分数历史漫谈

平邑流峪 赵敏

纵观历史，人类一直致力于去发现世界的规则、原理以及它们与人类之间的联系。数千年来，在解释世界基本原理的各学科中，有一门学科是其他学科的基础，这一学科就是——数学！谈起数学，很多人首先想到的可能就是一堆公式、数字，而在这些数字中有一类数，它的历史几乎和自然数一样古老，它就是——分数。关于分数，让我们从《九章算术》“方田”一章中的两道题目开始：

1. 今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？答曰：人得一钱二十一分钱之四。

2. 又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问人得几何？答曰：人得二钱八分钱之一。

相信这样的题目对于现代大部分人来说不算难题，列出算式就是：

可见，我们的古人很早就已经掌握了分数的概念并进行了应用，那分数由谁而来，为何而来呢？现在就让我们穿越到数千年前，一起去揭开分数的神秘面纱吧！

数的概念大约产生于30万年以前原始人的生活和生产中，当时的人类就已经具有识别多、少的能力了，在这个过程中人类慢慢的就注意到1只羊和许多羊，1头狼和许多狼的差异，通过对于它们的比较人类逐渐看到了1只羊、1只狼、1棵树等之间存在着共通的东西，即数数的话，只需要知道1就行了，当然数学家把这个特殊的数称之为“单位”。在此之后人类利用石头、绳结、骨头刻线等方式去对应现实中的物体，这里蕴含的“对应”的思想，在历史上被称为“数学的第一次抽象”，难怪英国哲学家、数学家伯特兰·罗素说：“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。”

可是原始人在生产分配的过程中却常常出现不能均分的情况、在测量或计算时不能得到整数的结果，分数自然而然的就产生了。在计数的过程中人类还创造了其他东西——数字本身。

1.古埃及分数

关于最早的分数记载于3000多年前古埃及的《莱因德纸草书》上，它的作者是书记官阿默斯，那它为什么叫莱因德纸草书呢？因为它是一种植物经过处理之后，可以像纸一样用来写字，所以叫纸草，公元1858年由英国的埃及学者莱因德购得，故名《莱因德纸草书》，现藏于伦敦大英博物馆之中。

在纸草书上，古埃及人用一种特殊的记号来表示单位分数即分子为1的分数（事实上绝大部分埃及的分数都是几分之一）：在整数符号上面画一个椭圆，就表示出了几分之一。

后来埃及的僧侣将上面的椭圆换成了“· ”其中一些数字也有了变化，形成了我们现在所知道的僧侣文。而当遇到分子不是1的分数时，他们就想方设法把这样的分数转化为一些单位分数之和，至于原因已无从考证。

于是就出现了有趣的现象，比如纸草书中就记载了分面包的问题，而面包正是埃及人发明的，其中一个问题就是如何将九块面包，等分给十个人而不让他们因不均而争执。这时埃及人会将其中的五块切成两半，然后把剩下的四个分别平均分成三等份，再把其中的两个三分之一部分切成五等份，即每一片是整个面包的十五分之一，每人从中拿一块半片，一块三分之一和一块十五分之一的面包（1/2+1/3+1/15=9/10），而这也产生了埃及分数问题，埃及分数属于数论中的一个分支——不定方程（丢番图方程），它引出了大量的问题，其中有些问题至今尚未获得解决。

正是通过这样看似实际的问题，分数就此登场了。没过多久，埃及人就开始探索分数的用法。最早的分数表示法，来自于一个富有神秘色彩的象形符号，名叫“荷鲁斯之眼”。

它的不同的部位代表了一个分数，但它的各个组成部分也被用来表示6个和为1的分数，实际上这些分数的和并不是1，但却给我们一个启示，如果按照这个规律继续加下去就会无限接近于1，可惜的是古埃及人并没有提出无穷级数的概念和想法，但也给我们现代数学产生了积极的影响

