初中数学杀手锏

杨柳&亲子教育导师

我们

知识点

平方

公式

题目

第题

题型

可以

方法

一个

主讲人介绍：宁艳敏

松鼠Ai教研院数学学科负责人，15年教学经验，上海知名教师，高级教研员，所带学生多人考入复旦，交大等。在教学和教研方面经验丰富，教学过程注重知识点分解，题型归类整理，基础题型解析，对题目的分析有独到的方法。

第一方面介绍一下初中数学的知识结构以及考试要求

第二方面介绍一下初中数学的学习方法

希望能够给到大家一些思考和帮助。

初中数学主要有代数和几何两条主线，我将从这两条线来介绍数学知识结构及考试要求，让大家对初中的知识和考试有个基本的了解。然后我再介绍一下初一、初二、初三各个年级学习的一些关键点。

首先我们来看一下代数的知识体系，代数的部分包括数的计算、式的计算、方程与不等式，这些都是数学的基础，非常重要，是后面学习的基石，是学数学的根本。函数部分是单独的一个部分，也是各种考试中重要的一部分。数学学科的逻辑性特别强，知识和知识之间有着紧密的联系，计算部分层层递进，包括：分数的计算、有理数的计算、时数的计算，是的计算，包括整式的计算、分式的计算、二次根式的计算，整式的计算又有与有理数的计算有关，分式的计算又与分数的计算有关。

整式的运算法则与有理数的一些运算法则是相通的，所以它们之间的关联比较大，分数的计算与分式的计算当中有很多相同的方法，比如说通分，约分等等，所以它们之间的关联也比较紧密！方程部分，一次不等式与一元一次方程有关，一次不等式组又依赖于一次不等式，二元一次方程组又依赖于一元一次方程，一元二次方程又依赖于一元一次方程，分式方程又包括可化为一元一次方程和可化为一元二次方程的方程，再往前推，一次方程又与有理数的计算有关。

一元二次方程又与因式分解有关，分式方程又与分式有关。在函数部分，一次函数又与一次方程和二元一次方程组有关，二次函数又与一元二次方程有关，整个知识体系是错综复杂的。我们来看一下细一点的知识点之间的关系，例如我们七年级整式乘法当中的因式分解学不会，我们就不会解一元二次方程，解一元二次方程，我们学不会，对于二次函数当中的一部分知识点，我们就学不会。所以数学整个知识体系是一环扣一环的，必须把前面的基础知识打扎实，才能学习后面的知识。

例如这幅图当中的，如果我最前面七年级的一个知识点——积的乘方学不会，可能后续七年级的一些相关知识点，八年级的一些知识点以及九年级的一片知识点都是无法学会的。

我们来看一下代数部分，中考的一些题型，大家可以看出来都是代数部分的一些基础的知识点，例如北京的18题和南京的17题，考查到的是不等式组。

上海的20题考查到的是分式方程，南京的19题考查的到的是解一元二次方程，南京的18题考查到的是一个分式的计算，整体都是基础知识。

我们再来看北京的17题和上海的19题，这种题都是一个比较综合的题目，它包含很多综合的小的知识点，包含绝对值零次方、三角计算、分数、指数幂、负整数指数幂等。我们在做这种计算题的时候，我们就要好好的把握每一个知识点它需要注意的点和易错的点，这些都是一些细小的知识点的一个组合。

在中考当中，代数部分还会考察一些小的题型，这些题目也一般是相对比较简单的。对于中考而言，这些题目都是必拿分的，如果这些题目都出问题的话，那么我们中考一定是考不好的，所以说这些题目我们一定要练熟，绝对不能有任何的问题。如何去练熟这部分代数的题目，我们后面会进行详细的阐述。

函数题对于中考来说就会考查的相对难一些，会考察压轴题在小题中出现，一般难度也会略高一些。函数考查的内容相对比较综合，除了函数本身的一些知识，会结合一些基本代数知识和几何知识，有很多函数的大题可以用几何方法解，也可以用代数方法解。几何方法要求思维比较活跃，对几何图形的性质、基本图形的特点等把握的比较好。

