等时，变成了求一个两位数的平方。

我们还是举个例子

求 37 的平方

按照前面找到的竖式得出



其中，第二、三行的数是相同的，可以将它们合并为一个两位数的二倍数。从而使竖式简化为两行。

需要指出的是，一个两位数的二倍数可能会是个三位数（比如，6乘9为54，二倍之为 108 ），也就是说，此时会有进位——还好，发生进位的时候，进位数不会超过 2 ，只能出现 1 。



D 一种特殊二位数的平方

我们这里说的“特殊二位数”是指个位数是 5 的二位数。

它们是：

15，25，35，45，55，65，75，85 和 95 。

若把它们表示为 N5

显然，N 为 1 ～ 9 的正整数

其平方



过程数里，

第一行的 N•N 是两个 N 的积

第二行是 5N 的二倍数，10N ，也就是 N0

答数比较“怪”，它表示两个数乘积的后面要加个“尾巴”——25 。

打个比方吧，若 N= 6 ，就是求 65 的平方。

N（N + 1 ）是 6 乘以 7 ，得

42，再加个“小尾巴”，答案：

65 的平方数是 4225 。

｛这么跟您说吧，这虽然是由二位数推出来的结果，却对多位数也是正确的。

比如，165的平方，可以先计算 16 乘17 ，（上面谈“印度乘法口诀”时，有这个例子）为 272 ，加个“小尾巴” 25 ，得出结果，165的平方是 27225 。

如果您有兴趣，可以尝试更多位数的例子。｝



当然还有其他的特殊二位数，比如，高位数与低位数是相同数字组成的数，11，22，33，44，………99等。

由于 11 的平方等于 121 ，

所以，22 的平方就是 4乘 121 ，是 484 。

……………～…………

不再赘述。

 欢迎各位朋友提出宝贵意见！