七年五班毕氏门徒数学社团第一期之第一次数学危机与无理数的由来

刘浩宇

无理数

毕达哥拉斯

帕索斯

数学

学派

发现

有理数

毕氏

危机

整数

　　长久以来，数学都是精密、严格、准确的象征。

　　从某种角度来说，数学不能出现矛盾，也不能出现危机。不幸的是，在两千多年的历史进程里，坚如磐石的数学大厦仍然出现了裂痕。第一次数学危机，就诞生在人们对整数和几何的认识之中。到底发生了什么呢，让我们跟着同学们一起去了解第一次数学危机吧。

🔅通知🔅 活动要求

🐳 活动拓展：第一次数学危机

第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自根号二的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志。

这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。

🐳 活动内容

同学们可以通过网络或书籍查找无理数的来源和有关于无理数的历史。

🐳 要求：

1.全员参与‼️

2.参与同学在2月17日前将学习时的图片和学习感想发至此群‼️

3.学习内容积极向上‼️

公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒。被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧。希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。

7.5张靖敏

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治学

古希腊哲学家毕达哥拉斯

术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 的诞生。小小 的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的 的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

马琳智

第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。

同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。

吕书函

公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。

　　不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。

　　然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来．

段欢格

聪明人喜谈发现

蛮横者无理杀人

——读无理数的发现有感

今天我又再一次读了《数理化通俗演义》的第二回，本回讲的是毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现无理数的事，希帕索斯很聪明，善于发现和独立思考。有一天毕达哥拉斯学派的成员们刚刚开完一个学术讨论会，便坐船出来领略山水风光。一个满脸胡子的学者看着广阔的海面兴奋地说毕达哥拉斯先生的理论一点儿都没错，他看着海浪说一层一层波峰波谷就好像奇数偶数相见一样，世界就是数字的秩序。另一个摇桨的人也附和说:就说这小船和大海吧，都能用一个精确的数字量出来。希帕索斯却说不一定，要是最后不是整数呢？那人说:那就是小数，希帕索斯说:要是这个小数既除不尽又不能循环呢？那人又说:不可能，世界上的一切东西，都可以相互用数直接准确的表达出来。这时，希帕索斯以一种不在争辩的口气说:假如是等腰直角三角形，你就无法用一个直角边准确地量出斜边来。这惹怒了船上的许多人，他们认为希帕索斯不遵循毕达哥拉斯先生的理论和遗言。破坏了学派的信条。一番理论后大个子把希帕索斯抛进了海里。

科学史就此拉开了序幕。

鲁迅先生说悲剧就是将人生极有价值的东西毁灭给人看。一个很有才华的数学家就这样在奴隶专制制度下的学阀们毁灭了，但这倒真使人们看清了希帕索斯的思想的价值。这次事件后，毕达哥拉斯学派的成员们确实发现，不但等腰直角三角形的直角边无法去准确测量斜边。圆的直径也无法去准确测量圆周，那个数字是3.14159265358979…………更是永远无法精确的。慢慢的他们后悔了，后悔杀死希帕索斯的无理行为，于是他们渐渐明白了，过去所认识的数字0、自然数等应该叫"有理数"，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数，应该叫它"无理数"。这个数字反应了数学的本来面貌，但也真实记录了毕达哥拉斯学派中学阀们的蛮横无理，说明科学的进步很艰难。这正是:科学史才揭序幕，科学家便有牺牲。

今天我也动手试着用清朝数学家梅文鼎的证明方法来证明勾股定理。这个方法很简便，同学们不妨试一试。

七年五班 宫瑞阳

感想：对毕达歌拉斯而言，当时的数学知识只能认识到整数，虽然分数 总可以用正数表达。数学之美在于有理数能解释一切自然现象。这种起指导作用的哲学观使毕氏对无理数的存在视而不见，甚至导致他一个学生被处死。

无理数的发现

毕达哥拉斯的学生希伯斯，他试图找出根号2的等价分数，最终他认识到根本不存在这个分数，也就是说根号2是无理数，希帕索斯对这发现，喜出望外，但是他的老师毕氏却不悦。

希帕索斯在研究勾股定理时，发现了一种新的数，而这种数是不符合他老师的宇宙理论的。希伯斯发现，如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度就不能归结为整数或整数之比(应该等于，是一个无理数)。更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性，而证明的方法─归谬法，又是毕达哥拉斯学派常用的。

因为毕氏已经用有理数解释了天地万物，无理数的存在会引起对他信念的怀疑。希帕索斯经洞察力获致的成果一定经过了一段时间的论和深思熟虑，毕氏本应接受这新数源。然而，毕氏始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑推理推翻希帕索斯的论证。使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死。这是希腊数学的最大悲剧，只有在他死后无理数才得以安全的被讨论着。后来，欧几里德以反证法证明根号2是无理数。