代数方法思路一般比较简单，例如求线段长度相等，可以用两点间的距离公式计算，那么计算量很大，但是也可以解。上面一张图是我对上海、北京、南京、广州、杭州等一些城市，2017年到2019年进行的一个知识点考分占比的一个分析。

我们看一些城市2017年到2019年的代数知识点中考占比，一般考试代数分值都在50%以上，而且几何中也经常有一些题需要用代数方法来解决，也包括高中的函数解析几何等，都需要大量的代数基础，所以学好代数至关重要。基础一定要打扎实，要多练，达到非常熟的程度。初中学好代数，对于后面数学学习将会受益无穷。几何部分包括几何初步、相交线、平行线、三角形、四边形、相似、圆以及图形的运动。

三角形是几何部分的基础，四边形相似，圆以及图形的运动相对比较难，几何知识关系也是比较紧密。例如我们要推导图形的面积公式，我们知道长方形的面积公式是底乘以高，平行四边形的面积公式也是底乘以高，为什么呢？我们可以把左边的小三角形移到右边去，它就变成了一个长方形，所以它的面积也是底乘以高。梯形的面积，我们可以把两个梯形拼成一个平行四边形，三角形也是可以拼成平行四边形。所以我们如果不知道长方形的面积，那么后面的平行四边形、梯形、三角形的面积我们都没有办法推导，所以这就是知识点之间的关系。

所以你一定得学会前面的知识点，才能去学后面的知识点，这个关系在几何当中也是一样的。比如说我们一定要学会三角形的一些概念，才能去做三角形的证明、全等的证明、相似的证明，因为它需要一些边的关系角的关系，所以我们一定要把前面的基础学好，再去学后面的知识。几何题目考查跨度较大，小题部分会考一些基础题，也会考压轴题，几何题一般难题居多，压轴题对于数学思维能力的要求就较高，需要一些证明逻辑、正向思维、逆向思维等。

例如上面的两道题，分别是北京和上海的两道压轴题，很多学生就对压轴题望而却步，觉得这么难的题我一定是不会的。很难分析，题目都读不懂。其实首先不论是函数的压轴题还是几何的压轴题，它都有它的技巧和套路。首先我们得学会读题，在题目当中提取有意义的条件，把这些条件理清楚，然后由这些条件和题目的信息能够挖掘出题目当中的一些隐含的信息、隐含的条件，然后我们再从图形入手，我们观察这个图形能不能分解成我们所熟悉的一些基础图形，然后从而得到一些基础的结论。

这就要求我们在平常的学习当中，多多积累一些基础图形和它的基本结论。我们看上面一张图，这个是几个城市在2017年到2019年的中考考试考点的一个分值分布，基本上可以看出来几何模块在整个中考当中的一个占比在45%左右。几何题目它的跨度比较大，基础部分也会考，但是小压轴以及大压轴基本上都会考几何题目，它是拉开分数的题目，所以你如果想和同学拉开一些距离，就一定得学好几何，如果你想考一个比较好的学校的话，你也一定得学好几何。

下面说一下各年级学习的关键点，初一是打基础的关键时期，在中考中直接考查的内容不多，但是是后续学习的基石。

大家看一下上面这幅图，初中知识可以绘制成一张大网，知识与知识之间都有着紧密的一个关系，后面的知识点学习全部依赖于前面的这些知识点，前面一个知识点学不会就会影响到后面很多知识点都学不会。所以初一的基础一定要打牢，后面才会事半功倍。

初二在中考中考查的内容最多，初二是一个分水岭，校内成绩两极分化会比较明显。初二直角三角形，四边形一次函数学完以后，开始出现大量的动点类型、证明类型、函数类型的压轴题，对学生能力要求上了一个台阶。

初三在难度上考察大。初三的二次函数、相似解、直角三角形、圆等都是中考的考查重点。初三下学期的总复习，大多数的同学分数差一般体现在压轴题上。

想要提高分数，我们首先要建立系统的知识体系，然后完善数学思维方式和方法，然后强化方法的一个运用。

最后在挖掘概念之间的一个本质，介绍完数学知识结构及考试要求，我们来介绍一下学习方法。学习方法我从以下几个方面谈：课本的使用、笔记本的使用、错题本的使用、教辅资料的使用、思维能力的培养。

