对“勾股定理”线上教学的思考

校教研室

勾股定理

直角三角形

学生

教材

数学

面积

利用

关系

正方形

三边

作者：周自琴

单位：平利县城关初级中学

　　勾股定理是八年级数学下册第十七章内容，它揭示了直角三角形三边关系之间关系，体现了“形数统一”的思想方法。勾股定理是初等几何中的一个基本定理，是人类最伟大的十个科学发现之一，也是数学中应用最广泛的定理之一，说明勾股定理在数学理论体系中有着非常重要的地位，定理本身也有着重要的实际应用价值。这些充分说明勾股定理教学内容的重要性，要求学生掌握好这部分内容势在必行。本章内容教材编排虽然不多，只有4课时，但教学内涵却很丰富，勾股定理的应用广泛，形式多样。在平时常规教学中，这对数学教师感到是棘手的课题。而现在正处疫情时期，进行网上授课，怎么上好这部分内容，更是很多数学老师思考的问题，这部分内容到底教简单还是教复杂？这个度的把握也是授课老师纠结的问题。我们是用教材教，而不是教教材，所以我们不能局限于教材本身，但必须以教材为本，可以适当补充、整合教材。为落实勾股定理内容线上教学的实效性，我将从以下几点做。

一、重视学生经历勾股定理的探索过程

学生已学习了一些图形的性质定理、运算法则及公式，经历了它们的探索过程。如：用实验法发现了全等三角形的判定定理，通过观察、猜想、证明了等腰三角形的性质，通过计算、观察、证明了平方差公式等，大多数学生已具备一定的发现数学新知的探索能力。在探索勾股定理时，我充分利用教材的编设思路，分别让学生观察地砖上等腰直角三角形、网格中的直角三角形，以它们的三条边向外的作的三个正方形的面积之间有的关系，从而启发学生发现这些直角三角形的三边之间的数量关系，进而让学生猜想对于任意直角三角形的三边是否都有这种数量关系呢？于是向学生讲解我国古人赵爽的证法。在整个探究的过程中，我突显三个要点：

1.从特殊到一般的研究方法

先让学生探究特殊的等腰直角三角形三边满足两直角边的平方和等于斜边的平方，再探究网格中比较特殊的直角三角形三边有同样的关系，最后，猜想并证明一般的直角三角形三边也具有同样的数量关系。这个定理的探究过程体现了从特殊到一般的研究方法，它贯穿课堂的始终，需不断的总结，不断加深学生的认知过程，这是数学中探究新知的一种重要途径，需让学生内化于心。

2.渗透“割补法”和“等面积法”

在探究勾股定理时，分别让学生观察不同的直角三角形三边向外作的三个正方形的面积大小关系时，在地砖图案中的等腰直角三角形，需利用“割补法”求面积，易发现三者之间的面积大小关系。在网格中的较特殊的直角三角形，求斜边所在的正方形面积时，可以把正方形“补”成更的大正方形，使其边为整数个格点，方便找边长，易求得面积，也可以把它“割”成四个小直角三角形和一个小正方形，也就是“赵爽弦图”，也方便计算面积。“割补法”是数学中对于不方便直接计算面积时常用的一种间接求法。

在利用赵爽方法证明勾股定理时，先把两个边长分别为a,b(a>b)的正方形相邻拼放，并还有一条边在同一条直线上，其面积为a^2+b^2,再经过切割、拼接构成边长为c的正方形，其面积为c^2,而这个正方形是由四个全等的两直角边分别为a,b直角三角形和中间一个边长为a-b小正方形组成，两图形只是形状不同，面积不变， 〖得a〗^2+b^2=c^2。赵爽是利用“等面积法”证明了勾股定理，用代数的办法证明了几何图形。不仅如此，对“赵爽弦图”，它的面积有两种算法，可以整体计算，也可以分部分计算，利用“等面积法”，也是可以证明勾股定理。在学习平方差公式和完全平方公式时，我们分别通过“等面积法”验证这两个公式，但是，用几何图形证明两数之间的关系。

“等面积法”和“割补法”，它也是数学中常用的一种重要的解决面积问题的方法，在这个证明的过程需要强调，在练习的过程中需设计有针对性的问题，不断的渗透，让学生感知这些方法的优越性，逐步能用这种方法进行迁移，解决新的问题。

