从一题部分分式分解讲起

东方欲晓

题如图。

这其实很简单，可以模板程式化。确实，老师在教的时候，就是直接程式化解题步骤。然而，背后蕴涵的真正的重要的数学思想，却没有教给小朋友。

1- 上课时，即便是老师已经讲了程式化的解步骤，但是依然有小朋友在待定系数时出错，比如Ax+B 写成了Ax或者直接写成了A。 这说明，背后的数学思想小朋友没有掌握，而这却是最重要的。

2- 另外定义其实是非常非常重要的。跳过定义，或者定义都不真正理解，直接程式化的解题，那是不对的。

3- 我们来看这题背后蕴涵的数学思想，数学的归一化和抽象化。 当分解为两个真分式的和时，必须囊括符合真分式的所有可能，即完备性。 比如，第一个部分分式的分母是2次，那么，其真分式的所有可能情况是，分子常数，分支仅一次项，分支一次项加常数项。 所以，我们给出的待定式子，必须囊括所有这些情况。 用一个式子，囊括所有合理的情况，以使得完备，这就是以一当万，就是数学的归一性思想，需要代数抽象。 这也就是为什么此时必须分子设置为Ax+B，此处A,B取有理数范围不同组合时，就可以囊括所有情况。 

4- 所以，课外的培训课，有难度，要速度，但是，背后的真正的数学思想，老师应该挖掘出来，授与学生，这才是真正的提高。而不仅仅是程式化的解题步骤。 

5- 当然，中国特色教育的现状也可能使得课外培训的老师，更多的追求多塞东西。而不关注定义，数学思想这些深层次的东西。