首先我们来看一下课本的使用。不只有数学学科，所有的学科都一样，课本是根本。很多学生不重视课本，一本书学完了都没动过几次。其实所有的核心的内容都来源于课本。课本能做些什么呢？

第一是目录，目录可以了解到一本书讲的是什么内容？在期中、期末、中考等大考前的复习是非常重要的。

第二，可以梳理每一章每一节的知识点。

第三，可以梳理每一章每一节的基本题型。

第四，可以了解到解题方法。

第五、可以了解到标准的解题过程。

接下来我们以一节内容为例，详细了解一下课本给到了我们什么？这是人教版八年级上学期的整式乘法当中的完全平方公式这一节的内容。首先我们可以看到完全平方公式的推导，也就是完全平方公式是怎么来的？它其实是我们前面学的多项式乘多项式当中两个相同的多项式相乘的结果，那两个相同的多项式，用多项式乘法乘开来之后，有一个规律可以总结出今天的完全平方公式，我们可以得到标准的公式。这个公式一定要背到滚瓜烂熟，就熟到不能再熟的情况，我们也可以看到完全平方公式，事实上就是多项式乘多项式是的一个特殊情况。

我们可以总结书中的例题，我们可以看到例题三是直接套用公式，例题4是直接把数转化成两数差或两数和的形式之后，再套用公式。书中的练习一注意第1题、第2题、第4题可以直接运用公式，第3题的符号有些不一样，也可以直接运用公式，注意符号即可，那么也可以把-2X+5变成5-2X再用公式。这样子的话就比较好理解一些，也可以把-2X+5的平方变成2X减5的平方，这样子的话就变成了我们熟悉的样子。这样子就更好解一些，这里需要注意不同的解法需要注意不同的特点。

练习2，我们来看一下这个题目，主要是考察公式的熟悉程度，我们可以观察到A加B的平方与A的平方加B的平方与A-B的平方与A的平方减B的平方的关系，在这里面我们可以想的更深一层，那么可以总结出A加B的平方与A-B的平方与A的平方加B的平方之间的一个关系的结论。掌握了这个结论的话，我们对解其他类型的题目会有很大的一个帮助。

那么下面一页就是要把其中一部分变成一个整体，这是数学当中非常重要的一个思想整体思想，我们要注意，在添括号的时候注意符号。

例题5就是整体思想的一个应用。我们要注意总结一个公式，就是三项完全平方的公式，我们要不断的积累这样的一个公式，我们积累越多，我们就会思路越广。我们具体来看例题五当中的两个小题，第一小题其实是可以把第2个括号当中的减2Y+3填一个括号变成减2Y-3，那么这样子就变成了2Y-3是一个整体，前面是X那么就可以运用平方差公式。第二小题是A+B+C把其中的任意两项看成一个整体，然后运用完全平方公式，这种题型对于学生来讲，它的难度就增加了很多。首先他考察了一个整体思想，又考察了一个添括号的符号变化，这个地方往往是学生特别容易错的地方。

下面这一页就是整体思想的一个练习。我们在做这个练习的时候就一定要关注到易错点，比如说我添了一个括号，前面又是负号的时候，我们一定要注意这个符号的一个变化，保证每一步都不出错。

练习2，我们要注意第1题、第2题、第4题都可以直接用公式，第4题要注意小数和分数的转化，第5题、第6题数的变换之后再用公式。第3题要注意符号可以直接使用公式，也可以把-2M减1的平方转化成2M+1的平方，那对于平方的数可以表示变成相反数的一个平方，有了这样的技巧就可以越算越熟，越算越快。

综合运用，我们可以看一下题目的思路，第3题的第1题当中，我们可以先用平方差公式来解，然后也可以先用完全平方公式来解，解完之后进行计算就可以。

第2题和第3题是考察整体思想的，第4题是先算括号里面的，然后再运用公式进行计算。第4题可以直接运用公式，然后再带入计算，没有什么新的思路和方法。

拓广探索部分我们也可以看一下题目的思路。第7题我们要注意A+B的平方与A的平方加B的平方与AB的关系。第8题直接用公式进行计算就可以了。第9题第1个方程的左边也可以用平方差公式，也可以先用完全平方公式，用完公式进行化简解方程就可以了，以上的题目都没有新的思路和方法，所以我们只需要进行练习就可以了。以上就是课本的题型总结。