3.证明方法的多样性

在探究勾股定理时，以“赵爽弦图”证明该定理，据说该定理的证明方法有400多种，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献，其中我国古代对这个定理的发现、应用和研究尤具特色，赵爽是杰出的代表。目的让学生了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，增强学生民族自豪感和学习数学的自信心。为拓宽学生的视野，由课内延伸到课外，可以让学生自主阅读教材中的一个阅读材料，提供三种用“等面积”法证明勾股定理，也加深对“等面积”的理解。还倡导学生上网查阅勾股定理的证法，收集你能看懂的2至3种方法，了解证法的多样性，提高学生的识图能力，进一步认识该定理的重要价值，以提高学生学好这部分内容的信心。

二、递进式应用勾股定理

勾股定理是描述直角三角形三边数量关系，其用途是已知直角三角形的两边长度，便可以求第三边的长度。该内容看似简单，但应用方式变化多样，增加学生学习的难度。我们在应用勾股定理时，由简单到复杂的方式呈现问题，方便学生疏理解题思路，达到化难为易目的。以教材例题、习题为主，重新设计教学内容，充实教材内容，逐步提高学生对勾股定理的运用能力。

1.基础问题

所谓基础问题，是问题中只有一个直角三角形。结合已知条件，让学生明确所给的条件是直角三角形的直角边还是斜边，先学会准确定位置是关键，再利用勾股定理，选择恰当的数量关系，是利用平方和的关系还是利用平方差的关系，然后分别代值计算，最后强调规范书写等。学生会在一个直角三角形中利用勾股定理了，那两个直角三角形，不过是多写一遍而已。不要因为这种问题简单，眼高手低，不重视，导致学生会计算边长，而不会规范书写。

2.综合问题

所谓综合问题，是在特殊的三角形利用勾股定理，如等边三角形、等腰三角形等。它们含有特殊的角度，隐含有角与边的关系，不是直角三角形，通过特殊的线段易转化为直角三角形。它们一般只有一条边是已知，利用特殊的角度，便可以寻找其他两边的倍分关系，再利用勾股定理，建立方程可以解决。这些问题不能直接利用勾股定理，先利用旧知识作铺垫，准备够了条件才能利用勾股定理，是对直角三角形知识是一个小综合，既有直角三角形角的关系、边与角的关系，又有直角三角形边的关系。

三、勾股定理应用方法多

勾股定理解决的问题非常广泛，用到的解题方法比较多，通过教材中的资源可以渗透以下解题思想：

1.转化思想

教材中通过两个例题应用勾股定理解决实际问题，首先将实际问题转化为数学问题，建立直角三角形模型，明确已知边，未知边，再利用勾股定理求出未知边，从而解决实际问题。还有关于正方体、圆柱体方面的最短路径问题，需把几何体展开转化为平面图形思考，利用“两点之间线段最短”，构建直角三角形，再利用勾股定理解决。解决这些实际问题，渗透转化思想是关键。

2.方程思想

在直角三角形中，当一边已知，另两边是未知，但它们是和差或倍分关系，求未知边的长度。解决这样的问题一般设其中一边为未知数，用含有未知数的式子表示另一边，利用勾股定理列出方程，通过解方程求得未知边的长度。这是利用勾股定理求直角三角形边长的一种常用方法。

3.数形结合的思想

勾股定理是一个典型的数形结合的体现，直角三角形是“形”的特征，“两直角边的平方和等于斜边的平方”是直角三角形三边“数”的特征，勾股定理的本质是由“形”到“数”。反之，勾股定理逆定理是“数”到“形”。在勾股定理应用的第2节里，在数轴上表示无理数，通过确定两直角边的长度，在数轴上构建直角三角形，运用勾股定理，计算斜边的长度，从而直观的表示无理数大小，以“形”代“数”。这些都充分体现数形结合的思想，让“数”更直观，让“形”更具体。

4.分类的思想

数学中分类的思想是学生的一个学习难点，学生往往考虑简单，而掉入陷井。在本章中有：若一个直角三角形给了两边长，需求第三边长时，这两边是什么位置的边，不能确定，需分类考虑，可能是直角边，也可能是斜边；还有“小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回到原地，小明向东走80米后是向哪个方向走的？”这三条路径构成了一个直角三角形，学生易判断，但小明向东走80米后，可以向北走60米，也可以向南走60米，隐藏有不确定因素，也需分类考虑。

　 这些思想方法，是学好勾股定理的得力助手，甚至还需综合运用，同时，为后面的数学学习作铺垫。数学思想方法是数学的灵魂所在，教数学就是教方法。为发挥线上教学的有效性，必须结合课标，深刻钻研教材，准确解读教材，整合教材，结合具体的对象，有的放矢，认真备好每一节课是关键，不是用教材教，仅仅是教知识，而是教教材，让教更有内涵和价值。不管是发现新知、运用新知，以知识为主线，渗透数学思想方法，体现“教是为了不教”理念，不断提高学生的数学素养。