停课不停学 一起学数学

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代数

方程

字母

数学

符号

韦达

花拉子

表示

解方程

算术

        为贯彻落实党中央及市区关于疫情防控延迟开学“停课不停学”的相关精神，按照北碚区教师进修学院《关于疫情防控延迟开学相关工作实施方案》，北碚数学人在行动！让我们在家一起学数学吧！

        疫情是残酷的，人心却是温暖的。在过去的两个星期里，在全体北碚教育人的共同努力下，孩子们在家一边坚持学习，一边用自己的方式表达对疫情的关注。

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        现在被大家称为数学的学科已经包罗许多分支, 其中最基本的数学分支是算术, 它主要是指在非负有理数范围里讨论数的性质、运算及其应用。正因为是数学里最基本、最初等的内容, 所以也最早被人类熟知。算术知识的 推广和发展, 慢慢地有了代数。义务教育阶段的代数知识是初等代数, 又称古典代数, 包括数概念的拓展及其相关运算:此外, 更为主要的部分便是在一般意义上研究算术中的数量问题, 相关的内容包括代数式的恒等变形、方程(组)、不等式。虽然这其中的核心内容是方程, 但仔细琢磨后可以发现, 以算术为基础进而步入代数的跨越并不是由方程带来的, 而是用字母表示数。
       原始的代数被发现于苏美尔人的黏土片上, 而且似乎在古埃及已经发展到了很高的程度。公元前18世纪以前的兰德草书, 已经记录了论及食品和其他东西分配的问题, 出现了简单的方程, 这些方程的未知数用“hau”(堆)表示。可见, 方程虽然是古典代数的核心, 但并不是由算术进入代数的原动力。

（花拉子米纪念邮票）

       1983年, 苏联发行了一枚邮票, 纪念中世纪阿拉伯数学家花拉子米诞辰1200周年, 这足以说明其对代数的开创性贡献。数学上的阿拉伯指7世纪到15世纪由阿拉伯人统治的广大中亚地区, 这其中最早也是影响最大的数学家就是花拉子米。783年, 他写了一本书, 名称为Aldjebr Walmukabala。其中, Aldjebr 的意思是“还原”, 也就是现在解方程中的移项; Walmukabala的意思是“对消”, 相当于现在解方程中的合并同类项。所以, 书名直译的话就是“还原与对消的科学”。12世纪, 花拉子米的书传到了欧洲, 被翻译为拉丁文, 并前后出版发行了多个版本, 书名慢慢变成了 Algebra(《代数学》), 这就是英文“代数”一词的来历。花拉子米不仅引入了“移项”、“对消”等解方程的专门术语, 而且把未知数叫作“根”, 称解方程就是求根。这些都是对解方程技巧进行理论化的重要尝试。

        有了代数的学科名称, 并不表明就有了初等代数这个学科。问题就在于花拉子米用普通文字来表达方程的解法。比如其书中有这样一题:把一个正方形面积加上其一边长度之10倍等于39时, 此正方形必是什么? (用现代符号表示即为+10x=39)花拉子米的解答为:把所加边长的倍数除以2, 得5。把该数自乘, 得乘积25。把此数与39相加, 得64。取此数的平方根得8, 从该数中减去边长倍数之半, 剩下3。此即所求正方形的边长, 因而所求正方形面积等于9。这还并不是一个复杂的问题, 解答过程读来就如此艰涩, 如果所要解决的问题稍一复杂, 那过程该会多么繁复! 从这个意义上看,花拉子米的《代数学》比起古印度数学, 甚至古希腊丢番图的想法来反而倒退了。