课本还可以给到我们标准的解题过程，每一种题型的解题过程该怎么写，都可以参照书本。有些学生写过程写不好，经常跳都是非常不好的学习习惯，很容易失分，考试都是按照步骤给分，跳步也容易计算错误，例如符号一些等问题考虑不那么细致，所以课本会把最重要最核心最标准的内容给到我们！

全平方公式的一个解题过程的时候，我们要注意，Y的平方-2×Y×1/2加1/2的平方，在这个地方的时候，很多学生他就会把2和1/2经常换位置，也容易经常出现一些符号的问题。所以我们每一次解题的时候，都按照书上例题的这种标准要求，严格的按照这个要求来写过程，那么每一次都是这样严格的按照这个标准来写过程，那么你就会形成一种习惯。那么你所有的解题过程都会写得非常严谨，那么这对于中考来说你就会受益匪浅，因为你会得很多的步骤分，而且对你后续学习也是培养了一个良好的学习习惯。

接下来我们来谈一下笔记本。很多学生笔记本只是个形式，老师写什么他写什么，也有很多学生因为抄笔记耽误了听老师讲课，这样的学习方法是非常不好的，笔记本一定要一边总结一边记、总结，这个词非常重要，要学会总结。例如完全平方公式这一节的内容，我们总结题型，因是直接用公式整理4个题目，要注意的是第3题的符号，我们在笔记本上标记，我们用哪种方法？因为可以先提一个负号，然后再用公式也可以直接使用公式，题型二是公式变形，我们要注意A加B的平方与A的平方加B的平方，与A-B的平方的关系，题型三是整体思想要提新，三是整体思想要注意标记。

在后面做练习的时候，我们要把我们遇到的每一个题目进行归类，我们遇到的题目是哪一个题型，用哪一种方法去解？遇到不同类的我们就补充到笔记本上，逐渐丰富我们的笔记本。

错题本对每个学数学的学生来讲都是必备的，但是错题本对很多人来讲也变成了一个形式。我们看错题本使用的三种方法，第1种方法就是在原题旁边用不同颜色的笔进行一个订正，这种方法其实是错题，不方便集中，也不方便复习。第1种方法不建议，那么第2种方法是建立错题本，把每一道错题抄上去，每次考前看一看，能做到这种方法已经很不错了，但是效果可能不一定很理想。

我建议把错题进行一个归类，按照错误的原因进行整理，列一列常见的错因。比如说知识点不会，比如说考虑不全面，比如说写错了、算错了、看错了等等一些常见的原因，我们把每一个题目归类并标记一些细节，比如说知识点不会我们就标记清楚是哪个知识点不会，如果是看错了，我们标记清楚是哪里看错了，那么我们如果是考虑不全面，就是哪个地方考虑不全面，我们考前看一下这些标记的注意的点，然后效果会比较好，我很多学生用这个方法进步非常快。

接下来来说一下教辅资料的使用，这里的教辅资料也可以包括一些老师的补充试卷、练习卷、练习册等，除了课本以外的一些学习资源，在做这些课后练习的时候，我们要习惯给每一个题目归类是属于哪一个题型，用到了哪个知识点？是否还有其他的解法？哪种解法应该要注意什么？有能力的同学还可以把一些题目同类型可以变换条件，探究一下多种解法。我们如果发现不同类型，我们就可以把它补充到笔记本上，然后归类记录。所以我发现很多学生他在做题，或者是不管是做课后练习，还是说做学校老师布置的作业，还是做课外辅导书的时候，都是没有总结性的做，就是为了做而做。

比如说为了老师留了这个任务，我必须要把它做完，考察什么知识什么东西，根本没有进一步的一个思考，这样做的话，我觉得对于无论你做多少题目，对于你的数学学习也没有多大的帮助。所以我们在做课后练习、做作业或者说做试卷的时候，要进行一个分析和总结。比如说就像刚刚老师那样，比如说这个题目直接用公式的一个方法，好，那下一个题目就是用整体思想的方法，在整体思想这个地方，我要注意它符号的一个变化，那么再下一个题就是一个竖的变形之后再用公式我们这样整理，如果没有什么新的知识的话，我们为了完成作业，我们就把它完成，按照标准的步骤把它完成就好。

