解决（速度-时间型）动态压轴题的策略—以静制动

睡不着的海

运动

中考

如图

动点

从点

培优

动态

速度

时间

限定

说明：本文选自中考数学二轮培优教材《冲刺十招》第9招“搞定动态问题”。限于篇幅，今天先推出策略一——限定时间策法。

第9招 搞定“动态”问题

【专题解析】
运动是绝对的，静止是相对的.“动”和“静”是事物存在的两种最重要的形式.学习运动变换思想，就是让我们既要学会用发展的动态的眼光来看待这个瞬息万变的大千世界，又要学会冷静的思考、准确的判断，避免心态的狂躁不安；既要我们学会要有“动若脱兔”般的该出手时就出手的勇气，又要我们学会具有“静若处子”般的坚定不移的智慧和毅力......
动态问题，作为中考中的常考题型，既是考试的热点，也是考试的难点.
动态问题，从其运动形式上来分，可分为翻折、平移和旋转；从其运动对象来说，又可分为动点、动线和动形；从其运动结果来看，又可分为存在性动态问题、定值型动态问题（详见第1招——绝境逢生用“特值”）、函数型动态问题、最值型动态问题（详见第5招——胸有成竹会“建模”）.
动态问题难就难在一个“动”字上.因为动，总给人一种不确定和捉摸不定的感觉.所以，解决动态问题的基本策略就是“化动为静”“以静制动”.那么，究竟怎样“化动为静”、“以静制动”呢、“静观其变”呢？其实，“动”和“静”本来就是你中有我，我中有你的；“动”和“静”也是可以相互转化的。在具体做题时，常常通过以下策略来达到“化动为静”“以静制动”的效果。常见的策略有：（1）限定时间法；（2）限定位置法；（3）限定规律法；（4）限定轨迹法；（5）限定图形法；（6）限定数量法；（7）限定关系法.....当然，这些方法之间也是你中有我，我中有你的......
【适应题型】

单动点问题、双动点问题、折叠问题、平移问题、旋转问题、直角三角形的存在性问题、等腰三角形的存在性问题、平行四边形的存在性问题......
【套路优势】

以静制动、化动为静、动静相宜、矛盾转化、化难为易......
【套路分解】
【套路1】限定时间法
（一）基本方法
运动总是离不开时间这个重要的坐标的。当我们把时间确定下来，那么就可以把运动的物体瞬时定位下来。

有速度有方向的动点问题，先把运动时间定下来，用时间“t”来表示，再把相关线段用含t的代数式表示出来，在根据动点在特殊位置满足的等量关系构造方程或函数来解决问题。

如图1，若点C从A出发，以v的速度向点B运动，设运动时间为t，AB=a，则AC=vt，BC=a-vt；

（二）典型例题

例1、（2019菏泽）如图2，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（　　）

【解析】解：①当0≤x≤2时，∵正方形的边长为2cm，∴y＝S△APQ＝1/2AQ•AP＝1/2x2；
②当2≤x≤4时，如图3，y＝S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D＝2×2﹣1/2（4﹣x）2﹣1/2×2×（x﹣2）﹣1/2×2×（x﹣2）＝﹣1/2x2+2x.

所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．故选：A．

例2、如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4√2，∠B=45°，动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）MN∥AB时，t的值．
（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

【解析】（1）如图5，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，易知AE=BE=DF=4，EF=AD=3，∵CD=5，则FC=3，∴BC=10；

（2）如图6，过点D作DQ∥AB，当MN∥AB时，MN∥DQ，则易知∠B=∠DQC=∠NMC=45°，且 。易知BM=2t，则CM=10-2t，QC=7；CN=t，则有CM:CN=CQ:CD，即(10-2t):t=7:5，t=50/17；

（3）若△MNC为等腰三角形，须分三种情况讨论：
①当NC=MC时，即t=10-2t，∴t=10/3；
②当MN=NC时，如图7，过作NH⊥MC于H，由等腰三角形三线合一性质得HC=1/2MC=1/2(10-2t)=5-t，易知△CNH∽△CDF，则CH:CN=CF:CD=3:5,即(5-t):t=3:5，解得t=25/8；