（丢番图）

        古希腊数学以几何为重点, 不过也不是没有对现在被称为代数的探索。公元前三四世纪, 希腊流行着一种数学谜语, 它常常以诗歌的形式出现, 这样的谜语如果翻译成数学的形式, 常常就是一次或二次方程。代表古希腊代数最高水平的就是丢番图。他的创造性成就主要是两个方面:其一是对不定方程的深入研究-一现在数学上还常常把不定方程理论称为“丢番图分析”; 其二是创造了代数的缩写符号-所谓缩写, 就是将代数中的核心词缩减, 一般用词语的第一个字母来表示。3世纪, 丢番图在其著作《算术》中首先用符号“5”表示未知数, 据说这是因为在用字母表示数的希腊计数制中, 只有这个字母还没有用来表示数。在此基础上, 丢番图又给出了表示未知数各次幂(到六次幂)的符号, 并创造了表示相减的符号以及表示相等的符号。丢番图的符号虽然不完美, 但毕竟是代数学发展上的一个创举。古印度的代数研究发展得不是很早, 但是从5世纪起有了很大的进步, 在希腊代数发展的两个维度上有了进一步的突破。比如婆什迦罗使用"yava-ttavat”(那么多)的前两个字母“va” 表示未知数。当遇到多个未知数时, 再使用表示颜色的词如 calaca(黑)、nilaca(蓝)、pitaca(黄)、lohitaca(红)等的前两个字母表示其他未知数。此外, 印度人还创造了表示加减乘除四则计算的符号, 以及平方根的符号。特别是他们比较早地创造了负数, 并在解方程中使用它们。这些都有力地促进了解方程技术的进步。

（韦达）

        由于计数法、宗教、战争等多个原因的影响, 欧洲的人类文明是在文艺复兴时期之后才得到空前紧荣和深度发展的。16世纪, 代数学首先在欧洲得到了质的突破。其中对日后代数学发展产生根本性影响的便是符号的普遍使田和不断完善。历史上, 第一个有意识、系统地使用字母的是法国数学家韦达、韦达认为代数与算术是有区别的, 代数是施于事物的类或形式的运算方法, 而算术只是同具体的数打交道的计算技术。所以, 他设想寻找一种求解各种类型方程的通用方法, 通过研读先辈们的代数著作, 他逐浙认识到, 要实现自己的设想, 首先要使各种类型的方程具有普遍的形式。他在自己的著作中提出了用字母表示不同量的想法。他这样写道:在这里, 我们用一种技巧来帮助我们区别已给的量和所求的或未知的量,这就是用一种有永久性质的、易于理解的符号体系-例如, 用A或其他母音字母表示未知量, 用B、C、G或其他子音字母表示已知量。

        韦达用统一的字母表示未知量、已知量及其运算, 被公认为对世代代数传统的突破, 是代数学发展历史上的一座重要里程碑。虽然韦达的符号还不彻底, 也不成体系, 但韦达超越了各类数量的具体特点, 从一般意义上用字母来表示它们, 省略了数学关系的实际情境, 去掉了实际语言带来的差别。这样, 就把原先各具特点的方程归结成了通用的形式, 使得代数变得能适应所有场合的普遍情况, 极大地扩展了代数的应用范围。

       韦达是在1591年《分析术引论》的著作中提出了字母表示数的思想的, 不过, 当时的数学家们并没有很快接受该想法, 又经过了多位数学家如哈里奥特、笛卡儿的改进和推广, 代数的符号化才得到了广泛认可和运用。比如哈里奥特改进了韦达的幂符号, 第一个创造了大于号、小于号; 笛卡儿提出用字母表中靠前的字母来表示已知量, 靠后的x、y、z来表示未知量, 这种表示办法一直沿用到现在。总而言之, 现行初等代数的各种符号到16世纪末基本已经全部出现了, 到17世纪中叶初等代数的符号化基本成形。

（笛卡尔）

       自从方程有了更为一般的形式后, 数学家们对方程的研究不仅仅讨论解方程的技巧和方法, 而是更为关注方程的一般规律, 引出了一些重要定理和事实, 比如关于代数方程根的存在性的“代数基本定理”, 关于方程根和系数关系的“韦达定理”, 关于方程正根、负根和虚根的判断定理, 关于确定方程根的范围的“斯图姆定理”等, 从而奠定了方程理论的基础。代数逐渐发展成为一门关于形式运算的学科。

（以上资料来源于蔡宏圣《数学史走进小学数学课堂：案例与剖析》）

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（资料来源于西南大学出版社课标教材网）

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