如果我们在做练习、做作业或者是做试卷的过程当中，我们碰到了一些新的思路，或者是新的题型，这个就是我们巨大的收获，我们原来总结的题型当中不包括这些内容，比如说我们在做完全平方公式的时候，我又遇到一个题，考查的是A加A分之1，括号外的平方，这个它的特点就是说中间项没有字母了，就变成一个数字2，就给了我们一个新的思路，我们把它总结到书上或者是笔记本上，那么我们不断这样的总结，那么我们一有新的东西，我们就添加到我们的积累库里面，这样子我们才能不断进步和。

所以有的人就会反馈说，有很多学生学数学，她就没兴趣没思路，因为他就是在一直盲目的做题，她也不知道这些是什么知识点，他也不知道这些是什么方法做的对了，可能还有很多是错了，他越做他就越没有信心。所以我很多学生用这样的方法，它就不断的不断总结，他每发现他在做练习的时候，每发现一些新的东西，增加到他笔记本当中资源库当中的时候，它会变得越来越兴奋，这样子的话它就会越来越喜欢数学，就会形成一个非常好的良性循环。

而且如果能够培养出良好的善于总结的学习习惯，那么对于后续数学的学习，乃至于对于你整个其他所有科目的学习，都会帮助非常的大，这是学习非常良好的一个学习习惯。我们需要多多的积累拓展知识点和题目类型，有些好一点的学校老师也会补充一些，积累的越多，对后续学习越有帮助，你有更多的思路和方法，就等于说你站在巨人的肩膀上。我们看一下下面的这些拓展知识点拓展1二，在一些中考题型当中，我们也会涉及到拓展3和5高中的知识当中会用到，这样就可以把一节课的内容学透，而且一定要学透，如果你现在学不懂当前年级的这些课，你就将低年级去找到你可以学透的地方，去扎实的学好每一部分的知识。

几何部分也适用于上面的方法，几何区别于代数的一

下面我们来谈一下思维能力。什么是思维能力？简单的理解，就是用数学知识、方法、思想去解决问题的能力。我们在平常的学习中会积累很多的知识方法和一些思想，把它们应用在题目中，遇到不同的题目，选择合适的思想和方法解题，我们需要在平常的学习当中积累常见的辅助线的添加方法，例如对长中线法、截长补短、法、割补法、构造全等构造相似等。我们需要在平常的学习当中积累一些常见的问题与解法的选择，例如求最值的方法，提取负号的方法、待定系数法、整体思想、换元法，不规则面积的求法、割补法，等腰三角形分类讨论的方法等等。

我们需要对题目进行分析和联想，例如给了你一个三角形，你需要想到三角形的角的关系、边的关系。给了你一个中点，你可能要想到可能会用到倍长中线的方法。在一个图形当中看到一条直线上有两个相等的角，你要想到可能要构造一线三等角的一个模型，给到你两个相切的圆，你要想到有可能是内切，也有可能是外切；给到你一个直角三角形，你需要想到这三个角每一个角都有是直角的，可能给到你一个等腰三角形，你要想到哪条边和哪条边可以相等，只有具备丰富的知识积累，你的能力才能够更强。

今天的分享，我们首先了解了数学的知识结构、考查的题型，以及考试的一个占比。最后我们来总结一下学习方法，首先第一点我们要重视课本，要总结知识题型，要注意解题过程。第二，我们要会整理笔记知识，题型归类总结非常重要。第三错题本要按照错因进行归类，把细节点记录在错题本上。第四、课后补充资料，要丰富题型，拓展我们的知识点。第五，思维能力要在积累的基础之上善于联想和分析。大家可以运用上面的方法，扎扎实实的学好每一节课的内容，不断的积累、不断的练习、不断的应用，相信大家的数学成绩会有大幅度的提升，今天的分享就到这里，希望可以给到大家帮助，谢谢大家！

湖口县学士路校区2019年中考提分案例

湖口县学士路周校长电话:[phone]:

18979223299

校助杨老师电话:[phone]