数鸡蛋

常乃汀

数鸡蛋
一筐鸡蛋：
1个1个拿，正好拿完。
2个2个拿，还剩1个。
3个3个拿，正好拿完。
4个4个拿，还剩1个。
5个5个拿，还剩4个。
6个6个拿，还剩3个。
7个7个拿，正好拿完。
8个8个拿，还剩1个。
9个9个拿，正好拿完。
问筐里最少有多少鸡蛋？

"数"的过程如下：

方法一
根据"拿1，3，7，9余0"，答案是1，3，7，9的公倍数，即63n。
根据"拿2余1"，答案是奇数。
根据"拿5余4"，答案的个位数是9。
故n的个位数是3，即
n为3，13，23，33...等。
经试算，n=3，13不符合条件。63x23=1449可满足全部题意，故答案是1449。

方法二

　　"拿1，3，7，9余0"
说明鸡蛋数量能被1、3、7、9整除。因为1、3、7、9最小公倍数是63，所以这个答案一定是63的倍数，即
　　63n （n=1，2，3，...）

"拿2，4 , 8剩1"
说明鸡蛋数量除以2、4、8余1。因为8是2和4的倍数，所以如果63n除以8余1，则它除以2或4也都应该余1（两次拿4个或四次拿2个等于一次拿8个，拿到底都剩1个）。
当n为1时有63个蛋，每次拿8个剩7个蛋。
当n为2时相当于有两组蛋，每组63个。每组分别每次拿8个则每组各剩7个蛋，合起来14个。再从14个中拿8个还剩6个，故n为2时每次拿8余6。依此类推，得（每次拿8时）
n=1，余7
n=2，余6
n=3，余5 ...
n=7，余1（满足拿8的条件）
可见63x7=441是满足拿2，4，8条件的最小数字。
上面已证明它还满足拿1，3，7，9条件。
此外，能满足上述条件的数还有
　　441＋63x8m=441+504m
　　m=0，1，2，3...

证明如下：如果把鸡蛋分成两组，第一组有441个，第二组有504m个。那么每次分别拿1，3，7或9个时，两组都剩0，正好拿完，满足条件。
每次分别拿2，4，8个时，
第一组：441, 余1。
第二组：504m, 余0（504=63x8）
总结果余1，满足题意。所以这两数之和能够满足拿5和拿6以外的所有条件。

" 拿6剩3"
还用上面的两组蛋计算。
第一组：
441个，每次拿6正好剩3个蛋。
第二组：
504m，因504能被6整除，所以504m也能被6整除。可见第二组每次拿6个蛋，正好拿完，太好了。
　　441+504m
不论m等于几它都满足拿6的条件。

　　
"拿5剩4"（最后一条件）
一个数除以5余4，其个位数不是4就是9。而4是可以被排除的，它不满足拿2剩1的条件。因此答案的个位数必须是9。
对441+504m而言
能使个位数为9的m有
2，7，12，17，22，27...
这就是花了半天时间要找的答案。
　　441+504m
m=2，7，12，17，22，27...
它们分别是
1449 （本题唯一的答案）
3969
6489
9009
11529
14049
....
如有错漏处请指正，谢谢。