沉重的打击

可以想象，毕达哥拉斯学派受到了多么沉重的打击。小小的竟然动摇了他们惨淡经营的宇宙理论。怎么办？毕达哥拉斯的可悲，在于他不敢视这个新的数学问题，而是企图借助宗教信条来维护他的权威。他搬出学派的誓言，扬言要严惩敢于“泄密”的人。然而，真理从来就不是权劫的奴仆，真理的声音是谁也封锁不了的。渐渐地，有一种新的数存在的消息传扬了开去。

这一发现实际上是推翻了教派原来的论断，触犯了这个学派的信条。他们不许希帕索斯泄露存在根2（即无理数）的秘密，但是天真的希帕索斯在无意中向别人谈到了他的发现。后来毕达哥拉斯教派为了维护教派的信条，以破坏教规为理由将希帕索斯装进大口袋扔进了大海。希帕索斯因为发现了根号2“无理数”的存在，为揭示了一个科学的真理而付出了生命的代价。

同时该教派犯下了将发现无理数存在的教派成员、毕达哥拉斯的学生希帕索斯迫害致死的罪行。这是数学史上一个最著名的悲剧。他那传奇般的一生给后代留下了许多的故事与传说。

然而像根号2这样的“无理数”存在的事实，却不可能一扔了之，由此引发了数学史上第一次危机，也带来了数学思想一次大的飞跃。认识无理数的存在告诉我们，矛盾的存在说明人的认识还具有某种局限性，需要有新的思想和理论来解释。我们只有突破固有思维模式的束缚，才能开辟新的领域和方向，科学才能够继续发展。

科学无止境，认识无禁区，那些事先为科学设定条条框框的，最后将变成阻碍科学进步的阻力，必然被时代的所抛弃。

进步的代价

希伯斯由于违背了学派的誓言，遭受到残酷的迫害。不久，他就失踪了。毕达哥拉斯派的人说，那是海神普赛登惩罚了“叛逆”的希伯斯，海神刮起大风暴冲散了希伯斯的船队，然后就卷起海浪吞没了他........。但是，谁会相信这些骗人的鬼话呢？

这类无理数的发现，是数学史上一个重要的发现。希伯斯为此献出了生命，但我们欣忍地看到，数学却因此又前进了一步。

郑君策

古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。

不可约的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。

然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。

孔令尧

看到大家都研究无理数，有理数的来历，渊源，我就来探讨

三个有故事的无理数——e、π、φ吧。

在数学中，无理数可以理解为无限不循环小数，那无理数中最著名的e、π、φ又有着怎样的故事呢？

与钱有关的“e”

e是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值是2.71828...。在今天的银行业里, e 是对银行家最有帮助的一个数。人们可能会问, 像e 这样的数是怎样又以何种方式与银行业发生关系呢? 要知道后者是专门跟“元” 和“ 分” 打交道的！假如没有e 的发现，银行家要计算今天的利息就要花费大量的时间，无论是逐日逐日地算复利，还是持续地算复利都无法避免，所幸的是，e 的出现助了一臂之力。

值得骄傲的“π”

魏晋、南北朝时期产生了两位在中国古代数学史上最为著名的数学家，祖冲之和刘徽。祖冲之最杰出贡献是求得相当精确的圆周率。经过长期的艰苦研究，他计算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上最早把圆周率数值推算到七位数字以上的科学家。直到15世纪，阿拉伯数学家卡西才得到更好的结果。祖冲之还给出了圆周率的密率355/113（≈3.1415929），而这个结果直到16世纪才被德国人奥托和荷兰人安托尼斯重新发现，所以，中国圆周率计算领先世界一千年。

最美的无理数“φ”

如果我们把一条线段分成两个部分，使整条线段与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比, 则分点C 被说成以“ 黄金比率” 划分了AB 。这个比率的数值约等于0.618，用希腊字母φ(phi)表示。那么，φ又有怎样的故事呢？英国伦敦知名整形外科医生朱利安·德席尔瓦博士基于面部映射技术，测量了一些知名男星的面部轮廓和眼睛、眉毛、下巴、鼻子、嘴唇等的大小及相互之间的距离，综合比对这些数字与希腊美学黄金分割比例的差距，列出了“世界最英俊面孔”榜单。名列第一的是现年56岁的好莱坞明星乔治·克鲁尼，他的面部与希腊美学黄金分割比例的精确度高达91.86%。排名第二至第五名的依次是美国影视演员布拉德利·库珀、美国影星布拉德·皮特、英国男歌手兼演员哈里·斯泰尔斯、英国前球星大卫·贝克汉姆。