2.古巴比伦分数

除了埃及以以外，近东地区另一个数学的中心是美索不达米亚平原，这里是古巴比伦文明的发祥地。由于原料不足，古巴比伦人没有使用奢侈的草纸而是利用泥板等来记录数学问题。古巴比伦利用楔形文字来记录数字，他们采用60进制（数学、天文学上），而且他们的分数的分母是固定的，总是60或者60的平方。

至于为什么古巴比伦人要以60为基数，至今还有很多的争论，最有可能的理论是公元4世纪古希腊学者亚历山大的席恩提出的，他认为60可以被2、3、4、5、6、10、12、15、20、30整除，事实上，60是能被1到6整除的最小整数，看来相比与我们现在的十进制，用六十进制自有其好处，所以在今天我们还能见到古巴比伦人应用六十进制的影子：圆的一圈被看为360°，时钟计时等。

不过他们分数的记录方式却会带来很多的不便。例如，当表示分数时是7×1/60或者7×1/〖60〗^2，但这数如果表示整数就可能是7×60或者7×〖60〗^2 ，而且也没有任何符号来区别整数和分数部分，所以到底具体表示什么需要根据上下文来判断，因此也给分数的传播和使用带来的很多的困扰。

3.希腊分数

欧几里得和阿基米德曾创用了特殊的记号表示简单的分数，例如用希腊字母表示½，他们在之后也学着埃及人的方法表示分子大于1的分数，但是却遭到了天文学家的反对，他们宁愿使用巴比伦人的60进制。

但这都并不影响古希腊对人类数学的巨大贡献，很多耳熟能详的人物如泰勒斯、毕得哥拉斯、柏拉图、亚里士多德、欧几里得、阿基米德等等，在这些数学家（当然很多人不仅局限于数学领域）的努力下铸就了辉煌的古希腊数学，更重要的是：古希腊数学创造了我们今天所理解的那种数学，也就是数学证明的演绎推理方法，重视抽象而不注重具体。

4.古代中国分数

人类数学之路上踏出第一步的是这古老的埃及文明，与此同时还有美索不达米亚文明、古希腊文明，但遗憾的是，随着古希腊文明的衰亡，西方数学的研究停滞不前，然而数学前进的脚步并没有停止，因为在东方，有一个国家把分数推向了一个活力的新高峰，这个国家就是——中国！

中国古代关于分数的的起源有待考证，有学者认为分数记载最早可以追溯到商代，在晚周的一些铜器上已出现了分数的记叙，在我国春秋时代的《左传》中，就规定了诸侯城池的大小：最大的不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，最小的不可超过九分之一。于是随着记数、计算的逐渐发展也就产生算筹，这根不起眼的小棍子对于中国古代数学的发展可谓是功不可没。

据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。也就是说在进行计算时，首先必须懂得数字的位（和结构）。个位以纵划表示，十位以横划表示，百位是纵的，而千位则是横的；依次纵横交替。所以，千位和十位看起来是相同的，万位和百位也是相同的。

用算筹来表示分数的方法和现代非常相似，都是分母在下，分子在上，不过那时中间没有分数线。可以说古代中国是最早给出分数定义以及建立分数体系的国家，而这比欧洲其他国家早一千年。因为在大约公元前5世纪，古代中国就出现把两个数相除的商看作分数来认识，这正是现在分数概念的基础。

其中已知最早的中国数学著作《算数书》中，已经出现了分数的性质和运算法则，分数除法的颠倒相乘法最早就出于此。

用算筹来表示分数的方法和现代非常相似，都是分母在下，分子在上，不过那时中间没有分数线。可以说古代中国是最早给出分数定义以及建立分数体系的国家，而这比欧洲其他国家早一千年。因为在大约公元前5世纪，古代中国就出现把两个数相除的商看作分数来认识，这正是现在分数概念的基础。

其中已知最早的中国数学著作《算数书》中，已经出现了分数的性质和运算法则，分数除法的颠倒相乘法最早就出于此。