③当MN=MC时，如图8，过M作MP⊥CN于点P，则PC=1/2NC=1/2t，易证明△CMP∽△CDF，则CM:CP=CD:CF=5:3,即(10-2t):1/2t:5:3，解得t=60/17；
综上所述，当推t=10/3、t=25/8或t=60/17时，△MNC为等腰三角形

例3、（2018黔西南州）如图1，已知矩形AOCB，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．
（1）点P到达终点O的运动时间是s，此时点Q的运动距离是cm；
（2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为cm；
（3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；
（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y=k/x过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值．

【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴OA＝BC＝16，∵动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，∴t=16/3，此时，点Q的运动距离是16/3×2=32/3cm，

（2）如图1，由运动知，AP＝3×2＝6cm，CQ＝2×2＝4cm，过点P作PE⊥BC于E，过点Q作QF⊥OA于F，∴四边形APEB是矩形，∴PE＝AB＝6，BE＝6，∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝16﹣6﹣4＝6，根据勾股定理得，PQ＝6√2，
（3）设运动时间为t秒时，由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，同（2）的方法得，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，∵点P和点Q之间的距离是10cm，∴62+（16﹣5t）2＝100，
∴t=8/5或t=24/5；
（4）k的值是不会变化，理由：∵四边形AOCB是矩形，∴OC＝AB＝6，OA＝16，
∴C（6，0），A（0，16），∴直线AC的解析式为y=-8/3x+16①，设运动时间为t，
∴AP＝3t，CQ＝2t，∴OP＝16﹣3t，∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t），∴PQ解析式为
y=(5t-16)/6x+16﹣3t②，联立①②得，-8/3x+16=(5t-16)/6x+16﹣3t，∴(5t-16)/6x+8/3x＝3t，
∴5tx﹣16x+16x＝18t，∴x=18/5，∴y=32/5，∴D（18/5，32/5）∴k=18/5×32/5=576/25是定值．

（三）举一反三

1、（2018湖北省孝感）如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（　　）

【动态体验】

（2019•抚顺）如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，CH是AB边上的高，正方形DEFG的边DE在高CH上，F，G两点分别在AC，AH上．将正方形DEFG以每秒1cm的速度沿射线DB方向匀速运动，当点G与点B重合时停止运动．设运动时间为ts，正方形DEFG与△BHC重叠部分的面积为Scm2，则能反映S与t的函数关系的图象的是（ ）

【动态体验】

3、（2019吉林省）如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=3cm，E为边BC上一点，BE=AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以√2cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．
（1）AE= cm，∠EAD= °；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当PQ=5/4cm时，直接写出x的值．

【动感体验】

王 桥 老师

《中学生数理化》特约编辑，“有趣的数学”栏目专栏作者；
“挑战中考压轴题名师团”首席讲师；
郑州市首届金牌教师；
主编《中考专家》《非常教案》《中考面对面》《中招亮剑》《冲刺十招》《沙场秋点兵》《春季攻势》等多部教材教辅；
《中学生数理化》《理科考试研究》等杂志发表论文200余篇。

特别提醒：中考系列培优课程——中考数学一轮培优系统——《春季攻势》已经接近尾声......
一轮培优系统重在帮助学生在梳理知识，建立知识网络的同时，建立起学生的思想方法系统。具体上课内容及时间安排如下：

中考系列培优课程——中考数学二轮培优系统——《冲刺十招》4月中旬开讲

第二阶段：中考数学二轮培优系统——《冲刺十招》，共设计10讲20课时。

二轮培优以解题思想方法和解题策略专题为主，重点帮助学生在一轮的培优的基础上，逐渐建立学生的能力系统。具体课程安排如下：

课程咨询：张老师：18530923233 / 步老师：13837175593

第二届“全国中考数学二轮备考研讨会”将首次采用线上研讨的形式，敬请期待

好消息：《冲刺十招》近期正在努力修订中，近期将与大家见面。另有《沙场秋点兵》已经售罄，近期不再考虑重印。另少量《春季攻势》，需要请联系

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