看来，这三个有故事的无理数不仅在数学中常见，在生活中也能起到很大的作用。

对于这些无理数，我们知道的只是皮毛，可能以后学的多了，接触的就深了，我很期待！

金祉含

无理数最早是由古希腊的毕达哥拉斯学派发现的。希伯索斯根据勾股定理，用逻辑推理的办法发现，边长为1的正方形的对角线长度，既不是整数，也不是整数比能表示的。很快人们就发现了除 根号2以外的其它一些无理数,这些发现动摇了古希腊数学信仰的基础,因此也被称为第一次数学危机。这一危机因为欧多克斯重新定义比例论而得到暂时的缓解。

  这是西方学派发现无理数的过程。那么我国古代是什么时候开始发现的呢？

与希腊人不同,中国古代数学家是在开方(即解方程)的过程中遭遇无理数的.最早记录无理数发现的是《九章算术》，其中“少广”章中的“开方术”和“开立方术”给出了开平方和开立方的算法。在这种对整数开方的过程中必然会遇到开方不尽的情况.《九章算术》对开方不尽的数起了一个新的名字,叫做“面”.例如面积为2的正方形求边长时,应对2开平方,而结果是开不尽的,于是称面积为2的正方形的边长为2“面”

这是中国传统数学中对无理数的最早记载.

刘徽在计算近似平方根时求得的数，离“无限不循环小数”已经近在咫尺，但因为我国古代历来重视计算，讲究解决实际问题，而轻视算理探究，所以在刘徽看来，开不尽的数是“不足言之也”，使得我国与无理数迎面却失之交臂，真是太可惜了，所以我们在学习数学时要有开创的思维，有批判性，反思性。     

7.5吴欣妍

同学们查了这么多资料，那么，第一次数学危机到底是什么呢？而无理数又是什么呢？

第一次数学危机主要是由以下两个原因引起，以无理数定义出现，芝诺悖论均被发现不成立结束。

无理数的发现

大约在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了：等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约。新发现的数由于和之前的所谓“合理存在的数”——即有理数在学派内部形成了对立，所以被称作了无理数。希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以“淹死”的惩罚。

直角三角形的直角边与其斜边不可通约，这个简单的数学事实的发现使毕达哥拉斯学派的人感到迷惑不解。它不仅违背了毕达哥拉斯派的信条，而且冲击着当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信仰。所以，通常人们就把希帕索斯发现的这个矛盾，叫做希帕索斯悖论。

不过存在另外一种说法称正五边形的边与对角线之比是最先被发现的无理数。

芝诺悖论

古希腊著名哲学家芝诺（约公元前490年~前425年）曾提出四条著名的悖论，也被如今的数学史界认定为引发第一次数学危机的重要诱因之一。

第一，“二分法”。

运动着的东西在到达目的地之前须先完成行程的一半，而在完成行程的一半后，还须完成行程的一半的一半……如此分割，乃至无穷，因而它与目的地之间的距离是无限的，永远也达不到目的地。

第二，“阿基里斯永远追不上乌龟”。

阿基里斯是希腊跑得最快的英雄，而乌龟则爬得最慢。但是芝诺却证明，在赛跑中最快的永远赶不上最慢的，因为追赶者与被追赶者同时开始运动，而追赶者必须首先到达被追赶者起步的那一点，如此类推，他们之间存在着无限的距离，所以被追赶者必定永远领先。

第三，“飞矢不动”。

任何物体都要占有一定的空间，离开自己的空间就意味着失去了它的存在。飞矢通过一段路程的时间可被分成无数瞬间，在每一瞬间，飞矢都占据着一个与自己大小相同的空间，由于飞矢始终在自己的空间之中，因而它是静止不动的。

第四，“运动场”。

有两排物体，大小相同，数目相等，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点，当它们以相同的速度作方向相反的运动时，就会在时间上出现矛盾。芝诺认为这可以证明一半的时间等于一倍的时间。

以上四条悖论从根本上挑战了毕达哥拉斯学派所一直贯彻的度量和计算方式。

班主任张老师还特意为我们找了一个视频，让我们一起看看，了解一下无理数吧！

这一次社团，以同学们共同回忆曾经数学课的时光圆满结束......

想到袁老师一黑板又一黑板的板书[偷笑]想到你们为小组积极争取1分2分的激动，想到每晚一套题的期末时光，想到每次克服困难抠出一道难题时的激动不已，想到成绩提高时的兴奋喜悦，想到课堂上同学们热烈讨论时的激动心情……[胜利]